4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 一．选择题 1.已知数列{an}的通项公式为an=2n+5,则此数列(　　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 2.已知数列{an}是无穷数列,则“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若a≠b,则等差数列a,x1,x2,b的公差是(　　) A.b-a B. C. D. 4.等差数列20,17,14,11,…中的第一个负数项是(　　) A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 5.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为(　　) A.26 B.29 C.39 D.52 6.在等差数列{an}中,a5=33,a45=153,则201是该数列的第(　　)项. A.60 B.61 C.62 D.63 7.(多选题)有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则对这个新数列的说法正确的是(　　) A.构成的新数列是等差数列,公差为10 B.构成的新数列是等差数列,公差为12 C.该数列共有16项 D.该数列共有18项 8.在数列{an}中,若a1=1,a2=,则该数列的通项公式为(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 二．填空题 9.已知a=,b=,则a,b的等差中项为　　　　　.  10.-1与+1的等差中项是　　　　　.  11.在等差数列{an}中,a1=1,a5=4a3,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　.  12.已知数列{an}中,a1=1,an-1-an=an·an-1(n≥2),则a10=　　　　　.  13.在等差数列{an}中,首项为33,若第12项为0,则数列的通项公式为　　　　　;若公差为整数,前7项均为正数,第7项以后各项都为负数,则数列的通项公式为　　　　　　　.  14.已知数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为　　　　　.  15.如果有穷数列a1,a2,…,am(m∈N*)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,那么称其为“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=　　　　.  三．解答题 16.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n,设bn=. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 17.已知等差数列{an}:3,7,11,15,…. (1)135,4m+19(m∈N*)是数列{an}中的项吗?请说明理由. (2)若ap,aq(p,q∈N*)是数列{an}中的项,则2ap+3aq是数列{an}中的项吗?请说明理由. 18.已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2,求数列{an}的通项公式. 19.在数列{an}中,已知a1=5,且an=2an-1+2n-1(n≥2). (1)求a2,a3的值. (2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 一．选择题 1.A 由题意,可知an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,a1=2×1+5=7,故{an}是首项为7,公差为2的等差数列. 2.B 若“数列{an}为等差数列”成立,则必有“2a2=a1+a3”,而仅有“2a2=a1+a3”成立,不能断定“数列{an}为等差数列”成立,必须满足对任何的n∈N*,都有2an+1=an+an+2成立才可以,故“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件. 3.C 设等差数列的公差为d.由等差数列的通项公式,得b=a+(4-1)d,即d=. 4.B 根据题意,可知首项a1=20,公差d=-3,故an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,可得a7=2>0,a8=-1<0.即第一个负数项是第8项. 5.C ∵5,x,y,z,21成等差数列, ∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项, ∴5+21=2y,∴y=13,x+z=2y=26, ∴x+y+z=39. 6.B 设数列{an}的公差为d. ∵{an}为等差数列, ∴解得 ∴an=21+3(n-1)=3n+18. 令3n+18=201,得n=61. 7.BC 等差数列2,6,10,…,190,公差为4,等差数列2,8,14,…,200,公差为6, 故由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列, 其公差为12,首项为2,通项公式为an=12n-10. 由12n-10≤190,解得n≤,而n∈N*,则n的最大值为16,即新数列的项数为16.故选BC. 8.A 由,得,则数列是首项为=1,公差为=2-1=1的等差数列,故=n,即an=. 二．填空题 9. = . 10. 设等差中项为a,则有2a=(-1)+(+1)=2,得a=. 11. an=-n+ 因为数列{an}为等差数列,设公差为d,由a5=4a3,得a1+4d=4(a1+2d),联立a1=1可得d=-,所以an=1+(n-1)=-n+. 12. 由题意,可知an≠0,由于数列{an}满足an-1-an=an·an-1(n≥2),则 =1(n≥2),故数列是等差数列,公差为1,首项为1,即=1+9=10,故a10=. 13. an=36-3n　an=38-5n 设等差数列{an}的公差为d. 若a1=33,a12=0,则33+11d=0,得d=-3,这时an=33+(n-1)×(-3)=-3n+36. 若公差为整数,且前7项大于0,第7项以后均为负数,可得 解得-<d<-. ∵d∈Z,∴d=-5, ∴an=33+(n-1)×(-5)=38-5n. 14. 5 根据题意,可知an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6, 令an=bn,得3n-1=4n-6,故n=5. 15.19 因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=1+9×2=19.又因为数列{cn}为21项的“对称”数列,所以c2=c20=19. 三．解答题 16. (1)证明:由已知an+1=2an+2n,得bn+1=+1=bn+1. 由于b1=a1=1,因此{bn}是首项为1,公差为1的等差数列. (2)解:由(1)知数列{bn}的通项公式为bn=n, 因为bn=,所以数列{an}的通项公式为an=n·2n-1. 17. 解:由题意,可知等差数列{an}的首项a1=3,公差d=4,则an=a1+(n-1)d=4n-1. (1)令an=4n-1=135,得n=34, 故135是数列{an}的第34项. 令an=4n-1=4m+19,则n=m+5, 所以4m+19是数列{an}的第m+5项. (2)因为ap,aq是数列{an}中的项, 所以ap=4p-1,aq=4q-1. 则2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1, 其中2p+3q-1∈N*, 故2ap+3aq是数列{an}的第2p+3q-1项. 18.解:由an-an+2=2知,数列{an}的奇数项和偶数项分别构成公差为-2的等差数列. 当n=2k-1(k∈N*)时,2k=n+1,a2k-1=a1+(k-1)·(-2)=12-2k, 故an=12-(n+1)=11-n(n为奇数). 当n=2k(k∈N*)时,a2k=a2+(k-1)·(-2)=5-2k+2=7-2k, 故an=7-n(n为偶数). 即an= 19. 解:(1)因为a1=5,所以a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33. (2)假设存在实数λ,使得数列为等差数列, 则成等差数列, 故2×,即,解得λ=-1. 当λ=-1时, [(an+1-1)-2(an-1)] =(an+1-2an+1) =[(2an+2n+1-1)-2an+1] =×2n+1=1. 综上可知,存在实数λ=-1,使得数列为等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $