精品解析：安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

定远育才学校2025-2026学年九年级（上）12月月考 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. （其中m是常数） D. （其中a是常数） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为一次函数，故此选项不符合题意； B、，为二次函数，故此选项符合题意； C、，为一次函数，故此选项不符合题意； D、，当时，，此时不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知（，），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，倒数定义，将已知方程化简，求出的值，再取倒数得到即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3. 已知二次函数图象过，，其图象的开口和形状均与的图象一致，那么该二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 由开口和形状与一致得二次项系数，然后由过点，求解即可． 【详解】∵二次函数图象开口和形状与一致， ∴． 又∵二次函数图象过，， ∴． 故选：A． 4. 如图，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．已知，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 6 C. 5.4 D. 4.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可以得出，解分式方程即可求得的长，根据即可求得的长． 【详解】解：，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、， ， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴． 故选：B． 5. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则得到平移后的函数解析式，再由顶点式二次函数解析式写出顶点坐标即可解决问题． 【详解】解：由题知， 则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为， 此时抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 6. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为18，则的值是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为18，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点的横坐标为4，点的纵坐标为2， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为18， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，若四边形是菱形，且，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 根据矩形的性质和菱形的性质得，，，，，，进而证明，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，四边形是菱形， ，，，，，， ． ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， 菱形周长为， 故选：B． 8. 如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°，设AB＝x，利用特殊角的三角函数值可求得，，再根据三角形①的面积是3可得，最后再利用特殊角的三角函数值可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，根据题意得：∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°， 设AB＝x， ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∵三角形①的面积是3， ∴， 整理得：， ∵在中，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的相关知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 9. 如图是二次函数（）图像的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则时的函数值小于时的函数值 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和系数的关系的应用，根据图像获取相关信息是解题的关键． 对于A，根据对称轴求出；对于B，把代入即可判断；对于C，利用二次函数图像开口向下，离对称轴越远函数值越小，然后比较与对称轴的距离即可；对于D，先确定的关系，作差配方即可判断． 【详解】解：A、∵对称轴为 ， ∴， ∴， 故A错误； B、∵函数图像经过点， ∴时， 故B错误； C、由图可知二次函数图像开口向下，对称轴为， 所以离对称轴越远函数值越小， ，，且， 离对称轴的距离小于离对称轴的距离， 则时的函数值大于时的函数值， 故C错误； D、， ， 解得， ， 又， 所以， 则，故D正确． 故选：D． 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 求出点，可得直线为，再求出抛物线的顶点坐标为，可得点关于直线的对称点为，再根据直线和新图象恰好有3个交点，可得直线过点，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点， ∵直线轴， ∴直线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变， ∴点关于直线的对称点为， ∵直线和新图象恰好有3个交点， ∴直线过点， ∴， ∴，符合题意． 故选：B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握其性质的计算是关键，通过设比例常数为 ，表示出 的值，然后代入所求表达式进行计算． 【详解】解：设 ，则 ，，（）， 代入 得： 分子：， 分母：， 所以 ； 故答案为． 12. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 若函数（是常数）是关于的二次函数，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴ ，解得， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且面积是12，则的值为_____． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． （1）设，先求出，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，由此即可得； （2）设，先求出，，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，，最后根据可得的值，由此即可得． 【详解】解：（1）设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的纵坐标为， ∵点为的中点， ∴， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为， ∵，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内将放大为原来的倍得到，作出； （2）请用无刻度直尺作出的角平分线（保留作图痕迹）． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是画位似图形，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练的作图是解本题的关键． （1）以原点为位似中心，在第一象限内确定A、B、C的对应点，再顺次连接，结合点的位置可得其坐标； （2）如图，取格点，则射线即为所求作的角平分线；连接，根据勾股定理可得，，进而利用证明，则，可得是的角平分线． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作， 【小问2详解】 解：如图，是角平分线， 16. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 【答案】(1) ;(2) 此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）;(3) x＜﹣3或x＞0. 【解析】 【分析】（1）把B（1，0），C（0，﹣3）分别代入得到关于b、c的方程组，求出b、c即可； （2）令y1=0，得到x2+2x﹣3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）观察图像可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1． 【详解】解：（1）由二次函数的图像经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点， 得， 解这个方程组，得， ∴抛物线的解析式为； （2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0， 解这个方程，得x1=﹣3，x2=1， ∴此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）； （3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1． 17. 如图，在中，点在的延长线上，连接交于点． （1）求证：； （2）若面积为9，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形基本性质，相似三角形的证明及性质，熟练掌握相似三角形的证明是解题关键； （1）通过平行四边形的基本性质得到，进而得证，从而可证得相似； （2）先证明，然后再通过比例性质得到相似比，最后可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，已知反比例函数图象与一次函数的图象交于点，点． （1）求n和b的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求出b的值，得出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式，即可求出n的值； （2）记一次函数交轴于点，利用一次函数解析式求出点坐标，再结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据，的坐标结合图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点， ， 解得， 即一次函数解析式为， ； 【小问2详解】 解：记一次函数交轴于点， 当时，，解得， ，即， 点，点， 面积； 【小问3详解】 解：点，点， 则一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数与轴交点问题，解题的关键是利用数形结合思想求解． 19. 如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和相似三角形的判定和性质的综合应用．熟练掌握菱形和相似三角形的性质及判定是解题关键． （1）根据菱形的性质和直角三角形相似的判定方法即可证出结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例求出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， 于点F， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 20. 如图，在中，分别是的中点，，连接于点，，交于点，． （1）求的长． （2）连接相交于点，作于点． ①求证：． ②若，求的值． 【答案】（1）2 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和判定，直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图1，过点作于点，则，先根据三角形的中位线定理可得：，，证明四边形是矩形，证明，再证明，，列比例式即可解答； 证明，则，设，，得，证明，列比例式可得，由勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图1，过点作于点，则， ， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，，分别是，的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：，，， ，， ， 设，， ，即， ， ， 而， ， ， ， ， ， 中，， ， （负值舍）， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形中位线的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 21. （）由光的反射定律知：反射角等于入射角如图①，即小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； （）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法如图②：他让小丽站在点处不动，将镜子移动至处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（）米；（）米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用光的反射定律得到等角，进而证明三角形相似． ()根据反射定律，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； ()根据反射定律，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】（）解：，， ， ， ， ． 答：建筑物的高度为． （）由题意得：，，，， ，， ， ， ， ． ，， ， ， ， ， ． 答：广告牌的高度为． 22. 如图，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点E、交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求折痕的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，，进而得出，即可得证； （2）设，则，由折叠可得，在中，，求得，在中，勾股定理求得，根据菱形的性质得出，在中，勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质，可得：， ， ， ， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 解：如图所示，连接，交于点O， ， 设，则， 由折叠可得， 在中，， ， 解得，， ， 在中， 四边形为菱形， ， 在中，， 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠问题，菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为下方抛物线上一点，连接，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3，点Q为上一点，连接并延长交x轴于点E，延长至点D，连接交x轴于点M，，点M为中点，连接，点F在上，连接，交于点K，连接平分交于点H，交于点T，于点G，若，，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）根据题意得，确定，过点P作于点R，于S，结合图形根据即可确定函数解析式； （3）过点Q作交AB于点N，根据全等三角形的判定和性质得出，，再由待定系数法确定直线AC解析式为,过点P作于点I，由函数交点问题即可得出结果． 【小问1详解】 解：将、代入得 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 点P在抛物线上， ， 当时，， ， 过点P作于点R，于S， 点P在第三象限， ，， 连接， ， ， 【小问3详解】 过点Q作交于点N， ，，， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设解析式为， ， ， 直线解析式为， 设直线的解析式为， 过点P作于点I， ， ， 把点、代入， 得， 解得，（舍去）， ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，面积问题及全等三角形的判定和性质，一次函数与二次函数交点问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年九年级（上）12月月考 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. （其中m是常数） D. （其中a是常数） 2. 已知（，），则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数图象过，，其图象的开口和形状均与的图象一致，那么该二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．已知，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 6 C. 5.4 D. 4.8 5. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为18，则的值是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7. 如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，若四边形是菱形，且，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 9. 如图是二次函数（）图像的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则时的函数值小于时的函数值 D. 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（ ） A B. C. 1 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知，则值______． 12. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 13. 若函数（是常数）是关于的二次函数，则的取值范围是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且的面积是12，则的值为_____． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内将放大为原来的倍得到，作出； （2）请用无刻度直尺作出的角平分线（保留作图痕迹）． 16. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 17. 如图，在中，点在的延长线上，连接交于点． （1）求证：； （2）若的面积为9，，求的面积． 18. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． （1）求n和b的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值自变量x的取值范围． 19. 如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． （1）求证； （2）若，求长． 20. 如图，在中，分别是的中点，，连接于点，，交于点，． （1）求的长． （2）连接相交于点，作于点． ①求证：． ②若，求的值． 21. （）由光的反射定律知：反射角等于入射角如图①，即小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； （）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法如图②：他让小丽站在点处不动，将镜子移动至处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，，求这个广告牌的高度． 22. 如图，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点E、交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求折痕的长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为下方抛物线上一点，连接，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3，点Q为上一点，连接并延长交x轴于点E，延长至点D，连接交x轴于点M，，点M为中点，连接，点F在上，连接，交于点K，连接平分交于点H，交于点T，于点G，若，，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $