专题02 全等三角形（5知识&14题型&5易错&4方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学全等三角形专题清单涵盖定义命题、全等图形、全等三角形的概念性质判定及尺规作图，以“知识清单-题型训练-易错警示-方法总结”为架构，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单通过14类题型分层训练、5大易错点专项突破及4类解题模型（如倍长中线、一线三等角）系统呈现知识，标注“对应关系判定”“HL适用条件”等重难点，设计证明步骤补充、动点分类讨论等实践题，培养推理意识与空间观念，助力学生自主梳理知识，教师可精准定位教学重难点，提升复习效率。

专题02 全等三角形（5知识&14题型&5易错&4方法清单） 【清单01 定义与命题】 【概念】对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的 【概念】判断一件事情的语句，叫做 ．许多命题都是由 和 两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 真假命题 如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做 .条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做 .其中一个命题是另一个命题的 . 【清单02 全等图形】 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做 ，简称 . 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是 ； 2.图形是否全等与它们所在的 无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是 . 全等图形的性质 全等图形的性质：① ，② . 1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系； 2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形. 3.判断两个物体是否为全等图形的方法： （1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合； （2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同. 【清单03 全等三角形的概念与性质】 1.两个能够完全重合的三角形叫做 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 ，重合的边叫 ，重合的角叫 . 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的 ， . 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的 ，对应边上的 ，对应角的 ； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 【清单04 全等三角形的判定】 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“SAS”. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“ ”或“ASA”. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“ ”或“AAS”. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“ ”或“SSS”. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“ ”或“HL”. 【清单05 尺规作图】 尺规作图的关键: 1、先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2、读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3、切记作图中一定要保留作图痕迹； 4、无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 【题型一 命题】 1．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等 2．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 【题型二 证明】 4．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 5．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 6．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【题型三 图形的全等】 7．如图，给出的四对图形中是全等形的有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 8．对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，四边形四边形，若，，，则 【题型四 全等三角形的概念】 10．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 11．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画 个． 12．如图所示，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上的三角形），以为一边作出格点三角形，且分别满足下列条件： (1)在下图中作出的与成轴对称； (2)在下图中作出的与全等，但不成轴对称． 【题型五 全等三角形的性质】 13．已知如图，，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 14．如图，已知且点，，，在同一条直线上． (1)连接若，，求的度数； (2)若，，求长度的取值范围． 15．如图，已知，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【题型六 SSS证明三角形全等】 16．我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，则 ． 18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，已知，，，求证：． 【题型七 全等的性质与SSS综合】 19．如图，点，在上，，，，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：∵， ∴________， 即， ∵在和中 ， （________________）， （________________）． 20．如图，已知． (1)求证：； (2)求的度数． 21．如图，点，，，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【题型八 SAS证明三角形全等】 22．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 23．如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 24．如图，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)_________可以通过怎样的图形变换得到？ 【题型九 全等的性质与SAS综合】 25．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 26．综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 27．如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 【题型十 ASA（AAS）证明三角形全等】 28．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 29．如图，在中，，是的平分线，交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 30．如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型十一 全等的性质与ASA（AAS）综合】 31．如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 32．如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 33．【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【题型十二 灵活选用判定方法证明三角形全等】 34．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．两条直角边分别相等 B．一条直角边和一个锐角分别相等 C．斜边和一个锐角分别相等 D．两条边分别相等 35．如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块 ． 36．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 【题型十三 全等的证明与判定依据补充】 37．如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 38．下面是多媒体上展示的一道习题，请将解答过程补充完整． 如图，太阳光线与是平行的，，为垂直于地面的两根竹竿，测得同一时刻两根竹竿在太阳光照射下的影子（，在同一直线上），判断两根竹竿的长度关系（即线段与长度的大小关系） 解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（判定依据用字母表示___________）． ∴线段与长度的大小关系是___________． 39．如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ①；②；③；④． 解：我写的真命题是： 在和中， 已知：________________ 求证：________．（只填序号） 证明如下： 【题型十四 三角形的尺规作图】 40．已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 41．如图，在中，于点G．点D在外，连接，． 尺规作图：在的右侧求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 42．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 【题型一 命题与证明概念混淆】 43．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 44．已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 45．已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是 ．（填序号） 【题型二 全等三角形的动点问题分类讨论遗漏情况】 46．如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动．分别过、两点作于点，于点，当与全等时，的值为 ． 47．如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 48．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【题型三 有垂直关系的全等三角形证明】 49．【结论探索】 （1）如图1，是的平分线，点在上，于点，延长交于点，则与全等吗？请判断并说明理由． 【结论应用】 （2）如图2，在中，于点，．求证：． （3）如图3，在中，，，是的平分线，交的延长线于点，直接写出与的数量关系． 50．如图，在中，，，点是内部一点，连接，作，，垂足分别为点，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的面积． 51．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即一线三等角模型和字模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系____； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． （4）如图4，正方形中，，，求的面积． ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 【题型四 线段数量关系有关的全等问题】 52．如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 53．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． (1)如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； (2)如图2，的角平分线、相交于点P，，判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． 54．已知，在四边形中，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小李的解题思路：先证明______；再证明 ，即可得出之间的数量关系为 ． (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 【题型五 全等三角形的实际问题】 55．【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 56．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． (1)试说明：； (2)求的长．（用含a，b的式子表示） 57．如图是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．将其正面抽象成数学图形如图所示，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点，液压杆． (1)求证： (2)若，则的度数为___________． 【题型一 倍长中线模型】 58．如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 59．【现场学习】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． (1)补全小明的证明过程． (2)请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 60．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证：． 证明：延长到点E，使， 在和中， ∵（已作）， （ ）， （中点定义）， ∴（ ）； (2)[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [问题解决] 如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【题型二 一线三等角模型】 61．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 62．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 63．如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E． (1)求证：①；②； (2)拓展：如图②，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【题型三 半角模型】 64．在如图1、图2，图3中，点、分别是四边形边、上的点：下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： (1)在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则 ． 在图2中，，，，，，；则 ． (2)归纳证明：在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 65．（1）如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且，求证； （2）如图2，在四边形中，， ，E、F分别是边、上的点，且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是边、的延长线上的点，且，，请直接写出、、之间的数量关系． 66．在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【题型四 手拉手模型】 67．如图，四边形与都是正方形，相交于点O，相交于点M，相交于点N． (1)求证：； (2)求证：； 68．综合与探究 (1)如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ； (2)求的度数； (3)如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由． 69．已知在中，，，D为直线AC上的一动点（点D不与点A、C重合），将BD绕点B逆时针旋转90°得到BE，连接CE，DE． (1)如图1，当点D在边BC上时，求证：． (2)当点D在直线AC上时，如图2，图3所示，线段AC，CD，CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，选择一个结论写出证明． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（5知识&14题型&5易错&4方法清单） 【清单01 定义与命题】 【概念】对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 【概念】判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 真假命题 如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 【清单02 全等图形】 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系； 2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形. 3.判断两个物体是否为全等图形的方法： （1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合； （2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同. 【清单03 全等三角形的概念与性质】 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 【清单04 全等三角形的判定】 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 【清单05 尺规作图】 尺规作图的关键: 1、先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2、读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3、切记作图中一定要保留作图痕迹； 4、无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 【题型一 命题】 1．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，熟练掌握逆命题的概念是解题的关键． 逆命题是将原命题的条件和结论互换，需判断互换后的命题是否成立即可． 【详解】解：选项A：原命题“对顶角相等”成立，逆命题“相等的角是对顶角”不成立，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故A逆命题不成立； 选项B：原命题“直角三角形的两锐角互余”成立，逆命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”成立，根据三角形内角和是，两角互余则第三角为，故B逆命题成立； 选项C：原命题“等边三角形的三条边相等”成立，逆命题“三边相等的三角形是等边三角形”成立，符合等边三角形的定义，故C逆命题成立； 选项D：原命题“两直线平行，内错角相等”成立，逆命题“内错角相等，两直线平行”成立，为平行线判定定理，故D逆命题成立； 故选：A． 2．下列关于命题与定理的说法： ①一个条件命题一定有逆命题； ②真命题一定是定理； ③真命题的逆命题一定是真命题； ④假命题的逆命题一定是假命题． 正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假性逐个判断即可得． 【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命题一定有逆命题；原说法正确； ②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原说法错误； ③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶角为假命题；则原说法错误； ④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相等为真命题；则原说法错误； 故选：A． 3．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 【答案】“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 【分析】本题考查了逆定理，解题关键是掌握逆定理是通过交换原定理的题设和结论得到的．原定理的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，因此逆定理的题设应为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【详解】解：原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”， 则交换题设和结论后，得到逆定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故答案为：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【题型二 证明】 4．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 5．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 6．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【题型三 图形的全等】 7．如图，给出的四对图形中是全等形的有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等形，根据能够完全重合的两个图形是全等形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，①中两个图形大小不一样，不可能完全重合，不是全等形； ②中的两个图形可以完全重合，是全等形； ③中两个图形形状不一样，不可能完全重合，不是全等形； ④中的两个图形可以完全重合，是全等形； 则给出的四对图形中是全等形的有2对． 故选：B． 8．对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查全等图形的定义，需同时满足形状和大小相同，缺一不可． 全等图形必须形状和大小完全相同．分析各结论：①周长相等不一定形状相同；②面积相等不一定形状相同；③周长和面积都相等不一定形状相同；④形状相同且面积相等则大小相同，因此全等．只有④能保证全等． 【详解】解：∵全等图形要求形状和大小都相同； ①周长相等不一定形状相同（如正方形和圆周长相等但形状不同）， ∴①不能保证全等； ②面积相等不一定形状相同（如长方形和三角形面积相等但形状不同）， ∴②不能保证全等； ③周长和面积都相等不一定形状相同（如不同形状的多边形可能周长面积相等但形状不同）， ∴③不能保证全等； ④形状相同且面积相等，则大小相同， ∴④能保证全等； ∴只有1个结论能保证全等， 故选：A． 9．如图，四边形四边形，若，，，则 【答案】 【分析】本题考查全等图形，四边形的内角和，根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得的度数，进一步可得的度数．解题的关键是掌握全等图形的性质：全等图形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型四 全等三角形的概念】 10．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 11．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 12．如图所示，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上的三角形），以为一边作出格点三角形，且分别满足下列条件： (1)在下图中作出的与成轴对称； (2)在下图中作出的与全等，但不成轴对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作图--轴对称，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊的对称点． （1）利用网格图结合轴对称变换的性质进行画图即可； （2）利用全等三角形的定义进行画图即可． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）如图，即为所作； 【题型五 全等三角形的性质】 13．已知如图，，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，全等三角形对应边相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）根据全等三角形对应角相等可得，，再利用三角形的内角和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ，， ， ． 14．如图，已知且点，，，在同一条直线上． (1)连接若，，求的度数； (2)若，，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据全等三角形对应角相等得，又因为，则题目可求； （2）根据全等三角形对应边相等，可得，又因为，利用三角形三边关系定理可求解题目． 【详解】（1）解：≌， ， ， ； （2）解：≌， ， ， ， ． 15．如图，已知，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． （2）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴． （2）解：∵， ， ， ， ． 【题型六 SSS证明三角形全等】 16．我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选：A． 17．如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，则 ． 【答案】80 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意得到，，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“”可判定三角形全等． 【详解】证明：如图，∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【题型七 全等的性质与SSS综合】 19．如图，点，在上，，，，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：∵， ∴________， 即， ∵在和中 ， （________________）， （________________）． 【答案】；已知；；；全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． 【详解】解：证明：∵， ∴， 即， ∵在和中 ， （）， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：；已知；；；全等三角形的对应角相等． 20．如图，已知． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、外角性质等知识，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两个三角形全等的判定定理判定，再由全等三角形性质即可得证； （2）由两个三角形全等的性质得到，再由外角性质得到，从而确定答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， 是的一个外角， ， 则． 21．如图，点，，，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质等知识， （1）先证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据（1）可得，根据三角形外角的性质得出进而得出，然后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， ，， ． 【题型八 SAS证明三角形全等】 22．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ． （2）解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 23．如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了三角形中线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质；解题的关键是通过中线倍长法构造全等三角形，利用等腰三角形和平行线的性质推导角与边的关系，从而证明线段倍分关系．先构造倍长中线，再证得；得到对应角相等，对应边相等，推导出，证得，转化线段关系，即可得到． 【详解】 延长至点，使得，连接 ∵是中线，是中线 ∴， ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴，， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（同旁内角互补） ∵， ∴（等边对等角） ∴ ∵ 点共线（是的中线）， ∴（平角定义） ∴ ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ 24．如图，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)_________可以通过怎样的图形变换得到？ 【答案】(1)证明见解析； (2)沿方向． 【分析】本题考查了平行线的性质，平移的性质，全等三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后通过“”即可求证； （）根据平移性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：沿方向平移可以通过怎样的图形变换得到， 故答案为：沿方向． 【题型九 全等的性质与SAS综合】 25．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，平行的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为为中点，则，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据得，在中，由三角形内角和定理得，再根据得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， ，， ， 在中， ， ， ， ． 26．综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 27．如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质； （1）先根据三角形的高的定义可得，进而证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明； （3）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：为的高， ． 在与中，， ． （2）证明：， ． ， ， ． （3）解：， ． ， ， ． 【题型十 ASA（AAS）证明三角形全等】 28．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． （1）可直接利用证明； （2）根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间作差可得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ； （2）解：， ， ， ． 29．如图，在中，，是的平分线，交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，全等三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，可求，利用三角形内角和定理可求，因为是的平分线，则可求，再求出后两角相减即可求解题目； （2）由已知可证，因为，则，又因为，则可证． 【详解】（1）解；∵，， ∴， ， 又∵平分， ， ， ， ， ∴ ； （2）证明；∵ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴， 在与中， ∴ 30．如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是全等三角形判定定理的应用． （1）已知是边上的中线，可得，又，可得，又因为（对顶角相等），可证△△； （2）由（1）中证明的△△，可得，进而求得的长． 【详解】（1）证明是边上的中线， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， ， △△， ， ， ． 【题型十一 全等的性质与ASA（AAS）综合】 31．如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由得，进而由即可求证； （）根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明平分； （3）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：， ， ， ， 平分； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 32．如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先求得，再证明，即可得出结论； （2）根据，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 33．【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 【题型十二 灵活选用判定方法证明三角形全等】 34．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．两条直角边分别相等 B．一条直角边和一个锐角分别相等 C．斜边和一个锐角分别相等 D．两条边分别相等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．选项A、B、C均能判定全等，而选项D没有明确对应关系，不能判定是否全等． 【详解】解：A．两条直角边分别相等，可用判定全等； B．一条直角边和一个锐角分别相等，可用或判定全等； C．斜边和一个锐角分别相等，可用判定全等； D．两条边分别相等，没有明确对应关系，如果相等的两条边，在一个三角形中是两条直角边，而在另一个三角形中是一条直角边和一条斜边，则不能判定两直角三角形全等．例如，一个直角三角形的两条边是长为3和4的两条直角边，而另一个直角三角形的两条边是长为3的直角边和长为4的斜边，则这两个直角三角形不全等． 故选：D． 35．如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块 ． 【答案】③ 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法． 【详解】解：由图可知，块③的两个角及其夹边即为三角形玻璃的两个角及其夹边，能满足“角边角”，可以配一块与原玻璃一样形状和大小的玻璃， ∴小明应该带玻璃块③． 故答案为：③． 36．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：若选择①③作为条件，②作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 若选择①②作为条件，③作为结论，是一个假命题，无法证明； 若选择②③作为条件，①作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【题型十三 全等的证明与判定依据补充】 37．如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【分析】本题考查了等角的补角相等、三角形外角性质以及全等三角形的判定与性质，小力先用等角的补角相等证明出，再证明，最后根据全等的性质得到；小旺根据三角形外角性质得到且，，证明，最后根据全等的性质得到． 【详解】证：小力的证法： （已知）， 且， （等角的补角相等）， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 小旺的证法： ，（已知）， 且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． 38．下面是多媒体上展示的一道习题，请将解答过程补充完整． 如图，太阳光线与是平行的，，为垂直于地面的两根竹竿，测得同一时刻两根竹竿在太阳光照射下的影子（，在同一直线上），判断两根竹竿的长度关系（即线段与长度的大小关系） 解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（判定依据用字母表示___________）． ∴线段与长度的大小关系是___________． 【答案】，，，， ， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据垂直的定义得出，根据平行线的性质可得，根据证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（）． ∴线段与长度的大小关系是． 故答案为：，，，， ，． 39．如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ①；②；③；④． 解：我写的真命题是： 在和中， 已知：________________ 求证：________．（只填序号） 证明如下： 【答案】①②④，③或①③④，②，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：我写的真命题是： 在和中， 已知：，，，求证： 证明如下：在和中， ， ． 又，， ， ． 我写的真命题是： 在和中， 已知：，，，求证：， 证明如下：在和中， ， ． 又，， ， ∴． 故答案为：①②④，③或①③④，② 【题型十四 三角形的尺规作图】 40．已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作一个与已知三角形全等的三角形，先作线段，再分别以、为圆心，、为半径画弧交于点，此时，，则． 【详解】解：使得的如图所示： 41．如图，在中，于点G．点D在外，连接，． 尺规作图：在的右侧求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定，分别以A，C为圆心，为半径作弧，两弧交于点E，连接，则即为所求． 【详解】解：如图，即为所求， 由作图可知，， 在和中， ， ∴． 42．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 【答案】(1)见解析 (2)② 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据题意作图步骤进行作图即可； （2）根据作图痕迹，利用即可证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：根据作图可知：，，， ∴， 即判定的依据是②， 故答案为：②． 【题型一 命题与证明概念混淆】 43．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 44．已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假及其逆命题的真假．需逐一判断每个命题的原命题和逆命题是否均为真命题． 【详解】解：原命题若，则，当时，命题不成立，原命题是假命题； 逆命题若，则，当时，命题不成立，逆命题是假命题； 故命题①不符合题意； 原命题若，则，，命题成立，原命题是真命题； 逆命题若，则，当时，也可能是，逆命题是假命题； 故命题②不符合题意； 原命题若，，则，根据有理数的加法法则可知原命题是真命题； 逆命题若，则，，当，时，也成立，逆命题是假命题； 故命题③不符合题意； 原命题直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的性质可知原命题是真命题； 逆命题三角形的两锐角互余，这个三角形是直角三角形，根据三角形内角和定理可知逆命题也是真命题； 故命题④符合题意． 原命题与逆命题均为真命题的个数是． 故选：A． 45．已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】此题考查了互逆命题，根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数，是真命题， 则它逆命题为：如果一个数为负数，那么这个数的立方根是负数，是真命题， ∴该命题和它的逆命题都是真命题， 故答案为：． 【题型二 全等三角形的动点问题分类讨论遗漏情况】 46．如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动．分别过、两点作于点，于点，当与全等时，的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可分三种情况，点P在线段上，点Q在线段上，点P和点Q相遇和点P在线段，点Q在线段上，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】解：当点P在线段上，点Q在线段上时， 由题意得，， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当与全等时，只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 当点P和点Q相遇时，也满足与全等 ∵， ∴点P和点Q在线段上相遇， ∵此时满足， ∴， 解得； 当点P在线段，点Q在线段上时， 同理可得，则， 解得（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：3或． 47．如图，点C在线段上，于B，于D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查一元一次方程与几何图形的关系，全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是关键． 根据题意，分别用含t的式子表示出，结合全等三角形的性质，分类讨论，正确列式求解即可． 【详解】解：，，点P以的速度沿向终点E运动， ∴点从的运动时间为，点从的运动时间为，共用时， 点以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动， ∴点从的运动时间为， 设运动时间为， 如图所示，当时，点在上，点在上，则， ∴， 根据题意，时，， ∴， 解得，； 当时，点在上，点从点第一次返回点，则， 根据题意，时，， ∴， 解得，； 当时，点在上，点从点第二次返回点，则， 根据题意，时，， ∴， 解得，； 综上所述，当以P，C，为顶点的三角形与全等时，t的值为或或， 故答案为：或或． 48．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得， ， ， 解得． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ， ， 解得； 综上所述：当或2时与全等． 【题型三 有垂直关系的全等三角形证明】 49．【结论探索】 （1）如图1，是的平分线，点在上，于点，延长交于点，则与全等吗？请判断并说明理由． 【结论应用】 （2）如图2，在中，于点，．求证：． （3）如图3，在中，，，是的平分线，交的延长线于点，直接写出与的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，灵活掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用证明即可； （2）延长交于点，与（1）同理可证，则，再结合三角形的外角的性质即可证明； （3）延长交的延长线于点，与（1）同理可证，则，再证明得到，从而得到． 【详解】解：（1）．理由如下： ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． 在与中 ， ∴． （2）证明：如图，延长交于点，则． 在与中 ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）．理由如下： 如图，延长交的延长线于点，则． ∵是的平分线， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 50．如图，在中，，，点是内部一点，连接，作，，垂足分别为点，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意易证得，，利用的判定方法证明即可； （2）由（1）的全等三角形的性质得到、，进而得到，根据三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，如图； ， ， ，， ，， ． 51．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即一线三等角模型和字模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系____； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． （4）如图4，正方形中，，，求的面积． 【答案】（）详见解析 （） （） （） 【分析】本题考查同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，与三角形的高相关的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由结合同角的余角相等，结合已知可得 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差，即可证得结论； （2）由同角的余角相等，结合已知可得，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （3）由（2）得，，设，则，求出，，代入三角形的面积公式，即可得的面积； （4）过作，交延长线于点，正方形中，，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，代入三角形的面积公式，即可得的面积. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的面积为． （4）解：如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的面积为． 【题型四 线段数量关系有关的全等问题】 52．如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）方法证明即可； （3）同（2）方法求解． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ， ； ，， ． （2），证明如下， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即 53．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． (1)如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； (2)如图2，的角平分线、相交于点P，，判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）运用角平分线定义证明，即可得出结论； （2）在上取点D，使，连接，，根据三角形角平分线相交于一点，得到，证明，得到，，根据得到，则，结合得到，即可得出结论； （3）在上取点E，使，连接，得到，结合的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，证明，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 在上取点D，使，连接，，如图1， ∵的角平分线、相交于点P， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：，理由如下： 在上取点E，使，连接，如图2， 则， ∵， ∴， ∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 54．已知，在四边形中，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小李的解题思路：先证明______；再证明 ，即可得出之间的数量关系为 ． (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长至M，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明， 即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：上述结论依然成立． 证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∴． 【题型五 全等三角形的实际问题】 55．【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 【答案】（1）；说明见详解（2），证明见详解（3），理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可求解； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ∴，， ∵， ∴． （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 56．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． (1)试说明：； (2)求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，余角，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 解：先推导出，，，得到，继而证明，则，即可解答； （2）由，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵． ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ （2）∵ ∴    ∵ ∴ 答：的长为． 57．如图是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．将其正面抽象成数学图形如图所示，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点，液压杆． (1)求证： (2)若，则的度数为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的证明，平行线的性质； （1）由等长的支架交于它们的中点，得到，，再根据对顶角相等得到，即可证明； （2）由平行线的性质得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵等长的支架交于它们的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵桌面与底座平行，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型一 倍长中线模型】 58．如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定及性质；延长至，使，由判定，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：延长至，使， 是边上的中线， ， ， （）， ， ， ， ， 故选：A． 59．【现场学习】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． (1)补全小明的证明过程． (2)请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； 【详解】（1）解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． （2）解：∵，， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴． 60．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证：． 证明：延长到点E，使， 在和中， ∵（已作）， （ ）， （中点定义）， ∴（ ）； (2)[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [问题解决] 如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)对顶角相等；； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键： （1）根据对顶角相等，线段中点的定义以及证明三角形全等作答即可； （2）延长交的延长线于F，证明，得到，，再证明，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：延长到点E，使， 在和中， ∵（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴； （2）解：如图，延长交的延长线于F， ，， ， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， ． 【题型二 一线三等角模型】 61．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）由（1）得，那么，进而得出，证明，则，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， 在和中， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 62．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，，进而可得；，代入数据，即可求解； （2）同（1）的方法证明即可； （3）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 63．如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E． (1)求证：①；②； (2)拓展：如图②，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求三角形的面积， （1）①先根据垂直定义和等角的余角相等证明，再证明即可；②利用全等三角形的性质得到，进而可得结论； （2）证明可得，再作，可得，进而得出答案. 【详解】（1）证明：①于D，于E．， ， ， ， ； ②， ， ， ； （2）证明：，，且， . ∵，， ， ． 如图所示，过点A作于，则，. ， . ， 与的面积之和为6. 【题型三 半角模型】 64．在如图1、图2，图3中，点、分别是四边形边、上的点：下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： (1)在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则 ． 在图2中，，，，，，；则 ． (2)归纳证明：在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】(1)7，5； (2)见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，进而依据“”判定△和△全等得，再根据可得的长； 延长到，使，连接，先依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，进而依据“”判定△和△全等得，再根据可得的长； （2）延长到，使，连接，先证明，进而依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，继而依据“”判定△和△全等得，再根据可得线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1所示： 四边形为正方形， ，， 点是延长线上的点，且， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，，， 故答案为：7； 延长到，使，连接，如图2所示： ， ， 在△和△中， △△， ，， ，， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，，， 故答案为：5； （2）解：图3中线段，，之间的数量关系是：，证明如下： 延长到，使，连接，如图3所示： ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ． 65．（1）如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且，求证； （2）如图2，在四边形中，， ，E、F分别是边、上的点，且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是边、的延长线上的点，且，，请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；理由见解析 【分析】题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）延长到G，使，连接，证明，可得，进而可得结论； （2）延长至M，使，连接．证明．可得．然后根据，证明．可得．进而可以得到结论； （3）在上截取，使，连接．证明．可得．然后可得出，，那么． 【详解】（1）证明：如图，延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：． 证明：如图3，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 66．在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，则，先依据“”判定和全等得，，进而得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到H，使，连接，则，先证明，进而可依据“”判定和全等，则，，继而结合已知条件可得出是的平分线，由此可依据“”判定和全等，则，据此即可得出答案； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①延长到点G，使，连接，如图1所示： ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系是：， 故答案为：①，②． （2）解：结论仍然成立，理由如下： 延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立． （3）解：， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 【题型四 手拉手模型】 67．如图，四边形与都是正方形，相交于点O，相交于点M，相交于点N． (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据正方形的定义，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）由，得到，再利用三角形的外角性质可证明，据此可得到结论成立． 【详解】（1）证明：∵四边形，均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 68．综合与探究 (1)如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ； (2)求的度数； (3)如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 且． 理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）利用证明即可解答； （2）根据全等三角形的对应角相等结合三角形的外角的性质推出即可； （3）利用证明即可得到，再根据角的和差以及等量代换即可证明． 【详解】（1）解：在和中： ， ∴， 故答案为． （2）解：， ∴， ∵， ∴． （3）解： 且． 理由如下： ， ． ． 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， ． 69．已知在中，，，D为直线AC上的一动点（点D不与点A、C重合），将BD绕点B逆时针旋转90°得到BE，连接CE，DE． (1)如图1，当点D在边BC上时，求证：． (2)当点D在直线AC上时，如图2，图3所示，线段AC，CD，CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，选择一个结论写出证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②；证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解题的关键是找出全等三角形． （1）证明，由全等三角形的性质可得，即可证明； （2）同（1）由全等三角形的性质可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图2：①． 证明：当点在的延长线上时 由旋转可得，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 如图3：②． 当点D在CA的延长线上时： 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $