第20章二次根式高频考点分类复习（10大考点+54题训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册同步培优讲义

该初中数学讲义以二次根式10个高频考点为核心构建知识体系，从基础的有意义条件、化简到综合的混合运算、化简求值，通过知识框架图呈现各考点内在逻辑，突出最简二次根式、同类二次根式等重难点的递进关系。 讲义亮点在于分层练习设计与真题融入，基础题夯实运算能力，综合题（如考点10阅读材料题）培养推理意识与创新意识，含徐汇、杨浦等区期中真题。方法指导如根号外因式移到根号内技巧，助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准教学。

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义 第20章二次根式高频考点分类复习 考点01：二次根式有意义的条件 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 2. 二次根式有意义的条件是：__________． 3．若在实数范围内有意义，则满足的条件为（    ） A． B． C．且 D． 4. 当实数______时，有意义． 考点02：化简二次根式 5. 化简：_______． 6. 化简：_____________． 7. 化简 得（　　） A. B. C. D. 8. 化简：＝______________． 9. 化简：（其中）______． 10. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）将根号外的因式移到根号内得______． 11. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）若，则______． 12. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 考点03：由二次根式的性质求参数范围 13. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）等式成立的条件是________． 14.等式成立的条件是 ． 15.式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 16．若，则的值为 ． 考点04：最简二次根式与同类二次根式 17. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）在下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 18. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 19. 下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 20. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）根式，，，中，与是同类二次根式的有（ ）个 A B. C. D. 21. 下列根式中，能与合并的二次根式为（ ） A. B. C. D. 22. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 考点05：分母有理化 23. 的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 24. （2024-25嘉定区新城实验中学八年级上期中）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 25. 分母有理化：______． 26. 的倒数_________. 27. 把式子分母有理化过程中，错误的是（ ） A. B. C. D. 28. =（    ） A．9 B． C． D． 29.观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 考点06：解不等式 30. 不等式的解集为：________． 31. 不等式的解集是____________． 32 不等式的解集是 ___________． 考点07：二次根式的四则运算 33. 计算：__________. 34. 计算：_________． 35. 计算：______． 36. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 37 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 38. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）计算：_____________． 39. 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 考点08：二次根式的混合运算 40. 计算：． 41. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）计算：． 42. 计算：． 43. 计算：． 44. 计算：． 45. 计算：． 46. 计算：． 考点09：化简求值 47. 已知，化简____________________． 48. 已知，，那么的值是______． 49. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）已知，求的值． 50. （2024-25学年建平中学西校八年级上期中）先化简，后求值：，其中，． 51. 已知：，，求：的值． 考点10：综合提升 52. 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， （1）填空：______，______； （2）化简求值． 53. 阅读材料并解决问题： 小潘在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将两式相加可得，两边平方可得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： （1）已知，则的值为______； （2）解方程． 54．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义 第20章二次根式高频考点分类复习 考点01：二次根式有意义的条件 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义条件求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 2. 二次根式有意义的条件是：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，根据二次根式的被开放数为非负数可得，计算即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 3．若在实数范围内有意义，则满足的条件为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数；分式有意义的条件是分式的分母不能为0．据此求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ，， ，且， 故选：C． 4. 当实数______时，有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意得，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：要使有意义，则， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 考点02：化简二次根式 5. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，逆用二次根式的乘法，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6. 化简：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7. 化简 得（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：根据，可得： ， 故选：C． 8. 化简：＝______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质，利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 9. 化简：（其中）______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 10. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）将根号外的因式移到根号内得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 11. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴要使成立，则需满足，即， ∴， ∴； 故答案为3． 12. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可． 【详解】解：，运算正确，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴，运算正确，故B不符合题意， ，运算正确，故C不符合题意； 当时，不成立，故D符合题意； 故选：D． 考点03：由二次根式的性质求参数范围 13. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）等式成立的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键． 利用二次根式的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵， 要使有意义， 则， 解得：， 故答案为：． 14.等式成立的条件是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：由题意，等式成立的条件是， 解得， 故答案为：． 15.式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法成立的条件：被开方数非负；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； 故选：B． 16．若，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 考点04：最简二次根式与同类二次根式 17. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）在下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键；因此此题可根据“被开方数不含有开得尽方的数及分母”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故符合题意； 故选D． 18. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A. 和 是同类二次根式，故该选项符合题意； B. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D. 和，不同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 19. 下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 20. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）根式，，，中，与是同类二次根式的有（ ）个 A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴与是同类二次根式为，共个， 故选：． 21. 下列根式中，能与合并的二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的识别，化简二次根式，先把对应二次根式化为最简二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、与是同类二次根式，能合并，符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：C． 22. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义：将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先利用二次根式化简各数，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与的被开方数相同，所以两数是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； C．与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式，故本选项符合题意； D．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 考点05：分母有理化 23. 的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 24. （2024-25嘉定区新城实验中学八年级上期中）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式及有理化因式的定义逐个判断即可． 【详解】解： 的有理化因式是，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 25. 分母有理化：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 26. 的倒数_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出的倒数，然后分母有理化即可. 【详解】的倒数为= 所以答案为 【点睛】本题主要考查了二次根式中分母有理化，熟练掌握分母有理化的步骤和方法是关键. 27. 把式子分母有理化过程中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意；   故选：C ． 28. =（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的运算，先进行分母有理化，再进行二次根式的混合运算即可求出答案． 【详解】解：原式 故选：C． 29.观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的大小比较和计算． （1）用平方差公式进行分母有理化； （2）先分子有理化再比较； （3）先分母有理化再计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 考点06：解不等式 30. 不等式的解集为：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，涉及了分母有理化，由题意得，即可求解； 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 31. 不等式的解集是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，严格遵循解不等式的基本步骤是解本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．通过移项、合并同类项、系数化为1，再根据人次根式分母有理化化简即可求出不等式的解集． 【详解】解： ，即 故答案为：． 32 不等式的解集是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可得． 【详解】解：， 移项得：， 合并得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 考点07：二次根式的四则运算 33. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【详解】将二次根式化为最简得 原式= = 34. 计算：_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法计算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根的化简,熟练掌握计算法则是解题关键. 35. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解 ． 故答案为：． 36. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化的步骤即可解答． 【详解】解：∵与不能合并， ∴错误， ∴故项不符合题意； ∵， ∴正确， 故项符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化的步骤，掌握对应法则是解题的关键． 37 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解判断． 【详解】A. 不能计算，故错误； B. ，正确； C. ，故错误 D. ，故错误 故选B． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 38. （2024-25学年徐汇区南洋模范中学八年级上期中）计算：_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 39.对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 考点08：二次根式的混合运算 40. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握分母有理化，二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解： ． （1）； 解： ． 41. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简，将分母有理化，然后合并同类二次根式得到答案． 【详解】解： ． 42. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则，正确进行计算是解题的关键；依次化简前面三个二次根式，最后一个进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 43. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质、零指数幂进行计算，再合并即可． 【详解】解： 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 44. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】系数先除后乘，被开方数也是按这个顺序运算，把除法化为乘法求出最后结果． 【详解】解：原式＝12a÷3b2 ＝ ＝ ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简，掌握计算时先乘除，后化简，运算顺序是解题关键． 45. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 46. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则以及完全平方公式计算即可． 【详解】解： 考点09：化简求值 47. 已知，化简____________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可 【详解】， 原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键． 48. 已知，，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 49. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）已知，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对a、b分母有理化是解答本题的关键． 50. （2024-25学年建平中学西校八年级上期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 51. 已知：，，求：的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 考点10：综合提升 52. 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， （1）填空：______，______； （2）化简求值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【小问1详解】 ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 ． 53. 阅读材料并解决问题： 小潘在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将两式相加可得，两边平方可得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： （1）已知，则的值为______； （2）解方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，二次根式的混合运算，熟练掌握无理方程的解法，准确计算是解题的关键． （1）根据题目所给方法，可求的值，然后结合，即可求出的值； （2）根据题目所给方法，可求，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵ ， 又， ∴ ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解： ， 又， ∴， 两式相加，得， 两边同时平方，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 54．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $