第十四章 实数（知识清单）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学“实数”单元知识清单系统整合了平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数分类及近似数等核心内容，构建了从概念定义到性质应用再到易错点解析的阶梯式学习支架。 清单通过对比表格明晰概念差异（如平方根与算术平方根的区别联系），标注易错点（如“负数没有平方根但有立方根”），提炼规律技巧（如“算术平方根双重非负性”“立方根符号与原数一致”），培养学生抽象能力与运算能力。配套例题覆盖基础应用与综合拓展，助力学生自主梳理知识体系，也为教师提供精准教学参考。

第十四章 实数 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点二、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 知识点三、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 知识点四、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 知识点五、实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 知识点六、近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 一、平方根与算术平方根 1.一个正数的平方根有两个，互为相反数 错误：忘记负根 注意：一个正数的平方根有两个，千万不能忘记负数根 例1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)8 【分析】本题考查了平方根的性质和算术平方根的定义，解题的关键是利用“一个正数的两个不同平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据平方根互为相反数的性质列方程求，再代入平方根的表达式平方得； （2）代入和的值计算代数式，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得． ∵， ∴． ∴，； （2）解：∵， 又∵， ∴的算术平方根是． 2.算术平方根的双重非负性 错误：在算术平方根中，底数要大于等于0，结果也要大于等于0 注意：要注意算术平方根的双重非负性 例2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）已知、为实数，且，则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】∵ ，，且， ∴，， ∴，即，，即， ∴， ∴ 的平方根为； 故选B． 3.算术平方根的规律性问题 错误：底数和结果之间的倍数关系搞混 注意：一般底数是100倍，结果就是10倍 例3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为 ． 【答案】 【分析】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 二、立方根 1.无论正数、负数，还是0，均有立方根 错误：与平方根搞混，忽略负数也有立方根 注意：牢记负数也要立方根，切与原数符号保持一致，0也有立方根 例4．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，； (2)3 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根的定义可直接求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，； （2）当，时，， ∴的立方根为3． 2.立方根的规律性问题 错误：底数和结果之间的倍数关系搞混 注意：一般底数是1000倍，结果就是10倍 例5．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，正确理解题意、找到规律是关键．根据已知的式子结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答，注意符号． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 三、实数 1.实数的概念与分类 错误：实数的分类界限不清晰，导致分类错误 注意：掌握实数的概念，注意分类 例6．（25-26八年级上·河北唐山·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： ，，，，，，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：{　　　　　　}； “分数”席：{　　　　　　}． 【答案】(1)3 (2)； 【分析】本题主要考查了无理数的定义，有理数的分类，即无限不循环小数是无理数，有理数包括整数和分数， 对于（1），根据无理数的定义解答； 对于（2），根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：（每两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数，一共3个， 所以主办方需要准备3个“无理数”的席位； 故答案为：3； （2）解：， “整数”席：； “分数”席：， 故答案为：；． 2.无理数的整数部分与小数部分的计算问题 错误：不会表示无理数的小数部分 注意：用原数减去整数部分即可得到小数部分 例7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根； (2)若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了无理数的整数部分的有关计算，求无理数的整数部分和小数部分，实数的运算，熟练掌握无理数的整数部分的有关计算是解题的关键． （1）根据题意，先求出a，b的值，再代入求值，最后计算得平方根即可； （2）先根据无理数的整数部分和小数部分求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：是的整数部分， ， 的整数部分是2，而b是的小数部分， ， ， 16的平方根是， 的平方根是； （2）解：， ， 的整数部分是15，小数部分是， 是整数，且， ，， ． 四、近似数 1.近似数的精确度 错误：近似数精确到哪一位，不知道怎么处理，不知道有效数字概念 注意：精确到哪一位，就看这个数字的后一位；有效数字指的是从左往右数第一个不为0的数，看看一共有多少个 例8．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． （1）精确到，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可； （4）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到百分位）； （4）解：（精确到）． 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）学完近似数后，老师开展了随堂测试，下面是嘉嘉的答卷，则他做对的题目数量是（   ） 姓名：嘉嘉  做对______道 判断（正确打√，错误打×） ①近似数与表示的意义相同．（√） ②近似数精确到．（√） ③近似数“万”精确到了千分位．（×） ④保留两位小数的近似数是．（√） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的相关知识，，熟记相关结论是解题关键． 根据近似数的精确度和有效数字的意义，逐题判断嘉嘉的答案的正误即可． 【详解】①：精确到十分位，精确到百分位，意义不同， ∴ 嘉嘉的判断错误； ②：的最后一位在万分位，精确到， ∴ 嘉嘉的判断正确； ③：万，最后一位数字“”在十位，故“万”精确到十位， ∴ 嘉嘉的判断正确； ④：保留两位小数，第三位小数，舍去得， ∴ 嘉嘉的判断正确； ∴ 嘉嘉做对道题． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了求立方根与算术平方根，相反数，实数的性质；通过计算每组数的值，判断其和是否为零，只有选项C中的两个数互为相反数． 【详解】解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数． B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数． C：∵=，∵=．∴与互为相反数， D：∵，∴不互为相反数． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，立方根，利用夹逼法可得，即得，进而得到，，即得到，再根据立方根的定义即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 又∵，且是两个连续的整数， ∴，， ∴， ∵， ∴的立方根是 故选：． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，将边长为的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点将落在下列哪条线段上（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于，正方形的边长为，则另一端点将落在边上，再根据四等分点的定义即可求解．本题考查了正方形的性质，解题的关键是得到． 【详解】解：，正方形的边长为， 另一端点将落在边上， 又边长为的正方形各边四等分， ∴， 另一端点将落在线段上． 故选：． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】按照小明的计算方法解答即可． 本题考查了立方根的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：为整数，根据题意，得 ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由185193的个位上的数是3，因为，能确定的个位上的数是7； ③如果划去185193后面的三位193得到数185，而，由此能确定的十位上的数是5． 故， 由， 故选：A． 6．已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴， ∴； 故选B． 7．（24-25八年级上·北京大兴·期末）观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的定义，乘方的计算，根据表格数据逐一验证选项的正确性，重点分析平方根的范围及函数单调性． 【详解】解：A、当时，，正确； B、由表格可知，，，因，故，原结论错误； C、，故5.76的算术平方根为2.4，正确； D、表格中x从2.1到2.9时，依次递增，正确， 故选：B． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期中）已知实数a，b满足，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，根据算术平方根和平方的非负性，求出和的值，再计算的值，最后求其立方根即可． 【详解】，，且， ，， 即，， ，， ， ， 的立方根为（因为）． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，，则 ． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，被开立方的数的小数点每向左移动三位，则开立方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·河北邢台·期中）将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形．在数轴上，以原点O为圆心，为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了算术平方根的计算以及数轴的应用，解题的关键是先求出大正方形的边长，再确定点表示的数．先根据小正方形个数求出大正方形面积，进而得出边长，再结合圆的半径与数轴的关系，确定点表示的数． 【详解】解：大正方形的面积就是， 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式， 由，可得（边长不能为负，舍去），即， 以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则． 因为数轴上原点两侧到原点距离为的点有两个，分别在原点右侧和左侧，所以点表示的数为或， 故答案为：或． 11．要比较两个无理数的大小，在不借助计算器的情况下，有一种简便的估算方法：先找出一个中间量分别与要比较的两个数作比较，再利用“若，，则”这一性质比较大小．根据这种思路，比较与的大小，可取数 做中间量． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算及立方根、算术平方根，熟练掌握无理数的估算及立方根、算术平方根是解题的关键． 根据与比较接近，与比较接近，而，从而以为中间数即可比较大小． 【详解】解：∵，即：， ，即：， ∴， 故答案为：． 12．按四舍五入法则取近似值： （精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数“一般来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的定义是解题关键．根据近似数的定义，利用四舍五入法则求解即可得． 【详解】解：（精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）； 故答案为：；；． 13．（25-26八年级上·河北·开学考试）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，实数与数轴． 由正方形的面积，结合已知可得，根据点和点的位置关系，即可得点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积是， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，点在数轴上，且在点的右侧， ∴点所表示的数为． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知下列实数： ． (1)其中是负实数的有： ； (2)用“＜”按从小到大的顺序排列起来． 【答案】(1), , (2) 【分析】本题主要考查了实数的分类，求一个数的算术平方根和立方根，实数的大小比较，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）先求出数的算术平方根和立方根，再根据实数的定义进行求解即可； （2）先求出数的算术平方根和立方根，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴其中是负实数的有：, , ， 故答案为：, , ； （2）解：∵，， ∴． 15．（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知：的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握这几个知识点是解题的关键． 根据平方根的性质求出的值，根据立方根的定义求出的值，根据算术平方根的定义求出的值，再计算，最后根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：的平方根是它本身， ． 的立方根是， ， ． 的算术平方根是， ， ． ，，， ． 的平方根为． 16．（25-26八年级上·河北邢台·期中）嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁出这样的长方形，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根与平方根的应用，理解算术平方根和平方根的定义是正确解答的前提． （1）直接开平方求解即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意可得，求解出x的值，即可求解出此时的长方形的长，由（1）可知正方形纸片的边长，进而比较即可判断． 【详解】（1）解：正方形纸片的面积为， 正方形纸片的边长是； （2）不能裁出这样的长方形； 理由：设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得， 则， 所以沿此正方形纸片的边的方向裁一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长与宽之比为，且面积为． 17．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得：， 故这个魔方的棱长为4； （2）解：棱长为4， 每个小立方体的棱长都是2， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）解：正方形的边长为，点A与2重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 18．（25-26八年级上·河北唐山·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法． 例如：比较与6的大小． 解：， ，即， ， ． (1)已知为整数，且，求的值； (2)根据作差法， ①比较与的大小； ②已知，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】(1)的值为6； (2)①；② 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较、分式的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，得到，即可求解； （2）①作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论； ②作差可得，由，得到，据此判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即的值为6； （2）解：①作差得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②作差得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求解即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）解：， ， ，， ． 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 21．（25-26七年级上·河北·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 【答案】(1)10，，这个值在3与4之间 (2) (3)①点P表示的数为；②不存在，理由见解析 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决（1）的关键，（2）中需注意小数部分=原数-整数部分． （1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得x和y；将x和y代入计算即可； （3）①根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ， 这个值在3与4之间； （2）， ，， （3）①点A表示的数为，正方形的边长为， 点P表示的数为； ②不存在． 理由：假设存在正整数n,则， ， ， 为正整数， 为有理数，而为无理数， 上式等式不成立．即不存在正整数n 22．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解：， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或， 解得或1或3． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 实数 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的 ，也叫做 . （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求 . 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为 ； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有 ； 4.； 5.. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做 . 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点二、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的 ； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个 ，0的平方根也叫做0的算术平方根， 没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 知识点三、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的 . 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为 . 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做 . 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 知识点四、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做 . 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 知识点五、实数及分类 1.有理数和无理数统称为 . 2.实数的分类 （1）按 分类： （2）按 分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 知识点六、近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的 ，也叫做 . 2.准确数：与实际完全符合的数值称为 . 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的 . 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1） ：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2） ：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 一、平方根与算术平方根 1.一个正数的平方根有两个，互为相反数 错误：忘记负根 注意：一个正数的平方根有两个，千万不能忘记负数根 例1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 2.算术平方根的双重非负性 错误：在算术平方根中，底数要大于等于0，结果也要大于等于0 注意：要注意算术平方根的双重非负性 例2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）已知、为实数，且，则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 3.算术平方根的规律性问题 错误：底数和结果之间的倍数关系搞混 注意：一般底数是100倍，结果就是10倍 例3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为 ． 二、立方根 1.无论正数、负数，还是0，均有立方根 错误：与平方根搞混，忽略负数也有立方根 注意：牢记负数也要立方根，切与原数符号保持一致，0也有立方根 例4．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 2.立方根的规律性问题 错误：底数和结果之间的倍数关系搞混 注意：一般底数是1000倍，结果就是10倍 例5．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知，，，，则 ． 三、实数 1.实数的概念与分类 错误：实数的分类界限不清晰，导致分类错误 注意：掌握实数的概念，注意分类 例6．（25-26八年级上·河北唐山·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： ，，，，，，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：{　　　　　　}； “分数”席：{　　　　　　}． 2.无理数的整数部分与小数部分的计算问题 错误：不会表示无理数的小数部分 注意：用原数减去整数部分即可得到小数部分 例7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根； (2)若，其中x是整数，且，求的值． 四、近似数 1.近似数的精确度 错误：近似数精确到哪一位，不知道怎么处理，不知道有效数字概念 注意：精确到哪一位，就看这个数字的后一位；有效数字指的是从左往右数第一个不为0的数，看看一共有多少个 例8．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）学完近似数后，老师开展了随堂测试，下面是嘉嘉的答卷，则他做对的题目数量是（   ） 姓名：嘉嘉  做对______道 判断（正确打√，错误打×） ①近似数与表示的意义相同．（√） ②近似数精确到．（√） ③近似数“万”精确到了千分位．（×） ④保留两位小数的近似数是．（√） A．道 B．道 C．道 D．道 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，将边长为的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点将落在下列哪条线段上（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 7．（24-25八年级上·北京大兴·期末）观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 8．（25-26八年级上·河北邢台·期中）已知实数a，b满足，则的立方根是 ． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，，则 ． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 10．（25-26八年级上·河北邢台·期中）将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形．在数轴上，以原点O为圆心，为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数为 ． 11．要比较两个无理数的大小，在不借助计算器的情况下，有一种简便的估算方法：先找出一个中间量分别与要比较的两个数作比较，再利用“若，，则”这一性质比较大小．根据这种思路，比较与的大小，可取数 做中间量． 12．按四舍五入法则取近似值： （精确到百分位）； （精确到）； （精确到千位）． 13．（25-26八年级上·河北·开学考试）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 14．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知下列实数： ． (1)其中是负实数的有： ； (2)用“＜”按从小到大的顺序排列起来． 15．（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知：的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．求的平方根． 16．（25-26八年级上·河北邢台·期中）嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 17．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 18．（25-26八年级上·河北唐山·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法． 例如：比较与6的大小． 解：， ，即， ， ． (1)已知为整数，且，求的值； (2)根据作差法， ①比较与的大小； ②已知，则_____（填“>”“<”或“=”）． 19．阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 21．（25-26七年级上·河北·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 22．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $