吉林省长春市第一零三中学2025-2026学年九年级上学期期末检测数学试卷

吉林省长春市103中学2025-2026学年九年级上学期期末试卷（数学） 一、选择题： 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 2. 一元二次方程 可配方成 的形式，则 的值为（     ） A.-5　　 B..5　　 D. 3. 将抛物线 向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ A. 　 B. 　 C. 　 D. 4. 二次函数 ，若点 ， 是它图象上的两点，则 与 的大小关系是（     ） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 不能确定 5. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下的统计表，符合这一结果的试验最有可能是（ 试验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A. 抛一枚硬币，正面向上 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数为5 D. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1球，取到红球 6. 若二次函数 在 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是（     ） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 7. 如图，在 中，，， 的垂直平分线 交 于点 ，连结 ，若 ，则 的长是（     ） A.10　　 B.8　　 C. 　　 D. 8. 如图，已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。 其中正确结论的有（ A. ①②③　　 B. ②③⑤ C. ②③④　　 D. ③④⑤ 二、填空题： 9.如果，那么的值等于______. 10.已知，是方程的两根，则______. 11.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽______米. 12.已知抛物线与x轴的一个交点坐标为(，0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为______. 13.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若，，则的值是______. 14.如图，在中，，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作于G，交BD于H，过点E作于M..则下列结论：①；②；③；④EM是⊙O的切线 其中正确的结论是____________.（请将正确结论的序号填在横线上） 三、解答题 15.（1）计算：.（2）. 解方程：. 16. 已知关于的一元二次方程. （1）试说明不论实数取何值，方程总有实数根； （2）如果当时，、为方程的两个根，求的值. 17.在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，甲为三等分数字转盘，分别标有数字1、2、3，乙为四等分数字转盘，分别标有数字1、2、3、4，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）. （1）若单独转动甲盘，当它停止时，指针指向的数字为偶数的概率是______； （2）李雷转动甲盘，王明转动乙盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为奇数的概率. 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上. 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹. （1）网格中的形状是____； （2）在图①中确定一点，连结、，使与全等； （3）在图②中的边上确定一点，连结，使； （4）在图③中的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使，且相似比为. 19.如图，在中，，点O为AC上一点(不与点A、C重合)，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作于点 F. （1）求证：DF是⊙O的切线； (2)若∠°，⊙O的半径为6，则弧DE的长为(结果保留π) 20.奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度(测角仪高度忽略不计)．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．(参考数据：sin58°.85，cos58°.53，tan58°.60) 21.市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元. 物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元. 经市场调查发现：日销售量 （千克）是销售单价 （元）的一次函数，且当 时，； 时，. 在销售过程中，每天还要支付其他费用450元. （1）求出 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围. （2）求该公司销售该原料日获利 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式. （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 22.在 中，，， 是 上一点，， 是边 上一点，连结 ，过 点作 ，交 于点 . （1）如图1，若 ，则 （2）如图2，若点 在边 上移动，试探究 是否为定值，并说明理由； （3）如图3，若点 与点 重合，作 ，垂足为 ，求证：. 23.（10分）如图，在中，，，，点是边的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动．以点为旋转中心，将逆时针旋转，得射线，交边或边或边于点，连结（即），设点的运动路程为（）． （1）直接写出的长； （2）用含的代数式表示的长； （3）连结，当是等腰直角三角形时，求的值； （4）作点关于的对称点，当点落在的边上时，直接写出的值． 24.（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点、是该抛物线上的点（点不与点重合），其横坐标分别为、，过点作直线轴交该抛物线于点（点不与点重合），直线与轴交于点，以、为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当时，求点的坐标． （3）当该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围． （4）设的边与该抛物线的交点为点，点不与的顶点重合，作直线．当的面积被直线分成两部分时，直接写出的值． 参考答案 一、选择题 1. 最简二次根式 答案：D. √3 解析：最简二次根式需满足： ○被开方数不含平方因数（A. √12=2√3，B. √(1/27)=√3/9，C. √8=2√2）。 无分母。 　 只有 D. √3 满足条件。 2. 一元二次方程配方 答案：C. 5 解析： 原方程： 配方步骤： 1. 2. → 得 ， ，故 。 3. 抛物线平移 答案：B. 解析：向上平移2个单位，直接在函数值上加2，得到 。 4. 二次函数值比较 答案：C. 解析： 计算函数值： - - 故 。 5. 频率估计概率 答案：D. 取到红球 解析：频率稳定在约 ，对应概率： A. （硬币正面） B. （红桃概率） C. （骰子点数为5） 　 - （红球概率）。 6. 二次函数单调性 答案：A. 解析：函数 在 时递减。题目要求 时递减，故 。 7. 三角形与垂直平分线 答案：A. 10 解析： 设 ，由垂直平分线性质得 ， 。 在 中， → 。 勾股定理： 。 8. 二次函数图像分析 答案：B. ②③⑤ 解析： ① ：错误（开口向下， ；对称轴 → ； → ）。 ② ：正确（ 时， → ）。 ③ ：正确（ 时， ）。 ④ ：错误（由 和 得 ）。 ⑤ ：正确（顶点处取得最大值）。 二、填空题 9. 比例求值 答案： 解析：设 ， ，则 。 10. 韦达定理应用 答案：6 解析： ， → 。 11. 河宽计算 答案：22.5米 解析：相似三角形比例关系： → 河宽 米（题目描述可能有误，实际应为22.5米）。 12. 抛物线交点对称性 答案：(7, 0) 解析：对称轴 ，已知交点 ，另一交点关于对称轴对称： 。 13. 正方形比例 答案：4 解析：设边长为4，坐标法计算得 。 14. 几何结论判断 答案：①②④ 解析： ① ：正确（距离相等）。 ② ：正确（角度关系）。 ③ ：错误。 ④ 是切线：正确（垂直半径）。 三、解答题 15.（1）计算 答案： 解析： （简化后为 ）。 15.（2）解方程 答案： 解析：求根公式得 。 16. 一元二次方程根的性质 答案： （1）判别式 ，总有实根。 （2）当 时，方程为 ，根为2和4，代入得值为 。 17. 概率问题 答案： （1） （甲盘偶数概率）。 （2）列表法得两数之和为奇数的概率为 。 18. 网格作图 答案： （1）直角三角形。 （2）-（4）略 19. 几何证明与计算 答案： （1）证明 是切线（略）。 （弧长 （圆心角 ，半径6）。 20. 仰角测量高度 答案：约120米 解析：设塔高 ，由 和 列方程求解。 21. 函数与利润 答案： （1） （ ）。 （2） 。 （3）当 时，最大利润为1950元。 22. 几何探究 答案： （1） 。 （2）是定值，理由略（相似三角形）。 （3）证明 （勾股定理）。 23. 动态几何 答案： （1） 。 （2）分段表示 （略）。 （3） （等腰直角三角形条件）。 （4） 或 （对称点位置）。 24. 抛物线综合 答案： （1） （对称轴 ，过点 ）。 （2） （ 时）。 （3） （单调性分析）。 （4） （面积比例条件）。 学科网（北京）股份有限公司 $