专题03 实数 二次根式 压轴题（高效培优期中专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题03 实数 二次根式 压轴题 考点01 数的开方小数点移动规律 考点02 新定义题 考点03 材料、规律题 考点04 反证法证明无理数 考点05 折纸问题；用数轴上的点表示无理数的综合应用 考点06 二次根式——材料、规律题综合 考点07 二次根式——最值问题 考点08 二次根式——几何应用 考点01 数的开方小数点移动规律 1．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 2．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 3．探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】(1)①，；②；； (2) 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，实数的运算，利用平方根的含义解方程，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答． （1）①根据表格信息可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，从而可得答案； ②根据①中规律解答即可； （2）把化为，可得，，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：表格中；； ②∵，， ∴； ∵， ∴． （2）解： 移项得：， 是无理数， ，， 解得：，　　 ； ∴或． 考点02 新定义题 4．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 【答案】（1）， （2），， （3） （4） 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 5．阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4 【分析】（1）依照定义进行计算即可； （2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3； （3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算． 【详解】解：（1）由定义可得，，， ． 故答案为：2；． （2）， ，即， 整数的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3． （3），即， 可设，且是自然数， 是符合条件的所有数中的最大数， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：256，4． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键． 6．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，理解题“整数区间”的定义是解题的关键． （1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是． 故答案为：，． （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． ∴的值为2或． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∴、， 两式相减，得，即， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“整数区间”是． 7．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 考点03 材料、规律题 8．阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】(1)移项； (2) (3) 【分析】本题考查了平方根的应用，完全平方公式： （1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，求出的值即可； （3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：和为相邻的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， 移项得：． 故答案为：移项；； （2）解：和为两个相邻整数， 由（1）的结论可知：， ， ． 故答案为：25； （3）解：和为相差4的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， ， ． 9．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 考点04 反证法证明无理数 11．【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互素的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互素的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互素的整数矛盾， ∴是无理数． 12．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾 【分析】仿照题干方法进行证明即可． 【详解】假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：， 所以：，可得：， 所以：， 因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾， 所以：是一个无理数． 【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键． 考点05 折纸问题；用数轴上的点表示无理数的综合应用 13．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得________． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，0.014，1.414 (2)见解析 【分析】本题考查无理数的估算，看懂所给材料是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）画出分割线，拼出新正方形即可． 【详解】（1）解：由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得（保留到0.001），即． 故答案为：，0.014，1.414； （2）解： 14．如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．    (1)点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是_______； (2)若线段的中点为，线段上有一点，，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？ (3)若线段的中点为，线段上有一点，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，则的值为_______． 【答案】(1)， (2)当或时，原点恰为线段的三等分点 (3)的值为或 【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左减右加”即可求得结论； （2）先根据题意求得点M、N在数轴上对应的数，再根据点M、N运动规律求得运动后所对应的数，点O为的三等分点要分两种情形：或进行讨论，分别列方程求解，要注意对结果要进行验证； （3）以M，N，F三点为顶点的三角形是直角三角形，由，只要分两种情形进行讨论：或，运用勾股定理即可构建方程求解． 【详解】（1）解：长方形的长是个单位长度，且点在数轴上表示的数是， 点在数轴上表示的数为， 两点之间的距离为，长方形的长是个单位长度， 点在数轴上表示的数为； 故答案为：，； （2）由题意知，线段的中点为，则表示的数为，线段上有一点，且，则表示的数为． 以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为， 即：，， 原点恰为线段的三等分点， 或且点在线段上，即M、N表示的数异号， ①当时，则有， 解得或， 经检验，不符合题意，舍去，符合题意． ②当时，则有， 解得或， 经检验，不符合题意，舍去，符合题意； 综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点． （3）根据题意，因为M、N、F三点中点的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况： ①当时，点与点重合，此时，解得：； ②当时， ，， ，， ， ， ， ， 解得． ③如图，连接， 是长方形， ， ，或， 综上所述，的值为或．    【点睛】本题为动点问题，考查了实数与数轴上的点的对应关系及分类讨论思想，明确线段之间的数量关系，能够表示出线段长是解题的关键． 15．阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3)，见解析 (4)，见解析 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，掌握数轴上确定表示无理数所在点的位置的方法，是解题的关键． （1）根据图形，利用勾股定理求出大正方形的边长，即可，根据数轴构造无理数的方法，作图即可； （2）由图可知，点到1的距离为，根据两点间的距离即可得出结果； （3）以为圆心，为半径化弧，与数轴的交点到的距离即为，确定点位置，进行比较即可； （4）将的值代入，化简绝对值，然后在数轴上表示出结果即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：，如图，M点表示的数为； （2）由图可知，点到1的距离为， ∴点B表示的数为，点表示的数为：； 故答案为：，； （3）点A表示，点B表示，表示数和的点如图所示： ． （4）由（1），得，， 原式 ． 16．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 (4)数轴见解析， 【分析】（1）由，可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，即可解答； （2）设1个小正方形的面积为1，则5个小正方形的面积为5，即所拼成的大正方形的边长为，进而即可画出裁剪线和所拼得的大正方形； （3）由题意可求出正方形纸片的边长为．设长方形纸片的宽为，则长为，则可列出关于x的方程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为，最后比较即可； （4）由，可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以表示的点为圆心，以为半径画弧，与数轴右侧的交点即为．再画出表示的点，根据数轴的性质比较即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作；    （2）解：如图所示；    （3）解：不能． 理由：由题意可知这个面积为的正方形纸片的边长为， 设面积为的长方形纸片的宽为，则长为， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴长方形纸片的长为． ∵， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （4）解：在数轴上表示数和的点如图，    有数轴可知：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程．利用数形结合的思想是解题关键． 考点06 二次根式——材料、规律题综合 17．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______； (2)计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)22 (3) 【分析】（1）根据题意可以得到与有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法化简题目中的式子，再合并； （3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， ， 故答案为；；． （2）解： ； （3）解：∵， 且， ∴， ∴， 解这个方程组，得， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的有理化因式，分母有理化，二次根式的混合运算顺序和法则，是解答本题的关键． 18．阅读材料：小聪在学习二次根式后，发现含根号的式子可以写成另一个式子的平方，即． 于是，爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：是否也能写成另一个式子的平方呢？经过探索，他联想到老师讲的方程思想，找到了一种把化成平方式的方法： 设，则， ． 整理得． 、可看作一元二次方程的两根． 解方程，得，． 于是有． 参考上述方法，解决下列问题： (1)化简下列根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上： ________，________，_______； (2)化简：①，②； (3)化简． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）类比题中方法列方程组、构建一元二次方程分别求解可得； （2）借助完全平方公式进而开平方求出即可； （3）把要求的代数式设为，然后利用完全平方公式进行计算，用直接开平方法可以求出的值，根据二次根式的性质得到，确定的值．也就求出了代数式的值． 【详解】（1）解：设，则， 整理得， 、可看作一元二次方程的两根． 解方程，得，． 于是有 ， 即； 设，则， ， 整理得， 、可看作一元二次方程的两根． 解方程，得，， 于是有， ， 即， 同理， ； 故答案为：，，； （2）①； ②                                    ； （3）设，则                                                          又∵， ∴． 即 19．阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （2）先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子化简求解即可； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2），， ． ． ． ， ， ， 解得：； （3）， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 20．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 21．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 22．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【答案】(1)①，②； (2)； (3)． 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为： ②由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； （2）解： 由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 考点07 二次根式——最值问题 23．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 24．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料2即可求解； （2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得的值，再根据负指数幂即可求解； （3）根据题意可得，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴的最小值为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵正数a，b满足， ∴ ∵不等式恒成立， ∴ ∴①或② ∴解不等式组①无解，解不等式组②得 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键 25．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 26．阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． 27．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)S的整数部分2019 (3)代数式取得最小值时，x的取值范围是 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为，再根据||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】（1） （2） ， ∴S的整数部分2019； （3）由已知得：，且， 令，则原式， ∵， ∴当时，即，原式，故代数式最小值为6； 当时，即，原式； ∴当时，取得最小值为6， ∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：． 【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点． 考点08 二次根式——几何应用 28．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)（）， 【分析】（1）利用分别计算三条边的长度，然后求和即可获得答案； （2）依据二次根式有意义的条件可得的取值范围，进而化简得到的周长；由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积． 【详解】（1）解：当时，，，， ∴． 故答案为：； （2）根据题意，可得，解得， ∴ ∴ ； ∵为整数，且有最大值， ∴或3或2或1或0或， 当时，三角形三边长分别为，，， ∵， ∴此时不满足三角形三边关系，故， 当时，三角形三边长分别为，，， 满足三角形三边关系， 可设，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三角形三边关系求解． 29．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解； （2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解． 【详解】解：（1）， 所以， 答：的面积是． （2）边上的高， 答：边的高是． 故答案为（1）；（2）． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． 30．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是． 印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数) 根据上述信息解决下列问题： （1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　 （2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．    【答案】（1）；（2） 【分析】(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可； 【详解】(1)p=， ∴三角形的面积是： ； (2) ， ∴， ， ∴， ∴ ， 又， ∴， ∴这个零件平面图的面积是． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数 二次根式 压轴题 考点01 数的开方小数点移动规律 考点02 新定义题 考点03 材料、规律题 考点04 反证法证明无理数 考点05 折纸问题；用数轴上的点表示无理数的综合应用 考点06 二次根式——材料、规律题综合 考点07 二次根式——最值问题 考点08 二次根式——几何应用 考点01 数的开方小数点移动规律 1．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 2．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 3．探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 考点02 新定义题 4．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 5．阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 6．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 7．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 考点03 材料、规律题 8．阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 9．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 考点04 反证法证明无理数 11．【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互素的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 12．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 考点05 折纸问题；用数轴上的点表示无理数的综合应用 13．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得________． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 14．如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．    (1)点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是_______； (2)若线段的中点为，线段上有一点，，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？ (3)若线段的中点为，线段上有一点，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，则的值为_______． 15．阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 16．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    考点06 二次根式——材料、规律题综合 17．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______； (2)计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 18．阅读材料：小聪在学习二次根式后，发现含根号的式子可以写成另一个式子的平方，即． 于是，爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：是否也能写成另一个式子的平方呢？经过探索，他联想到老师讲的方程思想，找到了一种把化成平方式的方法： 设，则， ． 整理得． 、可看作一元二次方程的两根． 解方程，得，． 于是有． 参考上述方法，解决下列问题： (1)化简下列根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上： ________，________，_______； (2)化简：①，②； (3)化简． 19．阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 20．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 21．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 22．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 考点07 二次根式——最值问题 23．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 24．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 25．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 26．阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 27．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 考点08 二次根式——几何应用 28．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 29．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 30．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是． 印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数) 根据上述信息解决下列问题： （1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　 （2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．    2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $