期末总复习： 相似三角形 过关检测试卷 2025-2026学年沪教版九年级数学上册

期末复习《相似三角形》过关检测试卷 一、单选题 1．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）关于向量，下列表述正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果与方向相反，则 C． D．如果，则 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键． 根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可． 【详解】解：A、两个向量的模相等，不能保证方向相同，故本选项不符合题意； B、两个向量方向相反，且模长相等时，才是相反向量，故本选项不符合题意； C、向量相减的结果是向量，而不是数0，故本选项不符合题意； D、根据相反向量的定义：如果，则，故本选项符合题意． 故选D． 3．（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 4．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，且相交于点F，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的面积之比为相似比的平方是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，易证，结合可得，再根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 故选D． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，点E在边上，射线交延长线于点F，若，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．根据平行四边形的性质，可知，，可得，，即可根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：对于A和B， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选项A和选项B都正确，不符合题意； 对于C和D， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ，， ， ， 故选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，解一元二次方程，黄金分割，过点A作于F，由三线合一定理和勾股定理可求出的长，由“黄金分割”点定义可得，即，解方程可求出的长，同理可求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于F， 设，则， ∵， ∴， ∴； ∵点D是边的“黄金分割”点， ∴， ∴， 解得（经检验，符合题意）或（舍去）， 同理可得， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．（2025·上海宝山·一模）已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 8．（2025·上海虹口·一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可，灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·上海浦东新·模拟）已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可． 【详解】解：∵线段的长为，点是线段的黄金分割点，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，理解黄金分割点的概念是解题的关键． 10．（2025·上海虹口·一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 此题考查了相似三角形的性质． 【详解】解：∵，且和的最长边分别是5和， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质是解题的关键． 过点作于，根据面积求得，由和分别求出，即可求求解周长． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：9． 12．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，，，与交于点，如果，那么的长等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理．连接，根据已知条件得到是的中位线，根据三角形中位线的性质得到，，推出，由相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 13．（24-25九年级上·上海嘉定·模拟）如图，在中，点是的中点．记，用含的式子表示向量 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算，解题关键是掌握三角形法则的应用． 根据向量的三角形法则直接求解． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， 故答案为：． 14．（2025·上海普陀·模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ． 【答案】 【分析】根据一线三等角证明，列出比例式代入数值计算即可． 【详解】△ABC为等边三角形， ， ∠ADE＝60°， , BD：DC＝1：2，AD＝2， 设 则 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15．（2025·上海浦东新·一模）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DEAB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF= ． 【答案】 【分析】分别过点C、B作CH⊥AB，BG⊥EF，垂足分别为点H、G，先根据勾股定理得到AB=13，进而可求得CH= ，再证明FBE∽ACB，根据相似三角形的性质可得，由此计算即可． 【详解】解：如图，分别过点C、B作CH⊥AB，BG⊥EF，垂足分别为点H、G， ∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5， ∴AB=， ∵CH⊥AB， ∴CH=， ∵DEAB，BG⊥DE，AD⊥AB，AD=0.4， ∴BG=AD=0.4，∠FEB=∠ABC， ∵BF⊥CE，∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠FBE=90°， ∵∠FEB=∠ABC，∠ACB=∠FBE=90°， ∴FBE∽ACB， 又∵CH⊥AB，BG⊥EF， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，根据题意得到是解决本题的关键． 16．（2025·上海徐汇·模拟）如图，在中，点分别在边上， ，如果和四边形的面积相等，，那么 的长是 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】∵， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又∵和四边形的面积相等， ∴， ∴，即：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 17．（2025·上海长宁·月考）如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于 ． 【答案】 【分析】先延长BG交AC与点D，再根据重心的性质得出BD=3；证∆ADG∆CDG，得出BD⊥AC，再利用勾股定理求出AB的长． 【详解】解：（如图）延长BG交AC与点D， ∵点G为△ABC的重心，BG=2, ∴AD=CD，BD=3， 又∵AG＝CG，GD=GD， ∴∆ADG∆CDG， ∴∠ADG=∠CDG， ∴BD⊥AC， ∵AC＝4， ∴AD=2， ∴AB= ==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出BD、AD的长以及证明∆ADG∆CDG是解决本题的关键． 18．（2025·上海长宁·月考）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于 ． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，由矩形的性质可证明，故可得，再证明求得CD=2，在中由勾股定理可得解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到， ∴，， ∴，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD， 又BD=DB ∴ ∴ ∴， ∴四边形ABDE是等腰梯形， ∵，AE//BD， ∴，∠ ∵∠ ∴∠ ∴ ∴，即 ∴或-2（舍去） 在中，， ∵∠ ∴ 在中， 由勾股定理得， 即 ∴ 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、解答题 19．（2025·上海黄浦·月考）如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点． （1）如果，，用、表示向量； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由G是重心，可得， ， 因为，可得， 进而求出； （2）根据G是重心，求出DG=3，因为△AGD是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可． 【详解】解：（1）∵， ∵点G是Rt△ABC的重心， ∴AD＝AC， ∵，， ∴， ∴ ∴， ． （2）∵G是三角形的重心， ∴BG=2GD，AD=DC， ∵BG=6， ∴GD=3， ∵，， ∴AG=GD=3， ∴， ∵， ∴， ∴DE=， ∴AE=AD+DE= 【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键． 20．（2025·上海徐汇·一模）如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线分线段成比例性质可得，再由可得，从而得出，再证，可得，再由平行线的判定即可得出结论； （2）由得出，可得出，再由可得．进而可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 又， ． 21．（2025·上海黄浦·月考）如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，．    (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边对等角，得，由平行，得，进而，于是； （2）由，得，可证得，进而证得，于是，可证，从而，得． 【详解】（1）（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质；运用相似三角形得到比例线段是解题的关键． 22．（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先证明，得到，，又因为，所以，然后证明，得到，即可得证； （2）延长、交于点，由已知条件得，又，所以，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，，， ， ，， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即； （2）解：延长、交于点，如图： ，，由三角形内角和可得， ， 又， ， 在与中，，， ， ， 即． 23．（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）作交边于点 ，    由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 24．（2020·上海杨浦·一模）如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点．    (1)如果点为边的中点，求的正切值； (2)当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围； (3)联结，如果与相似，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或 【分析】（1）过点作于．解直角三角形求出， 即可解决问题； （2）如图2中，过点作，延长交于，直线交于，交的延长线于．根据全等三角形的平时和性质证明，根据相似三角形的性质可得，即，可得结论； （3）利用相似三角形的性质，可得或，由此构建方程求出，当点在下方时，同法可求． 【详解】（1）如图1中，过点作于． ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ （2）如图2中，过点作，延长交于，直线交于，交的延长线于． ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． （3）如图3中，连接，作于． ∵， ∴ ∵与相似 ∴与相似 ∴或 ∴或 整理得，或 解得，或（舍弃） 或（舍弃） ∴或 当点在下方时，同法可得， 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 25．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． (1)求的长； (2)当点是的重心时，求的值： (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)为或 【分析】（1）过点、作的垂线，垂足分别为、，通过解直角三角形求出、，利用勾股定理求出，即可解答； （2）连接并延长交于点，根据题意得到是的垂直平分线，证明，列出比例式即可解答； （3）若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况：当时，证明，求出，即可解答；当时，证明，求得，，过作，垂足为，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， ，，， ，， 点是边的中点， ， 在中，，， ， ， ， 在中，； （2）解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 点是的三条中线的交点， 是的中线， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况： 当时，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图： ， ， ， ， ， ， 即， ，， 过作，垂足为， ， ， ， ， ； 综上，为或． 【点睛】本题考查三角形的综合运用，主要考查勾股定理、重心的性质、解直角三角形、垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习：《相似三角形》过关检测试卷 一、单选题 1．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）关于向量，下列表述正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果与方向相反，则 C． D．如果，则 3．（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C．D． 4．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，且相交于点F，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，点E在边上，射线交延长线于点F，若，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·上海宝山·一模）已知，那么的值是 ． 8．（2025·上海虹口·一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 9．（2025·上海浦东新·模拟）已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是 ． 10．（2025·上海虹口·一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 11．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为 ． 12．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，，，与交于点，如果，那么的长等于 ． 13．（24-25九年级上·上海嘉定·模拟）如图，在中，点是的中点．记，用含的式子表示向量 ． 14．（2025·上海普陀·模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ． 15．（2025·上海浦东新·一模）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DEAB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF= ． 16．（2025·上海徐汇·模拟）如图，在中，点分别在边上， ，如果和四边形的面积相等，，那么 的长是 ． 17．（2025·上海长宁·月考）如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于 ． 18．（2025·上海长宁·月考）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于 ． 三、解答题 19．（2025·上海黄浦·月考）如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点． （1）如果，，用、表示向量； （2）当，，时，求的长． 20．（2025·上海徐汇·一模）如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 21．（2025·上海黄浦·月考）如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，．    (1)求证：； (2)当时，求证：． 22．（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 23．（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 24．（2020·上海杨浦·一模）如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点．    (1)如果点为边的中点，求的正切值； (2)当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围； (3)联结，如果与相似，求线段的长． 25．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． (1)求的长； (2)当点是的重心时，求的值： (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $