精品解析：四川省德阳市中江县2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

四川省德阳市中江县2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 说明： 1．本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题，第II卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷 选择题（36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系xOy中，点向下平移2个单位长度后的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点的平移规则，掌握相关知识是解决问题的关键．向下平移时，点的纵坐标减少，横坐标不变． 【详解】解：∵点向下平移2个单位长度， ∴平移后的点横坐标不变，纵坐标减少2， 即新坐标为 故选：C． 2. 将三角形裁剪后，剩余部分如图所示，则这个三角形不可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键．根据三角形的内角和定理和三角形的分类逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 由图可知该三角形有一个内角为，则另两个角的度数可以为，为锐角三角形，该项正确，不符合题意； B． 由图可知该三角形有一个内角为，则另两个角的度数可以为，为钝角三角形，该项正确，不符合题意； C．等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，该项错误，符合题意． D． 由图可知该三角形有一个内角为，则另两个角的度数可以为，为等腰直角三角形，该项正确，不符合题意； 故选：C． 3. 下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式、添括号法则和去括号法则、完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 根据平方差公式、添括号法则、完全平方公式进行逐一计算即可求解． 【详解】解：A：，故不符合题意； B：，故符合题意； C：，故不符合题意； D：，故不符合题意； 故选：B． 4. 已知的计算结果中不含的项，则m的值为（ ） A. 6 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据计算结果中不含的项可得含的项的系数等于0，据此求解即可得． 【详解】解： ， ∵的计算结果中不含的项， ， 解得， 故选：B． 5. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为点．若的周长为4，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直得出直角，根据角平分线得出相等的角，证明，得出，证明和为等腰直角三角形，得出相等的边，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ， 在与中 ∴， ∴， ∵，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∵的周长为4， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 6. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，据此即可求解． 【详解】解：A．为多项式乘多项式运算，不符合题意； B．满足因式分解的定义，符合题意； C．是多项式乘多项式运算，不符合题意； D．等式右边不是几个整式的积的形式，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角的性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 8. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 你爱数学 B. 你爱学 C. 爱中国 D. 中国爱你 【答案】D 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码信息可能是“中国爱你”， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 9. 中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，根据两种不同三角形的面积：，，建立等式是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵，，， ∴ 即： ∴， 故选：B． 10. 如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（　　）中的等式能准确的描述其中所蕴含的几何关系． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式在几何图形中的应用，分别用代数式分别表示“大正方形”，中间“小正方形”以及个长方形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：整体上“大正方形”的边长为，因此面积为，中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， 所以有， 即 ， 故选：B． 11. 如图，中，平分，如果M、N分别为上的动点，那么取最小值时，的周长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，找到使最小时的动点M和N的位置是解决本题的关键． 如图：过C作交于点M，作于点N，根据角平分线的性质可得，即可找到动点M和N，易求的最小值为，再运用勾股定理求得，证明可得，进而得到，最后求的周长即可． 【详解】解：如图：过C作交于点M，作于点N， ∵平分， ∴， ∴． ∵中，， ∴，即，解得：， ∴的最小值是， ∵中，， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴， ∴ ∴的周长为． 故选：C． 12. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是（ ） ①；②是等边三角形；③；④． A. ①④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理解答①；先说明平分，可得，再根据“角边角”证明，得出，解答②；根据含直角三角形的性质解答③；先说明，在根据解答④即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∴． 则①正确； ∵的角平分线交于点O，， ∴平分， ∴． ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 则②正确； ∵， ∴． 在中，． 则③正确； 由上述可知， ∵平分， ∴， ∴． 则④不正确． 所以正确的有①②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 第II卷 非选择题（114分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡对应的位置上） 13. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．本题底数为2，是求的相反数． 【详解】解：． 故答案为． 14. 若，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开所求表达式，并代入已知条件计算，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 已知，，是正整数，，且，则_________ 【答案】1或11 【解析】 【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解． 【详解】a2﹣ab﹣ac+bc=11 (a2﹣ab)﹣(ac﹣bc)=11 a(a﹣b)﹣c(a﹣b)=11 (a﹣b)(a﹣c)=11 ∵a＞b， ∴a﹣b＞0，又∵a，b，c是正整数， ∴a﹣b=1或11，a﹣c=11或1． 故答案为：1或11． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是掌握分组分解法分解因式． 16. 如图，在四边形中，点在边上，连接．已知，若，．记，则___________（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积公式，过点作，交于点，由得到，再根据三角形面积公式求出，，即可得出结论，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 已知，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解，积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则和完全平方公式把所求式子可变形为，据此利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 ____________（用含α、β的关系式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，判定为的平分线，为的平分线，即可得出的度数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共90分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算即可； （2）运用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． 20. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. （1）先化简，再求值：，其中； （2）已知：，求的值． 【答案】（1），1 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了代数式的化简，求值，正确计算是解题的关键． （1）先化简，再代入求值即可； （2）展开并变形表达式，代入已知条件即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 把代入上式，得 原式； （2）解：， ， ， ， 将代入上式，得 原式， ， ， ， 22. 如图，在中，，点F为延长线上点，点G为延长线上点，．D，E分别是上点，是线段的垂直平分线． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）先利用等腰三角形的性质可得：，再利用线段垂直平分线的性质可得：，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答； （2）利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，最后利用等式的性质可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，都是等边三角形，与交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； 【答案】（1） 证明：∵，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得，进而可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于，于，根据全等三角形的性质可得，结合三角形外角的定义和性质证明， 得到，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，根据“在角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于，过点作于，于， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 又， ． 24. 观察下列各式：；；；…；发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为2n，试说明比大7的数与的平方差能被7整除； （3）比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 【答案】（1）19 （2） 能，证明：偶数为，比大7的数为， ∴， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与2n的平方差能被7整除； （3） 余数为5，理由如下： 设这个数为n，比n大5的数为， ∴， ∵， ∴被10整除的余数是5， ∴比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是5． 【解析】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用． （1）结合题干，利用平方差公式求解； （2）设偶数为，比大7的数为，比大7的数与的平方差表示为，利用平方差公式变形为，即可求解； （3）变形为，可得余数为5． 【小问1详解】 解：， 的结果是3的19倍， 故答案为：19； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图1，在中，，是边中点，为边上点，平分，为边上点、与交于点，． （1）证明：； （2）证明：平分； （3）如图2．延长至，连接，与交于点，若，，证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由，是边中点，得，，，则，由于点，得，可证明，而，，即可根据“”证明，得，则； （2）作交的延长线于点，推导出，，进而证明，得，则，所以，则平分； （3）作于点，可证明，得，再证明，得，所以，则． 【小问1详解】 证明：，是边中点， ，，， ，， 于点， ， ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1，作交的延长线于点，则， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 平分． 【小问3详解】 解：如图2，作于点，则， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省德阳市中江县2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 说明： 1．本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题，第II卷为非选择题，全卷共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第I卷 选择题（36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系xOy中，点向下平移2个单位长度后的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 将三角形裁剪后，剩余部分如图所示，则这个三角形不可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的计算结果中不含的项，则m的值为（ ） A. 6 B. C. D. 0 5. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为点．若的周长为4，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 你爱数学 B. 你爱学 C. 爱中国 D. 中国爱你 9. 中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10. 如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（　　）中的等式能准确的描述其中所蕴含的几何关系． A. B. C. D. 11. 如图，中，平分，如果M、N分别为上的动点，那么取最小值时，的周长为（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是（ ） ①；②是等边三角形；③；④． A. ①④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 第II卷 非选择题（114分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡对应的位置上） 13. ___________． 14. 若，则___________． 15. 已知，，是正整数，，且，则_________ 16. 如图，在四边形中，点在边上，连接．已知，若，．记，则___________（填“”，“”或“”） 17. 已知，则的值是____________． 18. 如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 ____________（用含α、β的关系式表示）． 三、解答题（本大题共7小题，共90分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 因式分解： （1）； （2）． 21. （1）先化简，再求值：，其中； （2）已知：，求的值． 22. 如图，在中，，点F为延长线上点，点G为延长线上点，．D，E分别是上点，是线段的垂直平分线． （1）证明：； （2）证明：． 23. 如图，都是等边三角形，与交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； 24. 观察下列各式：；；；…；发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为2n，试说明比大7的数与的平方差能被7整除； （3）比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 25. 如图1，在中，，是边中点，为边上点，平分，为边上点、与交于点，． （1）证明：； （2）证明：平分； （3）如图2．延长至，连接，与交于点，若，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $