培优点22：切线放缩+割线放缩+切线夹【知识梳理+题型归纳】讲义-2026届高三数学二轮复习专题

该高中数学高考复习讲义聚焦切线放缩、割线放缩及切线夹核心考点，按指数、对数、三角函数、幂函数四大类梳理不等式推导与变形，结合函数凹凸性原理构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题讲解及分层练习，帮助学生系统突破超越函数问题。 资料创新采用“剪刀模型”整合切线夹与割线夹技巧，设计“选切点-证位置-求交点”三步解题策略，培养学生数学思维与模型观念。设置经典例题与分层训练，确保学生掌握放缩方向与等号条件，助力教师精准把控复习节奏，提升学生高考应考能力。

2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点22：切线放缩+割线放缩+切线夹】 【知识拓展】 切线放缩的核心是“以直代曲”，即利用函数在某定点处的切线替代函数本身进行不等关系转化.以下梳理高考高频切线放缩不等式，涵盖指数、对数、三角函数、幂函数等四大类，附推导过程、变形形式及等号成立条件. 1.1指数函数类（核心函数：） 指数函数是下凸函数（），其图象始终在任意点切线的上方，常见切线放缩不等式如下： 基础不等式1：推导：取切点，，切线斜率，切线方程为.因函数下凸，故，等号成立条件：.常见变形：①替换，得（等号：）；②替换，得（即，等号：）. 基础不等式2：推导：取切点，切线斜率，切线方程为.因函数下凸，故，等号成立条件：.常见变形：替换（），得（即，可与对数类不等式呼应）. 拓展不等式：（二阶切线放缩）推导：取切点，利用泰勒展开一阶近似（本质是二次切线拟合），适用于需更高精度放缩的场景，等号成立条件：. 1.2对数函数类（核心函数：） 对数函数是上凸函数（），其图象始终在任意点切线的下方，常见切线放缩不等式如下： 基础不等式1：推导：取切点，，切线斜率，切线方程为.因函数上凸，故，等号成立条件：.常见变形：①替换（），得（即，等号：）；②替换（），得（等号：）；③替换（），得（即，等号：）. 基础不等式2：推导：取切点，切线斜率，切线方程为.因函数上凸，故，等号成立条件：. 拓展不等式：（）推导：取切点，构造割线辅助验证，适用于的对数不等式证明，等号成立条件：. 1.3三角函数类（核心函数：、、） 三角函数的切线放缩主要适用于区间，利用图象凹凸性推导，常见不等式如下： 核心不等式1：（）推导：函数在处切线为，因（），函数上凸，故，等号成立条件：. 核心不等式2：（）推导：函数在处切线为，因（），函数下凸，故，等号成立条件：. 核心不等式3：（）推导：函数在处切线为，利用三角函数二倍角公式验证，等号成立条件：. 记忆技巧：结合图象，是和在原点处的公切线，在区间内，，可通过图象快速联想. 1.4幂函数与组合函数类 幂函数及指数、对数组合函数的切线放缩在高考中高频出现，核心不等式如下： 1.函数：，（）推导：①取切点，切线方程为，故（等号：）；②由两边乘（），得（等号：）. 2.函数：推导：取切点，切线方程为，函数最大值为，故（等号：）. 3.函数：推导：由变形得，两边加得，等号成立条件：. 二、核心原理拓展：切线放缩的本质与适用场景 2.1与函数凹凸性的关联 切线放缩的理论基础是函数凹凸性： 下凸函数（）：图象在任意切线之上，即（如、）； 上凸函数（）：图象在任意切线之下，即（如、）. 高考中需快速判断函数凹凸性，进而选择正确的放缩方向. 2.2切线放缩的核心技巧：精准选切点 切点选择直接决定放缩成败，常见选择原则： 优先选函数零点、极值点（如选，选）； 选使得切线方程简洁的特殊点（如选、）； 结合待证不等式的结构选切点（如证明，分别对选，选）. 2.3切线夹与割线夹的原理回顾 切线夹：通过两条切线界定超越方程根的范围（放大根差）；割线夹：通过两条割线界定根的范围（缩小根差），二者合称“剪刀模型”，核心是利用一次函数根的可解性替代超越方程根的不可解性. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：切线放缩证明不等式】 【核心归纳】 核心归纳：证明含超越函数的不等式时，优先用常见切线放缩不等式将超越函数转化为一次函数或二次函数，再通过代数变形验证. 方法总结：①拆分函数：将待证不等式拆分为多个可放缩的超越函数项；②选对放缩式：根据函数类型匹配常见放缩不等式；③验证等号条件：确保所有放缩的等号条件一致（否则需调整放缩策略）. （2025高三·全国·专题练习）证明：当时，．经典例题例题 （2025高二·全国·专题练习）当时，证明：．小试牛刀1 （24-25高三上河北保定期中）已知函数.小试牛刀2 (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. （24-25高三上天津静海月考）已知函数.，其中.小试牛刀3 (1)求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)求证：. 【热点题型2：切线放缩求参数】 【核心归纳】 核心归纳：恒成立问题中，利用切线放缩可将含参数的超越函数不等式转化为含参数的一次函数不等式，简化参数讨论. 方法总结：①放缩减元：用常见不等式消去三角函数、对数等难处理项；②临界分析：找到参数的临界值（如本例中）；③验证边界：对临界值两侧的参数取值验证是否满足条件. （25-26高三上·河南周口·月考）已知函数．经典例题例题 (1)讨论的单调性； (2)若关于x的不等式恒成立，求a的值； (3)证明：对一切的，都有． （2025·河北沧州·一模）已知函数.小试牛刀1 (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. （2024高三·全国·专题练习）已知函数．若，求的取值范围．小试牛刀2 （25-26高三上·河北邢台·期中）已知函数．小试牛刀3 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性并求其最值； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【热点题型3：切线夹的应用】 【核心归纳】 核心归纳：切线夹的关键是构造“上下界切线”，将超越方程的根转化为一次方程的根，实现根差的放缩. 方法总结：①找关键切点（零点、极值点）；②证函数与切线的位置关系；③求切线与定直线交点；④利用位置关系放缩根的范围. （24-25高三上山东泰安期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为.经典例题例题 (1)求，的值； (2)证明：； (3)若函数有两个零点，，证明：. （23-24高二下广东梅州期末）已知函数在点处的切线方程为：.小试牛刀1 (1)求实数a，b的值； (2)证明：； (3)若方程有两个实数根,且，证明：. （2024山东模拟预测）已知函数，其中.小试牛刀2 (1)求函数的单调区间； (2)当时， ①证明：； ②方程有两个实根，且，求证：. （2025高二·全国·专题练习）已知，当时，若关于的方程有两个实数根，求证：．小试牛刀3 【热点题型4：割线放缩及割线夹】 【核心归纳】 核心归纳：割线放缩适用于“根差大于某表达式”的证明，通过割线缩小根的范围，与切线夹形成互补. 方法总结：①选极值点、零点构造割线；②证函数与割线的位置关系；③求交点并放缩根差. （2025高三·全国·专题练习）已知函数与有两个交点，交点横坐标分别为，，且．经典例题例题 (1)求的取值范围； (2)证明：； （2024浙江杭州一模）已知函数.小试牛刀1 (1)若，求的单调区间; (2)若，求证:; (3)若使得，求证:. （23-24高三上黑龙江哈尔滨开学考试）已知函数小试牛刀2 (1)求函数的单调区间； (2)若，证明:在上恒成立； (3)若方程有两个实数根，且， 求证:. （24-25高三下河南月考）已知函数，．小试牛刀3 (1)求函数的单调区间； (2)若方程的根为、，且，求证：． 课后针对训练 1.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数，其中，. (1)当，时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：是满足“在上存在2个零点”的一个充分不必要条件； (3)当时，若函数有两个零点，，求证：. 2.（2025高二·全国·专题练习）已知函数，函数有3个不同的零点，， (1)求证：； (2)求证：（是自然对数的底数）． 3.（2025高二·全国·专题练习）知函数，． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：． 4.（2025高二·全国·专题练习）已知． (1)求函数的最大值； (2)设，，求证：． 5.（2025高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若，证明：在上恒成立； (2)若方程有两个实数根，，且，求证：． 6.（2025高二·全国·专题练习）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若方程的根为、，且，求证：． 7.（2025高二·全国·专题练习）已知函数，． (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设，是的两个极值点，证明： （i） ； （ii）． 8.（2025高二·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的单调区间； (2)设曲线与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的实数x，都有； (3)若方程（a为实数）有两个实数根，，且，求证：． 9.（25-26高三上·河北·期中）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 10.（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 11.（2025·甘肃白银·二模）若曲线恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 ． 12.（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 . 13.（2025·重庆·三模）已知， 恒成立，则实数的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点22：切线放缩+割线放缩+切线夹】 【知识拓展】 切线放缩的核心是“以直代曲”，即利用函数在某定点处的切线替代函数本身进行不等关系转化.以下梳理高考高频切线放缩不等式，涵盖指数、对数、三角函数、幂函数等四大类，附推导过程、变形形式及等号成立条件. 1.1指数函数类（核心函数：） 指数函数是下凸函数（），其图象始终在任意点切线的上方，常见切线放缩不等式如下： 基础不等式1：推导：取切点，，切线斜率，切线方程为.因函数下凸，故，等号成立条件：.常见变形：①替换，得（等号：）；②替换，得（即，等号：）. 基础不等式2：推导：取切点，切线斜率，切线方程为.因函数下凸，故，等号成立条件：.常见变形：替换（），得（即，可与对数类不等式呼应）. 拓展不等式：（二阶切线放缩）推导：取切点，利用泰勒展开一阶近似（本质是二次切线拟合），适用于需更高精度放缩的场景，等号成立条件：. 1.2对数函数类（核心函数：） 对数函数是上凸函数（），其图象始终在任意点切线的下方，常见切线放缩不等式如下： 基础不等式1：推导：取切点，，切线斜率，切线方程为.因函数上凸，故，等号成立条件：.常见变形：①替换（），得（即，等号：）；②替换（），得（等号：）；③替换（），得（即，等号：）. 基础不等式2：推导：取切点，切线斜率，切线方程为.因函数上凸，故，等号成立条件：. 拓展不等式：（）推导：取切点，构造割线辅助验证，适用于的对数不等式证明，等号成立条件：. 1.3三角函数类（核心函数：、、） 三角函数的切线放缩主要适用于区间，利用图象凹凸性推导，常见不等式如下： 核心不等式1：（）推导：函数在处切线为，因（），函数上凸，故，等号成立条件：. 核心不等式2：（）推导：函数在处切线为，因（），函数下凸，故，等号成立条件：. 核心不等式3：（）推导：函数在处切线为，利用三角函数二倍角公式验证，等号成立条件：. 记忆技巧：结合图象，是和在原点处的公切线，在区间内，，可通过图象快速联想. 1.4幂函数与组合函数类 幂函数及指数、对数组合函数的切线放缩在高考中高频出现，核心不等式如下： 1.函数：，（）推导：①取切点，切线方程为，故（等号：）；②由两边乘（），得（等号：）. 2.函数：推导：取切点，切线方程为，函数最大值为，故（等号：）. 3.函数：推导：由变形得，两边加得，等号成立条件：. 二、核心原理拓展：切线放缩的本质与适用场景 2.1与函数凹凸性的关联 切线放缩的理论基础是函数凹凸性： 下凸函数（）：图象在任意切线之上，即（如、）； 上凸函数（）：图象在任意切线之下，即（如、）. 高考中需快速判断函数凹凸性，进而选择正确的放缩方向. 2.2切线放缩的核心技巧：精准选切点 切点选择直接决定放缩成败，常见选择原则： 优先选函数零点、极值点（如选，选）； 选使得切线方程简洁的特殊点（如选、）； 结合待证不等式的结构选切点（如证明，分别对选，选）. 2.3切线夹与割线夹的原理回顾 切线夹：通过两条切线界定超越方程根的范围（放大根差）；割线夹：通过两条割线界定根的范围（缩小根差），二者合称“剪刀模型”，核心是利用一次函数根的可解性替代超越方程根的不可解性. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：切线放缩证明不等式】 【核心归纳】 核心归纳：证明含超越函数的不等式时，优先用常见切线放缩不等式将超越函数转化为一次函数或二次函数，再通过代数变形验证. 方法总结：①拆分函数：将待证不等式拆分为多个可放缩的超越函数项；②选对放缩式：根据函数类型匹配常见放缩不等式；③验证等号条件：确保所有放缩的等号条件一致（否则需调整放缩策略）. （2025高三·全国·专题练习）证明：当时，．经典例题例题 【答案】证明见解析 【分析】根据将所证不等式转化为证明时，，利用二次求导法进行证明即可. 【详解】记函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，，即只需证时，． 令，则， 令，则， 所以， 所以在上为减函数，在上为增函数， ， 所以存在，使得， 则当，当， 即在和上为增函数，在上为减函数， 所以时，时，，即时，， 所以当时，． （2025高二·全国·专题练习）当时，证明：．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】分与讨论，构造函数、、、，利用导数讨论单调性，从而对原不等式进行放缩即可得. 【详解】， 故要证，只需证， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 又， 故时，； 令，则， 令，则， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，则， 则当时，，从而只需证， 且有，从而只需证， 即只需证，令，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，故， 即当时，，即有， 故时，； 综上所述，原不等式得证. （24-25高三上河北保定期中）已知函数.小试牛刀2 (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【分析】（1）由求得切点的坐标，代入切线方程求得. （2）利用多次求导的方法求得的单调区间. （3）将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得正确答案. 【详解】（1）， ，解得切点为， . （2）， 当时，单调递减， 当时，， 单调递增，单调递递增. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增. （3）恒成立， 恒成立恒成立. 令， 则， 令，则单调递增， 又，当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 恒成立. 【点睛】方法点睛：切点与切线的关系：在小问1中，利用导数求出曲线在给定直线为切线时的斜率，再通过求解切点的方法确定参数的值，这是典型的求切线与曲线关系的方法. 多次求导法：在小问2中，通过对函数进行多次求导，判断导数的符号变化来确定单调区间，是分析函数单调性的常用手段. 构造函数法求证不等式：在小问3中，通过将不等式转化为关于某变量的函数问题，利用构造函数并结合单调性分析来证明恒成立，是一种常用的不等式证明方法. （24-25高三上天津静海月考）已知函数.，其中.小试牛刀3 (1)求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）求导，通过讨论的取值研究导函数符号的变化进而得到函数的单调性； （3）根据与切线得关系，先证，再证，用导数法即可完成证明. 【详解】（1）由题意，，，， 故在处的切线方程为. （2）因为， 所以， ①当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，在上单调递增； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，即时，在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）先证. 令， 则， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，则成立； 再证. 令，，则， ①当时，，则单调递减； ②当时，，则单调递增， 故，所以，即成立. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键在于根据与切线得关系，先证，再证，进而求证即可. 【热点题型2：切线放缩求参数】 【核心归纳】 核心归纳：恒成立问题中，利用切线放缩可将含参数的超越函数不等式转化为含参数的一次函数不等式，简化参数讨论. 方法总结：①放缩减元：用常见不等式消去三角函数、对数等难处理项；②临界分析：找到参数的临界值（如本例中）；③验证边界：对临界值两侧的参数取值验证是否满足条件. （25-26高三上·河南周口·月考）已知函数．经典例题例题 (1)讨论的单调性； (2)若关于x的不等式恒成立，求a的值； (3)证明：对一切的，都有． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】(1)求导，得，对分类讨论求解； (2) 对分类讨论求解； (3) 由（2）可知当时，，即，所以．则，故要证，即证．设，求导进行求解． 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，由（1）知在上单调递增，又，所以当时，，则不符合题意． 当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 则． 又，且，所以，解得， 经检验，当时，恒成立． 综上，a的值为1． （3）证明：由（2）可知当时，，即， 则，所以，所以． 当时，， 则， 故要证，只需证， 即证． 设，则． 由（2）可知，则，即， 所以，所以在上单调递增，所以， 故对一切的，都有． （2025·河北沧州·一模）已知函数.小试牛刀1 (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值. (2) (3). 【分析】（1）若，则，利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）若对任意的恒成立，即,只需，利用导数研究函数的单调性，求出该函数的最大值，即可求解； （3）存在零点等价于与轴有交点，结合（2）知，当且仅当时等号成立，所以当时，，不符合题意；当时，利用零点存在定理即可判断. 【详解】（1）（1）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）若对任意的恒成立，即， 令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的取值范围是. （3）令，得，令， 令，所以，所以当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（2）知，，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，， 所以存在，使得，符合题意. 综上，的取值范围为. （2024高三·全国·专题练习）已知函数．若，求的取值范围．小试牛刀2 【答案】 【分析】将不等式进行变形为，构造新函数，，求导判断单调性，求出最小值即可求得结果. 【详解】因为，所以，变形得. 即. 设，求导得，所以单调递增， 上述不等式即， 所以，即. 设，则， 令可得，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. （25-26高三上·河北邢台·期中）已知函数．小试牛刀3 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性并求其最值； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；最小值是0，没有最大值 (3) 【分析】（1）求导，确定切线斜率，即可求解； （2）通过求导，确定函数单调性，即可求解； （3）令求导得到，再通过，，讨论的单调性，确定其符号，进而可求解. 【详解】（1）因为，，所以． 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，所以函数的最小值是0，没有最大值． （3）设， 则，． 当时，在上恒成立，当且仅当时，等号成立， 所以函数在上单调递增，所以，满足题意． 当时，设函数，则，． 解得，解得． 当，即时，在上恒成立， 函数在上单调递增，所以， 即在上恒成立，所以函数在上单调递增， 所以，满足题意． 当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在区间上单调递减． 因为，所以在区间上恒成立，与已知矛盾，不合题意． 综上，实数的取值范围是． 【热点题型3：切线夹的应用】 【核心归纳】 核心归纳：切线夹的关键是构造“上下界切线”，将超越方程的根转化为一次方程的根，实现根差的放缩. 方法总结：①找关键切点（零点、极值点）；②证函数与切线的位置关系；③求切线与定直线交点；④利用位置关系放缩根的范围. （24-25高三上山东泰安期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为.经典例题例题 (1)求，的值； (2)证明：； (3)若函数有两个零点，，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程即可得，的值； （2）令，分别讨论、时和的符号即可求证； （3）令，利用导数判断单调性可得，恒成立，不妨令，则，由可得，再将代入即可求证. 【详解】（1）由可得， 则，所以曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为：， 因为曲线在点处的切线方程为，所以. （2）由（1）知：，， 令 ， 当时，，，故， 当时，，，故， 综上所述：对任意的，都有，即， （3）不妨设，， 则，， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以时，；时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以恒成立， 不妨令，则， 由（2）知：， 所以， 将代入可得，即， 即. （23-24高二下广东梅州期末）已知函数在点处的切线方程为：.小试牛刀1 (1)求实数a，b的值； (2)证明：； (3)若方程有两个实数根,且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数在点处的切线方程求解； （2）观察，构造出在点处的切线为，令，只需证明； （3）方程的根不太好确定，由（2）可构造出，找出的根为，利用单调性确定；再构造一个函数在点处的切线方程，同理可得，，找出的根，利用单调性判定出，从而得证. 【详解】（1）由题，， , 因为所以，则. （2）由（1）知，，， 设在点处的切线为，斜率，则， 令，则， 当时，，在单调递减； 当时，令，则恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 故，所以,. （3）由（2）知，， 设的根为，则， 又函数单调递减，故，故， 记，，， 当时，，在单调递减； 当时，令 恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 故，所以，则， 设的根为，则， 又函数单调递增，故，故， 又，所以. 【点睛】关键点睛：构造函数是关键，此题关键的几步都是构造函数，首先，找到在点处的切线为，其次是找到函数在点处的切线方程，对的根进行转换，非常灵活，属于难题. （2024山东模拟预测）已知函数，其中.小试牛刀2 (1)求函数的单调区间； (2)当时， ①证明：； ②方程有两个实根，且，求证：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）求解函数，利用导数求解函数的单调区间即可. （2）①证明不等式恒成立，通过构造函数，求函数的导数，利用导数求解函数的单调性及极值即可证明；②根据函数的单调性及极值点，数形结合判断方程有两个根的情况的取值范围及两根的取值范围，联立直线与，求解交点横坐标，则，转化不等式，构造函数，利用导数求解函数的最值即可证明. 【详解】（1）解：函数的定义域为， 函数的导数，解得， 所以当时，此时，函数单调递减区间为， 所以当时，此时，函数单调递增区间为， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时， ①要证不等式成立，即证明成立.即证明成立. 令 当时，此时， 当时，此时， 所以在单调递减，在单调递增 所以最小值为， 恒成立，即恒成立得证. ②由①得恒成立，即直线始终在曲线下方或有唯一切点， 又结合（1）可知单调递减区间为，单调递增区间为， 所以当时取最小值， 且当时，；当时，；当时，. 所以方程有两个实根，则，且. 由直线与联立解得交点的横坐标，显然 因此，要证，只要证即可 即证，即证即可 又因为，所以只要证 令恒成立 所以在单调递增，即 所以得证，原命题得证. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． （2025高二·全国·专题练习）已知，当时，若关于的方程有两个实数根，求证：．小试牛刀3 【答案】证明见解析 【分析】先分析，存在的条件，再分别证明和，即可得. 【详解】当时，，所以. 由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以. 因为方程有两个不相等的实根，所以. 且，（，）. 作函数在处的切线： ，，所以切线方程为，即. 设， 则，由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以恒成立. 所以恒成立，所以 . 再设. 则，由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以恒成立，即恒成立， 所以 . 所以. 【热点题型4：割线放缩及割线夹】 【核心归纳】 核心归纳：割线放缩适用于“根差大于某表达式”的证明，通过割线缩小根的范围，与切线夹形成互补. 方法总结：①选极值点、零点构造割线；②证函数与割线的位置关系；③求交点并放缩根差. （2025高三·全国·专题练习）已知函数与有两个交点，交点横坐标分别为，，且．经典例题例题 (1)求的取值范围； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】根据函数解析式判断单调性画出函数图象，结合图象求参数范围即可； 如图先求两条直线的方程，再结合要证明的不等式构造新函数，判断函数单调性，找到四个横坐标之间的关系，结合不等式性质得以证明. 【详解】（1）因为，， 所以在单调递增；在单调递减，且当 时，，，作出函数图象，如下图所示. 则结合图象可得的取值范围为； （2）如图，作出的图象，的极值点为e，设，，，直线与直线，的交点对应的横坐标分别为，， 此时等价于证明， 直线的方程为：，令解得：， 因为，进而可得，即直线的方程为，易得； 令， 当时，，且在单调递减， 所以，且， 可得，在恒成立，故，所以. 同理可证在上恒成立,故. 又因为代入可得， 此时得以证明. （2024浙江杭州一模）已知函数.小试牛刀1 (1)若，求的单调区间; (2)若，求证:; (3)若使得，求证:. 【答案】(1)单调递减区间是，无增区间. (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）利用导函数求得的最大值，再得到在上递减； （2）时函数值恒为负数，所以研究的最大值，借助导函数得到在区间上小于0，所以函数单减，从而得到函数值一定小于0，得证； （3）利用导函数求单调区间，由此得出的所在区间，构造直线使得与的交点见距离等于不等式两边的值，再由线段长短得出相应结论. 【详解】（1）当时，，， 则 令，则， 令，∵， ∴， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴， ∴的单调递减区间是，无增区间. （2）∵， 当时，显然成立， 当时，，令， ∴， ∴在区间上单调递减，∴， ∴在区间上单调递减，∴， 综上所述，当时，. （3）， ∴，令，则，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，∴. 不妨设，则，， 先证：， 易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标为， 令，则， 当时，，此时， ∴当时，图像在下方. ∴， ∴， 再证，设，， 易知直线方程为，直线方程为， 则直线，与直线交点的横坐标为，， ∴， ∵，同理可证：， ∴，类似的可以证明， ∴，即， ∴ 【点睛】思路点睛：本题不等式证明可以分别证明两边成立，因为是与的交点，可以构造其他交点使得线段长度等于不等式两端的值，再证明点的位置，得到线段长度即可得证. （23-24高三上黑龙江哈尔滨开学考试）已知函数小试牛刀2 (1)求函数的单调区间； (2)若，证明:在上恒成立； (3)若方程有两个实数根，且， 求证:. 【答案】(1)的递减区间为，递增区间为. (2)证明见解析. (3)证明见解析. 【分析】（1）对求导即可求出结果； （2）即证，构造，即可证明； （3）分别利用切线放缩进行证明. 【详解】（1）由，则时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以的递减区间为，递增区间为. （2）因为，，令 所以， 下证， 令， 则， 当时,，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立； （3）证明：先证右半部分不等式： ； 因为，， 所以； 可求曲线在和处的切线分别为和； 设直线与直线，函数的图象和直线交点的横坐标分别为 则 则； 因此. 再证左半部分不等式：. 设取曲线上两点， 用割线，来限制， 设直线与直线的交点的横坐标分别为， 则，且， 所以. 综上可得成立. 【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有： （1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明； （2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明. （24-25高三下河南月考）已知函数，．小试牛刀3 (1)求函数的单调区间； (2)若方程的根为、，且，求证：． 【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间； (2)证明见解析 【分析】（1）求出的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间； （2）求导分析的单调性，，推出，设直线与的交点的横坐标为，则，证明当时，，即可得证． 【详解】（1）解：因为，， 所以定义域为， ， 所以在上单调递减，即的单调递减区间为，无单调递增区间； （2）证明：，， 当时，当时 所以在上是单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以，且， 当时，，所以，即， 设直线与的交点的横坐标为，则， 下面证明当时，， 设， ， 则， 当时，，当时，， 所以在上是减函数，在上增函数， 又因为，， 所以当时，，， 故当时，， 设直线与的交点的横坐标为，则， 所以，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 课后针对训练 1.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数，其中，. (1)当，时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：是满足“在上存在2个零点”的一个充分不必要条件； (3)当时，若函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，求出，由导数的几何意义求解即可； （2）先证明充分性成立，即当时在上存在2个零点，再通过取，证明必要性不成立. （3）先证明，再证处的切线恒在原函数的上方，设直线与两条切线所交于，，且，，求出，，再由作差法可证明. 【详解】（1）当，时，， ，， 在处的切线方程为：. （2）①先证明充分性： ，令，则. ，，即在定义域上单调递减， ，， ，使得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，为极大值点. ，， 在定义域上存在两个零点和，充分性得证. ②再证明非必要性. 取，，则， 考虑周期性可知，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 因为，， ， 故，使得. 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，为极大值点. ，， 在定义域上存在两个零点和，即必要性不成立. （3）当时，由可得，即为与直线的两个交点的横坐标. 先证明：，即证， 设，，单调递减，而， ，得证. ，等号成立. 再证处的切线恒在原函数的上方，即证， 即证明，设， ，设， ，在定义域上单调递增. ，所以，在定义域上单调递减. 而，得证. 由上述论证，令，设直线与两条切线所交于，，且，. ，. ， 即得证，当且仅当时取等. 2.（2025高二·全国·专题练习）已知函数，函数有3个不同的零点，， (1)求证：； (2)求证：（是自然对数的底数）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用证明极值点偏移的方法证明，再结合基本不等式证明；（2）根据证明，结合切线方程证明. 【详解】（1）， 当 在 上单调递增，在 单调递减， 当 在上单调递增， 又函数有 3 个不同的零点 ， 所以，， 令 ， ，在上单调递增， 又 ， ， 又 在上单调递减， ，即 （2）在处的切线方程与交点的横坐标， 过点 和的直线方程 与交点的横坐标 ， ， 令， 则与在轴右侧交点横坐标为 ， 即的两个根为， 接下来证明， ①当 ，即证 ， 令 ， 令 ，则当时，所以在上单调递减， 则有当时，所以在上单调递减， 所以当 ， 成立 ②当 时，，即证 ， 令 设，则，所以在上单调递增， 且，所以， 所以， 在上单调递减，，即 ， 综合①②可知， ， 综上: . 3.（2025高二·全国·专题练习）知函数，． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，令，令，所以在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：，，在上单调递增，上单调递减，，函数在区间的图象如图所示．不妨设，则． 连接和点的直线的方程为：，当时，，由图可知，所以要证明，只需证明，即只需证明，连接的直线的方程为，设函数的图象的与平行的切线是直线，令，可得，又，所以切线的方程为，即，令，得直线与直线的交点横坐标为，由图可知，故得证！ 4.（2025高二·全国·专题练习）已知． (1)求函数的最大值； (2)设，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）易知，函数定义域为R，可得， 不妨设，函数定义域为R，可得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因为时，，且，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值； （2）证明：易知，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，当时，；当时，，因为，所以，异号，不妨设且，由（1）知恒成立，所以，即，所以，要证，即证，因为，所以，又函数在上单调递增，此时需证，要证，即证，不坊设，函数定义域为，可得，所以函数在上单调递减，则，故． 5.（2025高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若，证明：在上恒成立； (2)若方程有两个实数根，，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】证明：（1）由，则时，，单调递减， 时，，单调递增，所以的递减区间为，递增区间为； 因为，，令，所以， 下证，令，则，当时，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上恒成立； （2）先证右半部分不等式：，因为，，所以，，，，可求曲线在和处的切线分别为和；设直线与直线，函数的图象和直线交点的横坐标分别为，，，，则，，则， 因此， 再证左半部分不等式：，设取曲线上两点，，用割线，来限制，设直线与直线，的交点的横坐标分别为，，则，且，，所以，综上可得成立． 6.（2025高二·全国·专题练习）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若方程的根为、，且，求证：． 【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，所以定义域为， ，所以在上单调递减，即的单调递减区间为，无单调递增区间； （2）证明：，，当时，，当时，，所以在上是单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以，且，当时，，所以，即，设直线与的交点的横坐标为，则，下面证明当时，，设，令，则，当时，，当时，，所以在上是减函数，在上增函数，又因为，，所以当时，，，故当时，，设直线与的交点的横坐标为，则，所以，得证． 7.（2025高二·全国·专题练习）已知函数，． (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设，是的两个极值点，证明： （i） ； （ii）． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【详解】（1）的定义域为，， 依题可知对恒成立，即， （2）（i）令，即，由题知，是方程的两根， 又时，，由（1）得，， 此时，，，， 所以得证！ （ⅱ）易求得的图象在处的切线方程为， 的图象在处的切线方程为，先证（自证）， 再证，即证，（同构函数自证）， 易知直线与曲线的交点横坐标为，，令与的交点横坐标为， 则，令与的交点横坐标为，则， 故． 左边为什么是？通过探路，，，． 三、双零点割线夹构造 若有两根，满足，通常在双零点和极值点连线进行割线夹构造，如图，分别找出两个零点处切线与的交点，和，即可证明． 8.（2025高二·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的单调区间； (2)设曲线与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的实数x，都有； (3)若方程（a为实数）有两个实数根，，且，求证：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，可得．当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）证明：设点P的坐标为，则，， 曲线在点P处的切线方程为，即，令函数，即，则． 因为，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则对于任意实数x，，即对任意实数x，都有； （3）证明：由（2）知，，设方程的根为，可得． 因为在上单调递减，又由（2）知，因此． 类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得， 对于任意的，有，即． 设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此，知图所示，由此可得． 9.（25-26高三上·河北·期中）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分、、三种情况讨论其单调性即可； （2）令，利用同构思想求证即可； （3）根据得出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数求最值即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，， 当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点； 当时，即或时， 有两个不等的实数根， 当时，，，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有一个极小值点，无极大值点； 当时，，得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点， 综上，时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证； （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以， 则，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 10.（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若函数在时有最小值，求正实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用导数法求单调性，利用单调性得到极大值也是最大值，利用最大值小于0得到所求； （2）通过构造函数，利用单调性得到证明； （3）由在时有最小值，通过构造函数，利用单调性，通过分类讨论求出的范围. 【详解】（1）由题可得的定义域为，， 当时，恒成立，单调递增，且，故不符题意， 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取到极大值也是最大值为， 由可得即可，解得， 故实数的取值范围为. （2）设，其中. 则， 故在上均为增函数，故， 故在上恒成立， 而当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数，故， 故，故， 所以. （3）函数， 令，， 若即，在上存在零点， 故在上有最小值0. 若，则， 设，则 ， 当即时，即在单调性递减， 而，在上恒成立，故在在上为减函数， 故， 故在上无最小值. 若，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，而， 若，则，故在上恒成立， 故在上为增函数，而，， 故此时在上无最小值. 若，则， 故在上存在零点，当时，， 当时，，故在上为增函数，在为减函数， 故. 若，则，此时，符合题意； 若，则，故在存在零点，故，符合题意. 综上，或. 11.（2025·甘肃白银·二模）若曲线恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数形转化，等价于研究恒成立的，再同构函数，求导可求最小值，最后利用不等式恒成立可求参数范围. 【详解】由曲线恒在直线的上方， 可得， 令，因为，所以， 则构造，求导得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以有，此时， 根据函数图象的交点可知： 即存在正数使得，此时， 要满足对任意恒成立， 则必须要使得时也要成立，即，解得，这是必要性， 再证明充分性，当， 所以实数a的取值范围是, 故答案为： 12.（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】应用同构得出函数，再根据最小值得出有解，进而得出. 【详解】 ， 令， 原式可化为， 当单调递增，当单调递减， 当且仅当时，取得最小值1， 所以有解， 即有解. 记， 当在单调递增，当在单调递减， 故，且当， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13.（2025·重庆·三模）已知， 恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用可得时满足题意，然后令，由题可得，由单调性可得，最后注意到不满足不等式，据此可得答案. 【详解】对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则； 对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则. 则当时，，满足题意； 当时，令，由， 令，则在上单调递减， 又注意到，则. 下证对，，即，， 由，可得，由，可得. 则，则时，命题成立； 当，令，由， 但此时，，与题意不符，故不满足题意. 综上可得. 故答案为： 【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用思想为分离参数，将问题转化为求相关函数的最值，也可构造函数，由函数最值得到关于参数的表达式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $