2026年中考数学一轮复习必备讲义(核心考点+题型突破)专题01实数及其运算（全国通用版）

该初中数学中考一轮复习讲义聚焦实数及其运算核心考点，涵盖有理数、实数概念，四则运算、科学记数法等中考必考内容，按“概念吃透-运算熟练-技能提升-易错规避”系统梳理知识，通过9类常考题型精讲精炼，结合考点梳理、方法指导和真题训练突破难点。 亮点在于“三维复习策略”，如通过规律探究题培养抽象能力，实际应用题强化模型意识，配合分层练习和易错点总结，确保学生精准掌握运算能力与推理意识，教师可据此把控复习节奏，帮助学生高效提升应考能力。

专题01实数及其运算中考一轮复习必备讲义 01 中考-轮复习目标 1.吃透概念：掌握实数（有理/无理数）、数轴、相反数、绝对值、平方根 立方根等核心定义与性质。 2.熟练运算：精准进行实数四则、乘方、开方及混合运算，掌握科学记数法与 近似数。 3.提升技能：会用数轴、估算、分类讨论等方法，解决基础题、规律题、实际 应用题 4.规避易错：突破绝对值、运算顺序、平方根非负性等高频易错点，确保基础 不丢分。 02 复习内容概率 核心知识 1.有理数及其相关概念 2.有理数运算 点梳理 3.实数 4.易错点总结 1.实数的概念与分类 2.正负数与数轴 3.相反数.绝对值与倒数 4.有理数的运算 常考题型 5.科学记数法与近似数 6.平方根.立方根与无理数估算 精讲精炼 7.数学常识与规律探究 8.实际应用问题 9.综合解答题 03 核心知识点梳理 【知识点01.有理数】 1定义 整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，所有有理数都可以表示为2(p、q 为整数，q0)的形式。 2.数轴 试卷第1页，共3页 三要素：原点、正方向、单位长度； 有理数与数轴上的点一一对应（但数轴上的点不都是有理数）。 2.相反数 定义：只有符号不同的两个数（如a和-a);0的相反数是0。 性质：a+(-a)=0;数轴上表示相反数的点关于原点对称。 4.绝对值 定义：数轴上数a对应的点到原点的距离，记为a。 性质：lal≥0（非负性）； lal=( aa0 0(a=0 -a(a<0) 5.大小比较 正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小（如-3<-2）。 【知识点02.有理数运算】 1加法 同号相加：取相同符号，绝对值相加（如3+5=8，-3+(-5）上-8)。 异号相加：取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值（如3+(-5）=-2)。 2.减法 法则：a-b=a+(-b)(转化为加法)。 3.乘法 符号：同号得正，异号得负，0乘任何数得0。 绝对值：各因数绝对值相乘。 4.除法 法则：ab=ax告(b0），符号规则同乘法。 5.运算律 加法：交换律a+b=b+a;结合律(a+b+c=a+(b+c)。 试卷第1页，共3页 乘法：交换律ab=ba;结合律(ab)c=a(bc);分配律a(b+c)=ab+ac。 6.乘方 定义：an表示n个a相乘(a是底数，n是指数)。 符号：正数的任何次幂为正；负数的偶次幂为正，奇次幂为负；0=0(n>0)。 7.混合运算顺序 【知识点03.实数】 1定义 有理数和无理数的统称；无理数是无限不循环小数（如2、π、0.1010010001.)。 2.实数的性质 与数轴上的点一一对应；相反数、绝对值、倒数的性质与有理数一致。 3.平方根与算术平方根 平方根：若×=a(a20),则×是a的平方根，记为土a:0的平方根是0：负 数没有平方根。 算术平方根：a的非负平方根，记为点(V20,a20）。 4.立方根 定义：若x=a,则x是a的立方根，记为。 性质：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。 5.实数的运算 与有理数运算规则一致，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算（注意开方的 非负性) 【知识点04.易错点总结】 乘除是同级运算，必须从左到右依次算；有括号时先算小括号，再中括号、大括 号。 被开方数20，算术平方根结果≥0：求“石的平方根”时，先算石的结果，再求 其平方根。 立方根不存在“非负”限制，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方 试卷第1页，共3页 根是0。 无限循环小数（如0.3)、分数（如22）是有理数；只有无限不循环小数（如 V2、n)是无理数。 04 常考题型精讲精练 【题型1.实数的概念与分类】 1.(2025·吉林松原·模拟预测)亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表所示，则其中 海拔最低的洲是 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海 -415m -28m -156m -40m 拔 2.(25:26七年级下重庆九龙坡开学考试)比较大小： (填>”、“<”或“=”) 5 3.(2025河南南阳·二模)下列四个数中，是负整数的是() A身 B.0 C.-3 D.2 4.(2025广东东莞模拟预测)下列有理数中，非负数是() 1 A.-32 B.0 C.-2×5 D.（-2)3 2 5.(2025江西宜春·三模)下列各数中，是有理数的是() A.√2 B.√i C.9 D.2 6.(2025陕西安康二模)在0，n, 056,2131131113.（两个3之间1的个数逐次 3 加1)，√万中，无理数有 个 【题型2.正负数与数轴】 7.(2025·吉林长春.模拟预测)在(-2中，底数是」 8.(2025湖北武汉·模拟预测)科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带的电荷是 两种相反的电荷.物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷.钠 试卷第1页，共3页 离子中的原子核带11个电荷，核外电子带10个电荷，将钠离子的原子核和核外电子所带电 荷用正数和负数表示为() A.-11,+10 B.+11,-10 C.+10,-11 D.10,+11 9.(2025湖南模拟预测)互联网时代，人们的生活离不开手机支付，如图是某微信用户 的账单截图，若把收入200元记作+200，则“-100”的实际意义是（) O生活缴费 -50.00 生活缴费 -100.00 Y微信红包一来自爸+200.00 A.收入100元B.支出100元 C.盈利100元 D.增加100元 10.(2025·河北邯郸二模)下面是几名同学画的数轴，正确的是() A.-2-1012→ B.-1012→ c.212→ D.-2-1012 11.(2025陕西延安三模)如图，将数轴上表示-2的点A向右平移3个单位，得到点B, 则点B表示的数是() A 0 A.1 B.-1 C.0 D.-5 12.(2025宁夏中卫·二模)如图，点A,C,D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的 中点，线段CD=√2，则点A表示的数是· A C D 0→ 13.(2025.七年级上·四川成都月考)数轴上点A与表示-2的点相距3个单位长度，则点A 所表示的数是一 14.(25-26七年级上·湖北武汉期中)如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正 数，不足的克数记为负数.从轻重的角度看，哪个球最接近标准？() 试卷第1页，共3页 5 -3.5 +0.7 -2.5 -0.6 A.-3.5 B.+0.7 C.-2.5 D.-0.6 15.(2025.七年级上贵州黔南·期末)如图，将刻度尺放在数轴上，让3cm和5cm刻度线分 别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数为() 2 ocml 234567 8910 A.-2 B.-1 C.0 D.1 16.(2025四川成都一模)如图所示，实数a,b在数轴上的对应点分别为点A,B,下列 结论中正确的是() 11A,B 3-210123 A.a<-1 B.a+b=0 C.2a-b<0 D.00D 17.(2025.七年级上福建厦门期末)如图，有理数a、b、c、d在数轴上的对应点分别是 A、B、C、D.若a、c互为相反数，则下列式子正确的是() B D→ A.a+bx0 B.a+d>0 C.b+c<0 D.b+d<0 18.(2025河北邯郸二模)如图，数轴上有三个点A,B,C,其中C是线段AB的中点，则 原点0的位置() A C B -7 A.位于线段AC上，且靠近A点 B.位于线段AC上，且靠近C点 C.位于线段BC上，且靠近B点 D.位于线段BC上，且靠近C点 19.(2025河北模拟预测)如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm)上，木棒左端 与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合.若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它 的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动， 则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长 试卷第1页，共3页 为() 0 6 A B 30+ A.10cm B.8cm C.6cm D.4cm 20.(25-26七年级上河北石家庄期中)如图，数轴上0，A两点间的距离为12，一动点 P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到A0的中点A处，第2次从A点跳动到A,O 的中点A处，第3次从A点跳动到A,O的中点A处.按照这样的规律继续跳动到点A,A ,A,A（n是正整数)处，经过这样2024次跳动后的点A24所表示的数是（) A A A A12 2023 B12 )2026 D.2 21.(2025湖南衡阳·二模)如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表 示的数为1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点A右侧数轴于点E,则点E所表示的数 为一 B D -5-4-3-21012345 【题型3.相反数绝对值与倒数】 22.(2025.七年级上陕西安康期中)--2025)的相反数是（) 1 1 A. B.2025 C.-2025 D. 2025 2025 23.(2025江西南昌一模)计算：2024×-2025)×0= 24.(2025.七年级湖北武汉月考)计算：-3引-3=一 25.（2025河北唐山三模)若x+1+(y-2025)2=0,则x'+(-π)°的值为 26.（2025.七年级下·山西临汾期中)若代数式4x+5与2x+3的值互为相反数，则x等于 () 试卷第1页，共3页 A C.-1 3 D. 4 27.(2025七年级上江苏南京期中)比较大小： 3 3 4 28.(2025.六年级下上海静安期末)若a=3,b=2,且a>b,则a+b的值为() A.5或1 B.-5或-1 C.5或-1 D.-5或1 29.(2025湖南长沙.一模)若x-1≠0，则x的取值范围是 30.(2025广东广州三模)如图，数轴上点A、B表示的数分别为m、n,化简： m-n=_ A B m 0 31.(2025七年级上江西九江期中)已知=3，川=写且<0，则 32.(2025广东清远三模)若(x-22与√>+3互为相反数，则(x+y的值为一· 33.(2025·甘肃金昌·三模)对于实数a,b定义新运算：a※b=a-ab+1,如 2※3=23-2×3+1=3，则(-1※2的值为 34.(2025江苏无锡模拟预测)找到三个数，使得三个数乘积为一个大于10000的质数+1 ,每个数分别交换奇偶数位（如210变为120,1658变为6185，且第一位不得为0），再次 相乘乘积为一个大于10000的质数+1，且两次乘积为倍数关系，试列举出1组符合条件的自 然数 【题型4.有理数运算】 35.(2025.七年级下河南鹤壁·开学考试)天气预报说明天的气温是-3℃~9℃，明天的昼 夜温差是 36.(2025安徽安庆模拟预测)计算：(-2'+V4 1 37.(2025.七年级上陕西汉中.期中)计算：-2÷二=」 2 38,(2025湖南张家界·三模)若x,y互为相反数，a,b互为倒数，则(ab)y=_ 39.(2025陕西西安·三模)幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.我国古代的《洛书》 中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线 上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格 试卷第1页，共3页 内的数字，则图中“红”遮盖的数字是」 4 红 色 基 因 8 40.(2025七年级下广东汕头月考)计算：V5-2+27-6+(-1202 41.(2025辽宁一模)计算：8+-1)225+元°-V2. 2325辽宁横)计-间-(205-+3m60+( 43.(2025陕西咸阳·二模)高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之 称.现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如-0.8]=-1.现定 义{x=x+[x,例如x=1.5+[1.5]=2.5,则{-2.5}= 44.(2025云南模拟预测)计算：√5-2cos30°+ 「2aa≥b 45.(2025·广东广州模拟预测)已知a为有理数，定义新运算：※b= 26-aa<6,则 3※2-(-3※2)=一 46.(2025河北邢台·三模)已知四个数：-3,5，-4,1. (I)直接用“<”将这四个数连接起来： (②)从中任意选取两个数，设其中乘积最大的结果为M,这四个数的和为N,求N-M的值. 47.(2025安徽合肥三模)某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般” 的方法探究下面二次根式的运算规律.下面是他的探究过程，请补充完整： ()具体运算，发现规律 ,13+11 特例1：+写兮-425 特例2： 1 8+1.1 2+4 特例3： 。.1,1 3+45 试卷第1页，共3页 特例4： 6 (2)观察、归纳，得出猜想. 如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为： (3)应用运算规律： 1 ①化简： 2024+ ×√4052= 2026 1 ②若a+6l (a,b均为正整数)，则a+b= 48.(2025.七年级下河南漯河·月考)(1)观察下列各式： ⑧4x2_ 2 2 32,网2 =2 5 (2)按照你发现的规律填空： (3)猜想， 等于多少？ 26 (4)请你用含有自然数nn≥2)的式子写出你发现的规律. 49. (2025浙江·模拟预测)定义一种新的运算“F”:①当n为奇数时结果为3n+5,②当n 为偶数时结果为” (其中k是使” 为正奇数的正整数)，反复运算.例如n=26, 6 13 F② F① F② 第1次 第2次 第3次 那么当n=449时，第2025次“FP运算的结果是」 50.(2025河北邢台一模)如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数m ,小娜从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数m利用小球上标识的运 算逐一进行计算。 给出一个数 为实数m 加上5 乘以2 减去 A C B 妈妈 小娜 试卷第1页，共3页 专题01实数及其运算中考一轮复习必备讲义 1.吃透概念：掌握实数（有理 / 无理数）、数轴、相反数、绝对值、平方根 / 立方根等核心定义与性质。 2.熟练运算：精准进行实数四则、乘方、开方及混合运算，掌握科学记数法与近似数。 3.提升技能：会用数轴、估算、分类讨论等方法，解决基础题、规律题、实际应用题。 4.规避易错：突破绝对值、运算顺序、平方根非负性等高频易错点，确保基础不丢分。 核心知识 点梳理 1.有理数及其相关概念 2.有理数运算 3.实数 4.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.实数的概念与分类 2.正负数与数轴 3.相反数.绝对值与倒数 4.有理数的运算 5.科学记数法与近似数 6.平方根.立方根与无理数估算 7.数学常识与规律探究 8.实际应用问题 9.综合解答题 【知识点01.有理数】 1.定义 整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，所有有理数都可以表示为（p、q为整数，q≠0）的形式。 2.数轴 三要素：原点、正方向、单位长度； 有理数与数轴上的点一一对应（但数轴上的点不都是有理数）。 2.相反数 定义：只有符号不同的两个数（如a和−a）；0 的相反数是 0。 性质：a+(−a)=0；数轴上表示相反数的点关于原点对称。 4.绝对值 定义：数轴上数a对应的点到原点的距离，记为∣a∣。 性质：∣a∣≥0（非负性）； ∣a∣= 5.大小比较 正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小（如−3<−2）。 【知识点02.有理数运算】 1.加法 同号相加：取相同符号，绝对值相加（如3+5=8，−3+(−5)=−8）。 异号相加：取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值（如3+(−5)=−2）。 0 加任何数得原数。 2.减法 法则：a−b=a+(−b)（转化为加法）。 3.乘法 符号：同号得正，异号得负，0 乘任何数得 0。 绝对值：各因数绝对值相乘。 4.除法 法则：a÷b=a×（b≠0），符号规则同乘法。 5.运算律 加法：交换律a+b=b+a；结合律(a+b)+c=a+(b+c)。 乘法：交换律ab=ba；结合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac。 6.乘方 定义：an表示n个a相乘（a是底数，n是指数）。 符号：正数的任何次幂为正；负数的偶次幂为正，奇次幂为负；0n=0（n>0）。 7.混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小→中→大）。 【知识点03.实数】 1.定义 有理数和无理数的统称；无理数是无限不循环小数（如2​、π、0.1010010001…）。 2.实数的性质 与数轴上的点一一对应；相反数、绝对值、倒数的性质与有理数一致。 3.平方根与算术平方根 平方根：若x2=a（a≥0），则x是a的平方根，记为±；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 算术平方根：a的非负平方根，记为（≥0，a≥0）。 4.立方根 定义：若x3=a，则x是a的立方根，记为​。 性质：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根为 0。 5.实数的运算 与有理数运算规则一致，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算（注意开方的非负性） 【知识点04.易错点总结】 1.绝对值：别漏 0，符号看正负 2.运算顺序：乘除从左到右，括号先算内部 乘除是同级运算，必须从左到右依次算；有括号时先算小括号，再中括号、大括号。 3.平方根：双重非负，先算结果再开方 被开方数≥0，算术平方根结果≥0；求 “的平方根” 时，先算的结果，再求其平方根。 4.立方根：任何数都有，符号随原数 立方根不存在 “非负” 限制，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0。 5.无理数：只认 “无限不循环” 无限循环小数（如0.3˙）、分数（如）是有理数；只有无限不循环小数（如、π）是无理数。 【题型1.实数的概念与分类】 1．（2025·吉林松原·模拟预测）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表所示，则其中海拔最低的洲是 ． 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 【答案】亚洲 【分析】该题考查了有理数大小比较的法则：（1）正数都大于 0 ；（2）负数都小于 0 ；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴海拔最低的洲是亚洲． 故答案为：亚洲． 2．（25-26七年级下·重庆九龙坡·开学考试）比较大小： （填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较方法判断即可，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·河南南阳·二模）下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，即有理数可分为整数和分数，整数分为正整数、负整数和零，分数分为正分数和负分数，熟练掌握有理数的分类方式是解题关键． 根据有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、不是整数，故此选项不符合题意； B、是整数，但不是负整数，故此选项不符合题意； C、是负整数，故此选项符合题意； D、是正整数，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）下列有理数中，非负数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用乘方、有理数的乘法知识对各选项进行计算、辨别． 此题考查了非负数的辨别能力，关键是能准确理解并运用该知识和有理数的乘方、乘法知识． 【详解】解：，不是非负数， 选项A不符合题意； 是非负数， 选项B符合题意； ，不是非负数， 选项C不符合题意； ，不是非负数， 选项D不符合题意， 故选：B． 5．（2025·江西宜春·三模）下列各数中，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的分类判断即可． 本题考查了有理数的分类，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 不是有理数，不符合题意； B. 不是有理数，不符合题意；     C. 是有理数，符合题意，     D. 不是有理数，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·陕西安康·二模）在0，，，0.56，2.131131113…（两个3之间1的个数逐次加1），中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是明确无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，然后据此对给出的数进行判断． 根据无理数的定义，逐一分析所给的数是否为无理数，统计无理数的个数． 【详解】0是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是分数，属于有理数； 0.56是有限小数，可化为分数，属于有理数； （两个3之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数有（两个3之间1的个数逐次加1），，共3个． 故答案为：3． 【题型2.正负数与数轴】 7．（2025·吉林长春·模拟预测）在中，底数是 ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义，明确乘方表达式中底数的概念来求解．本题主要考查乘方的定义，熟练掌握乘方表达式中底数、指数的概念是解题的关键． 【详解】解：在中，底数是． 故答案为： ． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带的电荷是两种相反的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．钠离子中的原子核带个电荷，核外电子带个电荷，将钠离子的原子核和核外电子所带电荷用正数和负数表示为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，熟练掌握正负数表示的意义是解题的关键，根据题意原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷，即可得到答案． 【详解】解：∵原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷， ∴钠离子中的原子核带个电荷，表示为：； 核外电子带个电荷，表示为：， 故选：B． 9．（2025·湖南·模拟预测）互联网时代，人们的生活离不开手机支付，如图是某微信用户的账单截图，若把收入200元记作，则“”的实际意义是（　　） A．收入100元 B．支出100元 C．盈利100元 D．增加100元 【答案】B 【分析】本题考查的是正负数的应用，收入和支出是具有相反意义的量，如果用正数表示收入，就可以用负数表示支出． 根据正数和负数表示相反意义的量解答即可． 【详解】解：由题意可得：表示收入200元，则“”表示支出100元． 故选：B． 10．（2025·河北邯郸·二模）下面是几名同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴的画法，掌握数轴三要素的解题关键． 根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度，即可判断． 【详解】解：数轴三要素：原点、正方向、单位长度，则： A选项，满足三要素，符合题意； B选项，单位长度不一致，不符合题意； C选项，没有原点，不符合题意； D选项，没有正方向，不符合题意． 故选：A． 11．（2025·陕西延安·三模）如图，将数轴上表示的点向右平移3个单位，得到点，则点表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减．根据数轴上的点平移特点，即可求解． 【详解】解：将数轴上表示的点向右平移3个单位，则， ∴点表示的数是1， 故选：A． 12．（2025·宁夏中卫·二模）如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， 设点表示的数是， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是：， 故答案为：． 13．（2025.七年级上·四川成都·月考）数轴上点与表示的点相距个单位长度，则点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的应用，有理数的加减运算；根据题意得出两种情况：当点在表示的点的左边时，当点在表示的点的右边时，列出算式求出即可． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在表示的点的左边时，点所表示的数为； ②当点在表示的点的右边时，点所表示的数为． 故答案为：或． 14．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查学生对正负数及绝对值的意义掌握，理解绝对值的意义和计算方法是正确解答的前提． 根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的． 【详解】解：， ∵， ∴最接近标准， 故选：D． 15．（2025.七年级上·贵州黔南·期末）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 16．（2025·四川成都·一模）如图所示，实数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小、有理数的加减运算等知识点．熟练掌握数轴上左边点表示的数总大于右边点表示的数是解题的关键． 先根据数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， A． ，故A选项错误，不符合题意； B．由，，则，故B选项错误，不符合题意； C． ，则，所以，故C选项正确，符合题意； D．由，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 17．（2025.七年级上·福建厦门·期末）如图，有理数a、b、c、d在数轴上的对应点分别是A、B、C、D．若a、c互为相反数，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，相反数，掌握数轴，相反数的性质是解题的关键．根据数轴和题目中的条件可以判断a、b、c、d的正负和它们的绝对值的大小，从而可以求得、、、的正负情况，本题得以解决． 【详解】解：由数轴可得，， ∵a、c互为相反数， ∴，， ∴， ∴， ∴选项ACD错误，选项B正确， 故选：B． 18．（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 19．（2025·河北·模拟预测）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点 A 重合，右端与数轴上的点 B重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点 A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的混合运算，由图象可知3倍的长为，即可求得的长度． 【详解】解：观察数轴可知三根木棒长为， 则这根木棒的长为； 故选：B． 20．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，即可解答． 【详解】解：∵数轴上，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为：， 故选：B． 21．（2025·湖南衡阳·二模）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， 点在数轴正半轴上，点表示的数为， 点到原点的距离为， 点所表示的数为， 故答案为：． 【题型3.相反数.绝对值与倒数】 22．（2025.七年级上·陕西安康·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数定义，熟记相反数定义是解决问题的关键． 先化简符号，再利用相反数的定义求解即可得到答案． 【详解】解：， 的相反数是， 故选：C． 23．（2025·江西南昌·一模）计算： . 【答案】0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，核心在于理解零乘以任何数的结果都是零.本题的关键点在于识别乘数中存在0，直接利用乘法中乘零的特性快速得出结果，无需计算具体数值的乘积. 【详解】解：. 故答案为：0. 24．（2025.七年级·湖北武汉·月考）计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的减法、绝对值等知识点，掌握去绝对值符号的法则以及有理数减法运算法则是解题的关键． 根据负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值，然后根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：0． 25．（2025·河北唐山·三模）若，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是非负数的性质，零次幂的含义，根据条件可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为： 26．（2025.七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到，解方程即可解答． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 解得． 故选：A 27．（2025.七年级上·江苏南京·期中）比较大小： 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此解答即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 28．（2025.六年级下·上海静安·期末）若，且，则的值为（  ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，根据绝对值的意义结合，得到，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴或； 故选A． 29．（2025·湖南长沙·一模）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，通过移项得，根据绝对值的定义确定x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（2025·广东广州·三模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握数轴的定义和绝对值的性质． 先观察数轴，判断m，n的大小，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 31．（2025.七年级上·江西九江·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的乘法、求代数式的值，根据，可得：、，因为，根据有理数的乘法法则可得：，或，，分情况把字母的值代入代数式计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 又， ，或，， 当，时， 可得：； 当，， 可得：． 综上所述， 32．（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 33．（2025·甘肃金昌·三模）对于实数a，b定义新运算：，如，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题．根据，即可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：4． 34．（2025·江苏无锡·模拟预测）找到三个数，使得三个数乘积为一个大于的质数，每个数分别交换奇偶数位（如变为，变为，且第一位不得为0），再次相乘乘积为一个大于的质数，且两次乘积为倍数关系，试列举出1组符合条件的自然数 【答案】11 22 111（答案不唯一） 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法，质数，解题的关键是审题，理解这三个数应该满足的关系，然后按照题干的操作步骤进行求解即可． 【详解】解：11，22，111 乘积． 根据题干交换奇偶数位的规则：11交换第1、2位数字后仍为11； 22交换第1、2位数字后仍为22； 111交换第1、2位数字后，第3位数字不变，结果仍为111交换操作： 交换后的数：11，22，111． 交换后的乘积， ，与相同，是质数． ，满足倍数关系， 故答案为：11，22，111． 【题型4.有理数运算】 35．（2025.七年级下·河南鹤壁·开学考试）天气预报说明天的气温是，明天的昼夜温差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； 根据题意可列出算式，再计算即可得到答案. 【详解】解：， 所以明天的昼夜温差是； 故答案为：. 36．（2025·安徽安庆·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、算术平方根运算，先计算乘方运算，再计算算术平方根，最后由有理数加法运算法则求解即可得到答案．熟练掌握乘方运算、算术平方根运算是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 37．（2025.七年级上·陕西汉中·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 38．（2025·湖南张家界·三模）若，互为相反数，，互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数和相反数的性质，零指数幂，求代数式的值．先根据相反数，倒数的定义求出，，再代入原式，根据任何不等于零的数的次幂都等于，即可得到结果． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， 故． 故答案为：． 39．（2025·陕西西安·三模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 ． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出算式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴色， ∴红， 故答案为：9． 40．（2025七年级下·广东汕头·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算（含绝对值、立方根、平方根、有理数的乘方），解题的关键是正确化简各部分运算项后再进行加减运算． 先化简为，计算、、，再将这些结果进行加减运算． 【详解】解：． 41．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行二次根式化简、乘方运算、零指数幂运算以及化简绝对值，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 42．（2025·辽宁·一模）计算． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】解： ． 43．（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算． 根据表示不超过的最大整数求解，列式计算． 【详解】由题意得：． 44．（2025·云南·模拟预测）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查含特殊角的三角函数值的计算，解题的关键是掌握，，．先分别进行零指数幂的计算、负指数幂的计算、特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可． 【详解】解： 45．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据题目中的新定义可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 46．（2025·河北邢台·三模）已知四个数：． (1)直接用“”将这四个数连接起来； (2)从中任意选取两个数，设其中乘积最大的结果为，这四个数的和为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算、有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键． （1）根据有理数的大小比较法则：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，根据“正数大于负数”，同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值，特别是两个负数大小比较，先各自求出它们的绝对值，然后依法则：两个负数，绝对值大的反而小，比较绝对值大小后，即可得出结论； （2）根据有理数运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：． （2）解：根据（1）可知， ， ． 47．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 48．（2025.七年级下·河南漯河·月考）（1）观察下列各式： ，则 ，则 （2）按照你发现的规律填空： ____________________________________，则____________． （3）猜想等于多少？ （4）请你用含有自然数的式子写出你发现的规律． 【答案】（2）；；；；（3）；（4） 【分析】本题考查算术平方根的性质和数字的变化规律． （2）根据算术平方根的概念进行计算； （3）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果； （4）根据给出各式的计算过程和结果，总结规律． 【详解】解：（2），即， 故答案为：；；；； （3）猜想：， 理由：，即； （4）规律：． 理由：， 即． 49．（2025·浙江·模拟预测）定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的混合运算，规律探索问题，根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，据此可得． 【详解】解：前8次的“F”运算结果如下： 依次类推，可以发现，从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1， ∴第2025次“F”运算的结果为8． 故答案为：8． 50．（2025·河北邢台·一模）如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数，小娜从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数利用小球上标识的运算逐一进行计算． (1)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是、、，请列出算式并计算结果； (2)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是，运算结果总是非正数，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，不等式的性质等知识，读懂题意，正确列式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）利用不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）理由如下：由题意得， 【题型5.科学记数法与近似数】 51．（2025·江西吉安·二模）元谋人距今约170万年，是我国境内目前已确认的最早古人类．将170万用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的概念，解决本题的关键是熟练掌握科学记数法的概念． 将170万转换为具体数字，再根据科学记数法的定义，将其表示为的形式（其中，n为整数）． 【详解】解：170万， 由于， 因此． 故答案为：． 52．（2025·青海西宁·三模）纳米是一种长度单位，，已知某种植物花粉的直径约为，那么用科学记数法表示该花粉的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，单位的换算． 根据进行换算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 53．（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 54．（2025·山东烟台·一模）近似数精确到 位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：近似数中的3位于百万位，则1位于十万位，5位于万位，位于千位，即精确到了千位． 故答案为：千． 55．（2025·四川资阳·模拟预测）数精确到万位是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，根据近似数的精确度求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型6.平方根.立方根与无理数估算】 56．（2025·湖南·中考真题）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：因为表示的算术平方根， 所以 ， 所以的立方根是 ，即的立方根是， 故答案为：． 57．（2025.八年级上·四川眉山·月考）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 【答案】4 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 故答案为：4． 58．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了立方根的应用，由正方体的体积及立方根即可求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a，则， ∴， 故答案为：4． 59．（2025·四川甘孜·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】> 【分析】该题考查了实数比较大小．根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根越大． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：>． 60．（2025.八年级上·江苏镇江·单元测试）比较大小： （填“”“ ”“ ”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子和1的大小，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 61．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 故答案为：或． 62．（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 63．（2025七年级下·全国·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并根据相关运算的逆运算求解是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：∵输出的数是， ∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是， 故x的值为， 故答案为：． 64．（2025·山东聊城·二模）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及求代数式的值，先估算出m，n的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 65．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值、零次幂及二次根式，熟悉相关运算是解题的关键． 根据代入计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 66．（2025·广西·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合的运算，要熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据含乘方的有理数的混合运算求解即可． 【详解】解：原式． 67．（2025九年级上·甘肃兰州·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】此题考查利用平方根求方程的解，将常数移动到等号右边，利用平方根定义开平方，由此得到方程的解． 【详解】解：移项，得，即． 开平方，得． ∴，． 68．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 69．（2025·河北沧州·模拟预测）图1是煤油温度计，该温度计的右侧是华氏温度，左侧是摄氏温度．小明通过查阅资料和观察温度计，得到华氏温度与摄氏温度之间存在着一次函数关系，并记录数据如下． 摄氏温度值 0 10 20 30 40 华氏温度值 32 50 68 86 104 (1)在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接； (2)求与的函数解析式； (3)设（1）中所画的图象与直线交于点，点的实际意义是________； (4)某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16，直接写出该温度区间的最大温差． 【答案】(1)见解析 (2) (3)华氏温度的值与摄氏温度的值相等； (4)该温度区间的最大温差是40摄氏度 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据题意描点连线即可得到图象； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据交点的实际意义进行解答即可； （4）根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：设与的函数解析式为． 将，代入中，得 解得， 与的函数解析式为； （3）解：点的实际意义是华氏温度的值与摄氏温度的值相等； 故答案为：华氏温度的值与摄氏温度的值相等 （4）解：根据题意得． 当时， 解得； 当时， 解得； ， 该温度区间的最大温差是40摄氏度． 70．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1) (2)420 (3)1；3；6；10 【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用平方根的知识估算即可解答； （2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值； （3）关于的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． 【题型7.数学常识与规律研究】 71．（2025.七年级下·江苏南京·月考）2000多年前，有一位著名的数学家对前人在数学上的成果进行了系统整理，把人们公认的一些真命题作为公理，并以此为出发点，用推理的方法证实了一系列命题，编纂成了人类文明史上具有里程碑意义的数学巨著——《原本》．这位数学家是（　　） A．阿基米德 B．泰勒斯 C．欧几里得 D．苏格拉底 【答案】C 【分析】此题考查了对数学家们巨大贡献的理解能力，关键是能准确理解并运用以上数学常识． 根据《原本》的作者是欧几里得进行辨别． 【详解】解：∵《原本》的作者是欧几里得， ∴选项C符合题意，选项A，B，D不符合题意， 故选：C． 72．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求出第9个式子即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， ∴当时：； 故答案为：． 73．（2025·江苏南京·模拟预测）在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，理解题意，分别由小到大进行分析，发现符合题意的最小正整数解为，即，再结合，即可作答． 【详解】解：∵三三数之剩二， ∴ ， ∵五五数之剩三， ∴ ∵七七数之剩二． ∴ ∵最小正整数解记为a． ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 74．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．如图所示的规律为：第行的最后一个数为，依此规律可以确定答案． 【详解】解：第一行的最后一个数是1， 第二行最后一个数是， 第三行最后一个数是， 第四行最后一个数是， 第五行最后一个数是． 第行最后一个数是． ， 第63行的最后一个数是2016． 2025在第64行从左到右第9个数的位置． 正整数2025可以用有序数对来表示． 故答案为：． 75．（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键． （1）由新定义即可求解； （2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 满足条件的负整数为， 故答案为：． 76．（2025·全国·一模）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解．由题意，表示不超过的最大整数（根据例子 ，可知），已知且 ，得 ，，进而确定，，，解不等式组得到即可由定义得到答案． 【详解】解：且 ， ， ，， ， 故， 故答案为：2023． 【题型8.实际应用问题】 77．（2025·北京大兴·二模）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 【答案】 1200 1300 【分析】本题考查了最优化问题中的费用问题．尽可能安排三人间，剩余人数再用单人间或双人间补足．通过调整三人间的数量，找到总费用最低的组合即可． 【详解】解：（1）单人间120元/人天；双人间75元/人天；三人间元/人天； ， 则要使每天住宿的费用最少，尽量选择三人间， 女团员18名，， 元， 所有女团员每天住宿的费用最少为1200元； 故答案为：1200； （2）男团员19名，余1人， 方案1：6个三人间，1个单人间，元， 方案2：5个三人间，2个双人间，元， ， 所有男团员每天住宿的费用最少为1300元； 故答案为：1300． 78．（2025·湖南长沙·二模）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G、H八道工序，加工要求如下：①工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C Đ E F G H 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 3 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 分钟． 【答案】28 【分析】本题考查逻辑推理，有理数的运算，结合题意进行正确的推理即可． 【详解】解：假设这两名学生为甲，乙， ∵工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序都需要 9 分钟完成， ∴甲学生做工序，乙学生做工序，需要 9 分钟， 然后甲学生做工序，同时乙学生做工序， 乙学生工序完成后接着做工序， 此时需要 9 分钟， 最后乙学生做工序，甲学生同时做工序完成后接着做工序， 此时需要 10 分钟， 则（分钟）， 即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 28 分钟． 故答案为： 28 ． 79．（2025·河北廊坊·一模）初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【答案】周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六 【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案． 【详解】解：根据表格数据得， 周一：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周二：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周三：最高气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周四：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周五：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周六：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周日：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六． 80．（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【答案】800 【分析】本题主要考查乘方的应用，将相关数据代入，可得，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ ∴ ， ． 故答案为：800． 81．（2025·浙江杭州·三模）命题“若，那么”的逆命题为 ，此逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，那么 真 【分析】本题考查命题及逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据实数的平方判断真假．熟记逆命题的概念、真假命题的判断方法是解题的关键． 【详解】解：命题“若，那么”的逆命题为“若，那么”，此逆命题是真命题． 故答案为：若，那么；真． 82．（2025·北京朝阳·模拟预测）某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，从站点i到站点j的配送成本为，其中表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列为：，，，，．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为 元；若允许拆分配送（每个站点可被多次访问，但包裹只交付一次），最小总成本为 元． 【答案】 【分析】本题考查了优化问题．理解配送成本公式是解题的关键．不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，那么只能一次性将所有站点配送完，即从站点1到站点5. 根据配送成本公式计算即可．允许拆分配送时，为了使总成本最小，每次配送2个站点．例如站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小，分别计算再求和即可． 【详解】解：不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，有以下3种方案 方案1：配送 成本为元 方案2：配送 成本为元 方案3：配送 成本为元 ∴方案2成本最低为元 允许拆分配送时，为了使总成本最小，需要合理拆分配送站点．站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小， 站点3，包裹已经交付，则接下来，， 成本为元 故答案为：，22． 83．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【分析】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【详解】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ①， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 84．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【分析】本题是三角形综合题，考查了实数与数轴上点的对应关系、数轴上两点间的距离公式，掌握其公式是解决此题的关键； （1）根据两点距离公式可得答案； （2）①由两点距离公式可得答案；②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和，即可求解； （3）的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 85．（2025·河北邯郸·三模）阅读下面的文字，解答问题， 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，根据这一原则，求解下列各题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a，b的值； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． （1）先估计的近似值，然后判断的小数部分a，的整数部分b，即可得到a、b的值； （2）先估计的近似值，然后判断的近似值，并求得x、y的值，最后求的相反数． 【详解】（1）解：， ． 的小数部分． ， ． ， 的整数部分． （2）解：， ．且x是整数，， ，， ∴， 的相反数为． 【题型9.综合解答题】 86．（2025·辽宁·模拟预测）计算； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据乘方，负整数指数幂，零次幂的性质化简，再计算即可； （2）先计算分式乘法，括号内的异分母分式的减法运算，再根据分式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 87．（2025·河北邯郸·二模）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 【答案】(1)，的值为3 (2)满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想（根据绝对值内式子的符号分段化简），要求对绝对值的性质深度理解，且能严谨分类求解． 根据绝对值的几何意义与分类讨论思想展开，由x的取值范围化简绝对值求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ， 解得，即的值为3． （2）解：当时，， 则，解得， 点表示的数为； 当时，，故不符合题意； 当时，由（1）可知，点表示的数为3． 综上所述，满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3． 88．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)负数，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2）解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴与是负数． 89．（2025.七年级上·河北保定·期末）如图，O为数轴原点，点M，N在数轴上，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，且，．蚂蚁P从点N出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁Q从点M出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴运动．设点P，Q的运动时间t（秒）． (1)点M表示的数为 ；点N表示的数为 ； (2)用含t的代数式表示经过t秒时点P表示的数； (3)若蚂蚁Q沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求t的值； (4)蚂蚁Q沿数轴向左运动，若无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，代数式表示，一元一次方程的应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）根据点P的运动情况，结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （3）用t表示出点P、Q两点运动过程中表示的数，然后根据“两只蚂蚁之间的距离为6”分情况列方程求解，即可解题； （4）用m、t表示出，然后根据值始终固定不变可求出m的值． 【详解】（1）解：O为数轴原点，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，，． 点M表示的数为，点N表示的数为， 故答案为：，． （2）解：经过t秒时点P表示的数为； （3）解：蚂蚁Q沿数轴向右运动，经过t秒时点Q表示的数为， 两只蚂蚁之间的距离为6， 或， 解得或； （4）解：蚂蚁Q沿数轴向左运动，经过t秒时点Q表示的数为， ， 经过t秒时， 无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变， 中， 解得． 90．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点C，D分别在函数，的图象上，轴，点F是x轴上一点，线段与y轴负半轴交于点E．若的面积为12，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，由可得，由三角形的面积公式可得，进而可得，由轴可知与同底等高，因而，得轴，由点C，D分别在函数，的图象上可得，，进而可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， ， ， ， ， ， 轴， 与同底等高， ， 轴， 轴， 点C，D分别在函数，的图象上， ， ， ， 解得：或（正值不符合题意，故舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数比例系数的几何意义，三角形的面积公式，绝对值方程等知识点，添加适当辅助线构造同底等高三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $