专题03 实数（5知识&16题型&7易错&4方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学实数专题知识清单系统整合了平方根、算术平方根、立方根、实数及近似数五大知识模块，配套16类典型题型、7项易错警示和4种解题方法，构建从概念理解到运算应用再到综合探究的递进式学习支架。 清单通过对比表格（如平方根与算术平方根的区别联系）、非负性应用题型、估算方法（如完全平方公式近似计算）等设计，培养学生抽象能力和运算能力。特别设置易错点专项训练（如求算术平方根忽略非负性），帮助学生自主梳理知识，教师可据此精准设计教学，提升课堂实效。

专题03 实数（5知识&16题型&7易错&4方法清单） 【清单01 平方根】 【概念】如果，那么x叫做a的 ，也叫做 . 【表示】正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 【注意】一个数的平方根平方后仍然等于 . 求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为 ； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3. 没有平方根； 4.； 5.. 【清单02 算术平方根】 【概念】算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的 ； 【表示】正数a的算术平方根记作，读作“ ”； 【性质】正数的算术平方根是一个 ，0的平方根也叫做0的 ， 没有算术平方根. 【重点】算术平方根具有 ：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. 【清单03 立方根】 【概念】一般地，如果，那么x叫做a的 . 【性质】正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是0. 【清单04 实数】 【概念】无线不循环小数叫做 . 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 【概念与分类】 1.有理数和无理数统称为 . 2.实数的分类 （1）按 分类： （2）按 分类： 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数； （2）数轴比较法； （3）法则比较法； （4）作差比较法； （5）作商比较法； （6）倒数比较法； （7）平方比较法； 【清单05 近似数】 【概念】接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做 . ：与实际完全符合的数值称为 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 其他近似数的取法 （1） ； （2） ； 【题型一 平方根概念理解】 1．有平方根，则x满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 3．已知一个正数m的两个不同的平方根分别为a和，则 ， ． 【题型二 求一个数或式的平方根】 4．的平方根是 ． 5．若，则 ． 6．已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 【题型三 已知一个数的平方根求这个数】 7．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 8．若与是同一个正数的平方根，则的值为 ． 9．已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【题型四 利用平方根解方程】 10．解方程： (1)． (2)． 11．小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 12．某正数m的两个不同平方根分别是和， (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程的解 【题型五 求一个的算术平方根】 13．已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 14．是自然数，若满足，则 ，若，则 ． 15．已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【题型六 利用算术平方根的非负性解题】 16．若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 17．已知，则的值是 ． 18．已知：．求： (1)x、y的值； (2)求的平方根． 【题型七 估计算术平方根的取值范围】 19．已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 20．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 21．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【题型八 算术平方根的实际应用】 22．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”刚好围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 23．观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 24．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【题型九 立方根概念理解】 25．给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 26．若和都是的立方根，则 ， ． 27．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【题型十 求立方根】 28．求下列各式中的： (1)； (2)． 29．已知，则的立方根为 ． 30．已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 【题型十一 立方根的实际应用】 31．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 32．有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长 ． 33．王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【题型十二 无理数】 34．下列实数，，，，，（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．若的整数部分是，的小数部分是，则 ． 36．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【题型十三 实数的概念与分类】 37．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 39．把下列各数分别填入相应的集合里： ，，0，，，，，，（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 【题型十四 实数与数轴】 40．如图，数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 41．如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则 ． 42．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【题型十五 实数的大小比较】 43．把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来： ，，，，． 44．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 45．（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 【题型十六 近似数】 46．数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 48．【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【题型一 求算术平方根时忘记忽略负值】 49．已知，则（   ） A．4045 B．4047 C．4049 D．4050 50．已知，那么的算术平方根为 ． 51．已知一个正数m的两个不同的平方根是和，的立方根是． (1)求a，b，m的值； (2)求的算术平方根． 【题型二 算术平方根的非负性解题】 52．在数轴上点A表示a， 点B 表示b， 且a， b满足． (1) ， ； (2)求点A 与点B之间的距离； (3)若点A与点C之间的距离用表示，点B与点C之间的距离用表示，请在数轴上找一点C，使得，求点C在数轴上表示的数c的值． 53．若的三边长分别为，其中和满足，求最长边的最大整数值． 54．已知：实数满足关系式求的值． 【题型三 估计算术平方根的取值范围】 55．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 56．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 57．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 【题型四 算术平方根的规律探索题】 58．观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 59．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第1行               第2行           第3行        第4行   ．．．                 ．．． 根据数阵的规律，第10行从右往左数第二个数是 ． 60．（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【题型五 与立方根有关的规律探索题】 61．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 62．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 63．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【题型六 实数与数轴的对应关系】 64．如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 65．观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 66．小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【题型七 近似数问题】 67．冀教版数学课本长度约为，该近似数精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．十位 68．下列说法错误的有 ． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 69．用四舍五入法取近似值，把精确到的结果约是 ． 【题型一 算术平方根的规律探索方法】 70．已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出 （n为正整数，结果用含有n的式子表示） 71．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为 ． 72．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【题型二 立方根的规律探索方法】 73．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 74．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 75．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【题型三 平方根、立方根的实际问题】 76．清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 77．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：__________；图2：；图3：__________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则__________． （3）若，为非负数，，，则__________． （4）若，则__________． （5）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 78．根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【题型四 无理数整数部分的有关计算】 79．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 80．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 81．根据下表回答下列问题： x 17 18 289 324 (1)的平方根是______，______， ______； (2)若这个数的整数部分为，求的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数（5知识&16题型&7易错&4方法清单） 【清单01 平方根】 【概念】如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. 【表示】正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 【注意】一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【清单02 算术平方根】 【概念】算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 【表示】正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 【性质】正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 【重点】算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. 【清单03 立方根】 【概念】一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 【性质】正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【清单04 实数】 【概念】无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 【概念与分类】 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数； （2）数轴比较法； （3）法则比较法； （4）作差比较法； （5）作商比较法； （6）倒数比较法； （7）平方比较法； 【清单05 近似数】 【概念】接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 其他近似数的取法 （1）去尾法； （2）进一法； 【题型一 平方根概念理解】 1．有平方根，则x满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，解一元一次不等式．根据平方根的定义，被开方数必须为非负数，因此需满足，解此不等式即可． 【详解】解：有平方根， ， ， ． 故选：D． 2．下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 【答案】D 【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可. 【详解】A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意； C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意． 故选：D． 3．已知一个正数m的两个不同的平方根分别为a和，则 ， ． 【答案】 3 9 【分析】此题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解a，再求m． 【详解】解：∵一个正数m的两个平方根分别为和， ∴ 解得：． 则． 故答案为：3；9． 【题型二 求一个数或式的平方根】 4．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 先计算的值，再求该值的平方根即可． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 5．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 6．已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． 【详解】（1）解：因为有意义， ∴， 解得：， ∴ （2）， ∴的平方根为． 【题型三 已知一个数的平方根求这个数】 7．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 8．若与是同一个正数的平方根，则的值为 ． 【答案】4或100/100或4 【分析】本题考查平方根．根据平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数或相等，据此列出方程求解． 【详解】解：设与是正数的平方根，则有两种情况： 当时， 解得， ， ． 当时， 解得， ， ． 的值为4或100． 故答案为：4或100． 9．已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【分析】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握相关定义是解决本题的关键． 【题型四 利用平方根解方程】 10．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 11．小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 【答案】(1)负数没有平方根 (2)⑤或；⑥或 【分析】本题考查利用平方根解方程，读懂题意，按照阅读材料中的方法求解是解决问题的关键． （1）根据平方根的性质即可得到答案； （2）仿照③、④，利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：方程②无实数解的依据是：负数没有平方根， 故答案为：负数没有平方根； （2）⑤解：． ． 或 ⑥解：． 或． 或． 12．某正数m的两个不同平方根分别是和， (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程的解 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方根的性质，利用平方根解方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求解即可； （2）把代入，求出平方根的值，再根据平方根的定义求解即可； （3）先将代入方程，再利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得：； （2）解：把代入，得：， ∴的一个平方根是， ∴； （3）解：把代入方程，得：， ∴， 解得：． 【题型五 求一个的算术平方根】 13．已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，根据算术平方根和绝对值的非负性得到关于的二元一次方程组，求解后，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根是1； 故选B． 14．是自然数，若满足，则 ，若，则 ． 【答案】 3或5/5或3 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 对于第一个方程，通过配方化为平方和为零的形式求解； 对于第二个空：先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴且， 解得，． 因此； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵x，y是自然数， ∴，或，． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 故答案为：；3或5． 15．已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的性质与算术平方根的计算，解题的关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程，求解得的值； （2）将的值代入计算结果，再求其算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得 化简得： 解得： （2）将代入，得： 9的算术平方根是3． 【题型六 利用算术平方根的非负性解题】 16．若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根的概念，整体思想，解题的关键是掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0． 根据绝对值和平方的非负性列出方程组，根据整体思想求出的值，再根据平方根的概念解答即可． 【详解】解：， ①－②，得， 的平方根是． 故选：C． 17．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，将原等式化为非负数的和为0的形式，求出的值，再根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴． 18．已知：．求： (1)x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，求平方根，掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据算术平方根和绝对值的非负性求解即可； （2）先求出的值，即可求出它的平方根． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，． （2）解：当，时， ， ∴的平方根是． 【题型七 估计算术平方根的取值范围】 19．已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 20．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 21．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究：；问题解决：方法①；方法②；比较分析用②的形式求的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． 【题型八 算术平方根的实际应用】 22．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”刚好围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)“混天绫”的总长度 (2)能够完成新阵法，见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义求出正方形的边长为，进而计算即可； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度； （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得，即． 解得， ∵， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为12米， ∴长方形的周长为米， ∵， ∴能够完成新阵法． 23．观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； （2）如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； （3）阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 24．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【答案】(1) (2)小正方形的面积为，边长为 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用 （1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题； （2）根据图形可得大正方形的边长为，用大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出小正方形的面积，进而求得其边长． 【详解】（1）小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（舍去负值）， ∴小正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：根据图形可得大正方形的边长为， ∴小正方形的面积为 ∴小正方形的边长为． 【题型九 立方根概念理解】 25．给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根和立方根的定义，理解平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：∵0和正数都有平方根， ∴①错误， ∵是的一个平方根， ∴②正确， ∵平方根等于它本身的数只有， ∴③正确， ∵的立方根是3， ∴④错误， 故选：C． 26．若和都是的立方根，则 ， ． 【答案】 6 1 【分析】本题考查了立方根的定义和解一元一次方程．先根据立方根的定义确定根指数，求出b的值，再利用两个立方根相等得到被开方数相等，求出a的值． 【详解】解：和都是的立方根， ，． 解得∶，． 故答案为∶6；1 27．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【答案】(1)； (2)；任意实数 (3)或 【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据，，，并结合题意即可得解； （2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可； （3）根据四次方根的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴81的四次方根为， ∵， ∴的五次方根为， 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 故的取值范围是； 若有意义，则的取值范围是任意实数， 故答案为：；任意实数； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【题型十 求立方根】 28．求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的知识点．解题的关键在于准确运用平方根和立方根的定义来求解方程． （1）根据平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，表示为．本题中，则，即求的平方根． （2）根据立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，表示为．本题中，即求的立方根，得到的值，再解出． 【详解】（1）解： （2）解： 29．已知，则的立方根为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值及立方根的定义，根据非负数的性质得到关于的二元一次方程组，求出的值，进而得到的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴得，， ∴， ∵， ∴的立方根为2． 故答案为：． 30．已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律． 利用立方根的性质，将1510分解为，再分别求立方根后相乘． 【详解】解：∵ ， 又∵ ，， ∴ ． 故选：C． 【题型十一 立方根的实际应用】 31．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 32．有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长 ． 【答案】6 【分析】本题考查立方根的应用，设大正方体纸盒的棱长为，根据“大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大”列方程，利用立方根解方程即可． 【详解】解：设大正方体纸盒的棱长为， 由题意，得， 整理，得， 解得． 即大正方体纸盒的棱长为， 故答案为：6． 33．王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 【题型十二 无理数】 34．下列实数，，，，，（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：∵中的π是无理数，∴是无理数； ∵，是整数，∴是有理数； ∵，是整数，∴是有理数； ∵，是整数，∴是有理数； 是无理数； ∵（每相邻两个4之间一个0）是无限循环小数，∴是有理数； ∴无理数有2个． 故选：B． 35．若的整数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确地估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首先对估算出大小，从而求出其的整数部分与的小数部分，得出a，b的值后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的整数部分是a， 的小数部分是b， ∴， ， ∴． 故答案为：． 36．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 【题型十三 实数的概念与分类】 37．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 38．在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 39．把下列各数分别填入相应的集合里： ，，0，，，，，，（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类和概念是解题的关键． 根据实数的分类，逐一判断，即可求解． 【详解】解：，， 有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数， 有理数集合为，0，，，，； 无理数是无限不循环小数， 无理数集合为，（每两个2之间依次多一个1）； 正实数是大于0的实数， 正实数集合为，，，，（每两个2之间依次多一个1）； 负实数是小于0的实数， 负实数集合为，． 【题型十四 实数与数轴】 40．如图，数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算方法（利用完全平方数比较）和数轴上点与实数的一一对应关系，解题的关键是通过找出与14相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再匹配数轴上各点的区间． 先找出小于 14 和大于14的最近完全平方数：，；由可得，即；结合数轴上点的区间确定表示的点为R． 【详解】解：∵，，且 ∴，即； 又∵数轴上点P在1～2之间，点Q在2～3之间，点R在3～4之间，点S在4～5之间， ∴表示的点是点 R， 故选：C． 41．如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则 ． 【答案】/ 【分析】知识点：数轴两点间距离公式．方法：根据点的位置确定距离表达式，列等式求解．关键：正确判断距离的符号（大数减小数）．易错点：距离表达式符号错误（忽略的条件）． 首先用数轴距离公式表示和；再由列等式，解出a． 【详解】由数轴上两点间距离公式，（因），． 已知，故： 解得： ． 故答案为：． 42．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和算术平方根非负性，求一个数的平方根和立方根，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据数轴上点的移动，左减右加，求出的值即可； （）根据点的位置，确定，，进而化简即可； （）根据绝对值和算术平方根非负性求出的值，进而求出代数式的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意知：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为：． 【题型十五 实数的大小比较】 43．把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来： ，，，，． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，先对无理数进行估算，再根据无理数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴；； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】题目主要考查无理数的大小估算，实数的大小比较，熟练掌握估算方法是解题关键． （1）根据实数的大小比较方法即可求解； （2）根据题意得，，即可求解； （3）先平方，再利用作差法比较即可； （4）先平方，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 45．（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 【答案】（1）；（2）面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了正方形的面积公式，实数大小的比较，算术平方根的应用，读懂图形是解答关键. （1）根据正方形面积公式求解； （2）观察图形，利用在数轴上右边的数总比左边的大,边长长的正方形面积也大来求解； （3）利用从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长来求解. 【详解】解：根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为. 故答案为：； （2）面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长. 理由如下： 从图中可以看到，面积为的正方形在面积为正方形的左边，所对应的边长在数轴上的位置为在的左边. 在数轴上右边的数总比左边的大， 所以小于， 即， 所以面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长； （3）从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长. 设两个正方形的面积分别为和，根据正方形面积公式，它们的边长分别为和. 因为面积大于，所以对应的边大于， 所以两个正数，那么. 【题型十六 近似数】 46．数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 47．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，掌握知识点是解题的关键． 精确到百分位时，根据四舍五入法，需看千分位上的数字．近似数为，则原数最大时对应四舍情况，千分位小于5；最小时对应五入情况，千分位大于等于5． 【详解】解：设原数为三位小数（a、b、c分别为十分位、百分位、千分位数字）．精确到百分位时，若千分位，则舍去，近似数为，要求等于， 故，最大值为；若千分位，则向百分位进1，近似数为，要求等于，且进位后百分位为0、十分位为8，故，最小值为． 故答案为；． 48．【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【答案】(1)小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式是正确解答的关键． （1）利用题目所提供的方法进行计算即可； （2）估算无理数的大小，设，得到，忽略，求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， 即， ， ． 比较小可以忽略不计， ，解得． 即的近似值为． ∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ， 即， 由于，， 由于较小，忽略不计， ，解得， ∴． 【题型一 求算术平方根时忘记忽略负值】 49．已知，则（   ） A．4045 B．4047 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，完全平方公式的应用等知识，由得到，再代入中，通过化简得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：C． 50．已知，那么的算术平方根为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方，算术平方根的定义等知识，根据非负数的性质，求出，，再代入求得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 51．已知一个正数m的两个不同的平方根是和，的立方根是． (1)求a，b，m的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)3 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键 （1）根据正数的两个不同的平方根是和，根据平方根的性质，列出方程解出a，继而可求出m；再根据的立方根为，列出方程解出b； （2）把，代入计算出代数式的值，然后求它的算术平方根即可． 【详解】（1）解：因为一个正数m的两个不同的平方根是和 所以 解得：； ∴ ∴； 因为的立方根是 所以 解得：． （2）解：由上一问结论可知，， 则， ∵9的算术平方根为3． ∴的算术平方根为3． 【题型二 算术平方根的非负性解题】 52．在数轴上点A表示a， 点B 表示b， 且a， b满足． (1) ， ； (2)求点A 与点B之间的距离； (3)若点A与点C之间的距离用表示，点B与点C之间的距离用表示，请在数轴上找一点C，使得，求点C在数轴上表示的数c的值． 【答案】(1)，3 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值和二次根式的非负性，两点之间的距离，线段的倍数关系等知识点，解题的关键是熟练掌握数轴的意义． （1）利用绝对值和二次根式的非负性进行求解即可； （2）利用数轴上两点距离公式进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论，利用线段的长度分别求出点表示的数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， 故答案为：，3； （2）解：, ∴点A 与点B之间的距离为； （3）解：当点在线段上时， , 此时，点C在数轴上表示的数c的值为； 当点在线段延长线上时， , 此时，点C在数轴上表示的数c的值为； 综上，c的值为或． 53．若的三边长分别为，其中和满足，求最长边的最大整数值． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，因式分解的含义；由题意可得，求解，，再结合三角形的三边关系求解即可. 【详解】解：∵由题意得，， ∴， ∴且， ∴，， 又∵中，， ∴， ∵为最长边， ∴, ∴最长边的最大整数值为． 54．已知：实数满足关系式求的值． 【答案】2027 【分析】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解，，的值是解题的关键．根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解，，的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得，，， ． 【题型三 估计算术平方根的取值范围】 55．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根，无理数大小估算等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由可得； （2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案； 【详解】（1）解：， （2），， ， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 值很小，更小， 解得（保留到）， ∴． 56．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 57．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 【答案】1 【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论． 【详解】解：拼剪后的正方形的面积， ∴， ∵，即 ∴， ∴的整数部分是1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【题型四 算术平方根的规律探索题】 58．观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 59．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第1行               第2行           第3行        第4行   ．．．                 ．．． 根据数阵的规律，第10行从右往左数第二个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索题，根据数阵的规律，每一行的最后一个数的被开方数是行数与的乘积，即，第10行最后一个数的被开方数为，因此从右往左数第二个数的被开方数为，即，即可作答． 【详解】解：观察数阵，第1行最后一个数为， 第2行最后一个数为， 第3行最后一个数为， 以此类推，第行最后一个数为， 因此第10行最后一个数为， 由于数阵中的被开方数是连续的正整数，从右往左数第二个数的被开方数为， ∴第10行从右往左数第二个数是， 故答案为：． 60．（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 【题型五 与立方根有关的规律探索题】 61．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 62．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 63．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型六 实数与数轴的对应关系】 64．如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、数轴上点的表示、绝对值的化简、非负数的性质及平方根的计算，熟练掌握非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）是解题的关键． （1）根据正方形面积求边长，结合数轴上点的位置确定点、表示的数； （2）①根据蚂蚁爬行的速度、时间得到移动距离，结合点表示的数表示出点的数； ②代入的值得到，再计算绝对值表达式的值； （3）利用非负数的性质（算术平方根与绝对值的非负性）列方程，求解、后计算的平方根． 【详解】（1）解：∵面积为的正方形边长为，点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∵面积为的正方形边长为，点在原点右侧， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点表示，蚂蚁向右爬了个单位， ∴． ②当时，； ∵，， ∴． （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，① 且．② 解①得，则， ∴； 解②得，则， ∴． ∴， ∴的平方根为． 65．观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 【答案】(1)； (2)； (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】（1）根据网格构造直角三角形，利用各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （3）利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； （4）根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长均为， ∴， ∴阴影正方形的边长为． 故答案为：；； （2）∵，，， ∴， 即， 故答案为：；； （3）由（1）知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； （4）如图，取格点、、、，再顺次连接， 由（1）知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． 66．小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间； （2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或； （3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． 【题型七 近似数问题】 67．冀教版数学课本长度约为，该近似数精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．十位 【答案】B 【分析】本题考查了求近似数的精确度，解题关键是掌握精确度． 近似数的最后一位数字0位于百分位，表示该数精确到百分位． 【详解】解：∵近似数的最后一位数字在百分位上， ∴该数精确到百分位． 故选：B． 68．下列说法错误的有 ． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 【答案】③ 【分析】本题考查精确度，根据近似数的精确度概念，逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①近似数万表示，数字在千位上，所以精确到千位，说法正确； ②近似数百万表示，精确到百万位；近似数万表示，精确到万位，所以精确度不同，说法正确； ③近似数精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，说法错误； ④数精确到万位，万位是，千位是，四舍五入得，用科学记数法表示为，说法正确． 故说法错误的有③． 故答案为：③ 69．用四舍五入法取近似值，把精确到的结果约是 ． 【答案】 【分析】根据四舍五入精确到即可求解． 【详解】(精确到)， 故答案为：． 【点睛】此题考查了近似数，解题的关键是熟知四舍五入精确到的方法． 【题型一 算术平方根的规律探索方法】 70．已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出 （n为正整数，结果用含有n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，算术平方根，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数，则，把原式变形为即可求解． 【详解】解：观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数， 1个奇数的和：； 2个奇数的和：； 3个奇数的和：； 4个奇数的和： …… 归纳可得：， ∴ 故答案为：． 71．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 72．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 【题型二 立方根的规律探索方法】 73．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． 74．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】(1)两位数 (2)9 (3)3 (4)26；47 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 75．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 【题型三 平方根、立方根的实际问题】 76．清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 77．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：__________；图2：；图3：__________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则__________． （3）若，为非负数，，，则__________． （4）若，则__________． （5）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2）13；（3）；（4）10；（5） 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法计算各个图形中阴影部分的面积即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； （3）根据完全平方公式变形求解即可； （4）根据完全平方公式变形求解即可； （5）设，由题意可得，根据求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：（1）图1是边长为的正方形，因此面积为， 组成图 1 四个部分的面积和为， 因此， 图2阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2阴影部分也可以看作大正方形减去空白部分的面积，即， 因此有， 图3左图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 图3右图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：13； （3）∵，， 则， ∴． （4）∵，， 则 ． （5）设， 则， ， ， 解得：， ∴阴影部分的面积为． 78．根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【答案】(1)数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位 (2)①12和13之间；②12.26；③9.02平方米 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴ ∴介于整数12和13之间； ②∵ ∴ 故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【题型四 无理数整数部分的有关计算】 79．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 80．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）由得到，即可求解； （2）由得到的整数部分与小数部分，即可解答． 【详解】（1）解：∵，所以， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 所以． 81．根据下表回答下列问题： x 17 18 289 324 (1)的平方根是______，______， ______； (2)若这个数的整数部分为，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及表格中数据的对应值是正确解答的关键． （1）根据平方根、算术平方根的定义以及表格中数据的对应值进行解答即可； （2）根据表格中数据的对应值，估算无理数的大小，确定的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由表可得，所以316.84的平方根是； ； ； 故答案为：；；； （2）由表格中数据的对应值可知，，且，可得， ∴， ∴的整数部分为， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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