精品解析：四川省眉山市2025-2026学年高二上学期12月期中联考数学试题

2024级高二年级期中联考 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，共有（ ）种取法. A. 8 B. 7 C. 12 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由分类加法计数原理计算． 【详解】任取1本可分三类：第一类取的是语文书，第二类取的是数学书，第三类取的是物理书， 由此可得取法为． 故选：A． 2. 已知今天是星期三，则经过天后是（ ） A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期日 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用二项式定理即可求解. 【详解】由， 由于能被7整除， 所以除以7余，故经过天后是是星期六； 故选：C 3. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得所求值． 【详解】解：的导数为， 可得在点处的切线的斜率为， 由切线与直线垂直，可得， 解得， 故选：． 4. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，已知甲不是第1名，乙既不是第1名也不是第6名，则这6人的名次排列可能有（ ）种不同的情况 A. 348 B. 356 C. 368 D. 384 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊元素特殊位置法即可求出结果. 【详解】第一步先排第1名，第1名可以是丙、丁、戊、己中的一位，共有种情况； 第二步排乙，可以选择第2、3、4、5名，共有种情况； 第三步排其他人，相当于4个人全排列，共有种情况； 所以共有种情况； 故选：D. 5. 在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几行如下图，若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由杨辉三角的性质知，第n行的数对应的是展开式的二项式系数，进而根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】由杨辉三角的性质知，第n行的数对应的是展开式的二项式系数， 因为第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2， 所以，即，解得. 故选：C. 6. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的定义域和的单调性判断即可. 【详解】由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D， 设，则， 所以当时，；当时，，即， 所以当时，，可排除A；当，，可排除A， 综上，C为正确选项. 故选：C 7. 已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值. 【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列， ，则， ， ， 由得：，解得：，又，. 故选：B. 8. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，设出切点坐标，利用导数几何意义建立斜率方程，利用韦达定理化简计算即可. 【详解】由题意得，过点作曲线的两条切线， 设切点坐标为，则，即， 由于，故，， 由题意可知，为的两个解，则，， 故. 故选：B 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知函数，.下列结论正确的是（ ） A. 函数不存在最大值，也不存在最小值 B. 函数存在极大值和极小值 C. 函数有且只有1个零点 D. 函数的极小值就是的最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，作出图形，求出函数的最小值，结合函数零点、极值的概念依次判断选项即可. 【详解】，则， 令，令或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 且，，如图， 所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值， 极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点0. 故选：BCD. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算. 【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确； B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确； C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确； D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知是数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：根据递推公式，求得以及，结合等比数列的定义，即可判断；对B：构造等比数列即可判断；对C：根据B中所得，结合累加法即可求得；对D：根据C中所求，直接求解即可. 【详解】对A：因为，，， 所以，， 因此，，， 而，，所以数列不是等比数列，故A错误； 对B：因为，所以， 而，，因此数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对C：由选项B知：数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，而，， 所以 ，故C正确； 对D：由选项C知：， 因此，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据递推公式，构造等比数列，进而求得，从而解决问题. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 的展开式中系数最大的项是第__________项. 【答案】10 【解析】 【分析】设系数最大的项是第项，由展开式通项公式列不等式组即可求解. 【详解】展开式的通项为， 由 得，因为，所以， 故系数最大的项是第10项. 故答案为：10 13. 设数列的前n项和满足，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，两本同除以，可构造是等差数列，由此可求出 ，再利用，即可求得 【详解】由，得 是以为首相，1为公差的等差数列， ， ， 当 时，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题. 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为的导函数为，故考虑构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，分别在条件下化简不等式，并结合函数的单调性解不等式可得结论. 【详解】构造函数，则， 所以函数在上为增函数， 且. ①当时，由可得， 即， 即，可得，解得，此时； ②当时，由可得， 即. 即，可得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下： （1）根据导数不等式的结构构造原函数； （2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性； （3）将所求不等式变形为或（偶函数）； （4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解. 四．解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77） 15. 在二项式的展开式中，其展开式中各二项式系数和为，求： （1）和展开式的所有项系数之和； （2）展开式中的有理项． 【答案】（1）；1. （2），，，，． 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为的性质，结合已知条件求出，再利用赋值法计算得出所有系数的和； （2）先根据二项式展开式的通项公式写出通项，再确定有理项，最后计算有理项． 【小问1详解】 二项式系数和为，，解得， 令二项式中，则． ，所有项系数之和为1． 【小问2详解】 二项式的通项为， 若为有理项，则，即， ， ， ， ， ， ． 16. 已知函数，其图象在处的切线过点． （1）求a的值； （2）讨论的单调性； 【答案】（1） （2）在上递增，在上递增； 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求得切线方程，再由切线所过点的坐标求得； （2）在导函数，利用导数得出其分子大于0，从而得，再结合函数定义域得单调区间． 【小问1详解】 因为函数， 所以，， 则， 所以函在处的切线方程为， 又因为切线过点， 所以， 即，解得； 【小问2详解】 由（1）知；，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以， 即当时，，当时，， 所以在上递增，在上递增； 17. 设函数，设，． （1）求数列的通项公式． （2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）计算的值，然后用倒序相加法计算； （2）由裂项相消法求得，注意分类，，时可转化为求函数（数列）的最大值． 【详解】（1）； 时，， ， 相加得， 所以，又， 所以对一切正整数，有； （2）， ，，，即，， 时，， ， ，即， ， ，，所以即时，取得最大值，， 综上，． 【点睛】本题考查对数的运算，考查倒序相加法求和，考查数列不等式恒成立问题．注意一个和满足首尾两项的和与到尾两项等距离的两项的和相等时，可用倒序相加法求和，在函数式的计算中也常用到这种方法．数列不等式恒成立问题，需把不等式化简，能求和的求和，不能求和的用放缩法放缩后求和，然后还可能结合函数的知识求解，但要注意此函数的定义域是正整数集合． 18. 已知函数在点处的切线平行于直线． （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）若是函数的极值点，求证：． 【答案】（1） （2） 由条件知，对其求导得， 函数在上单调递增，且， 所以存在，使，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 于是是函数的极值点， 所以，即得证． 【解析】 【分析】（1）根据等于直线的斜率可得，然后参变分离，将恒成立问题转化为求的最小值问题，利用导数求解即可； （2）求导，利用零点存在性定理判断存在隐零点，利用隐零点方程代入化简，结合隐零点范围即可得证. 【小问1详解】 的定义域为，， 由题知，解得． 由题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，只需， 令，则， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 所以， 于是，因此实数的取值范围是． 【小问2详解】 略 19. 已知等差数列中，，，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）记为数列的前项和，试比较与的大小； （3）任意，，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）当时，，当时，，当时，； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求的通项公式，利用等比数列的定义即可求的通项公式； （2）利用等差数列的通项公式和求和公式求出与关于的表达式，作差后分类讨论得到与的大小关系； （3）先求出，利用错位相减法求得奇数项的和，利用裂项相消求和法求得偶数项的和，进而得到前项的和. 【详解】（1）由题意可得: ，解得:， 故 因为数列满足，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， （2）由（1）知：， ，所以 所以， 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，； （3）当为奇数时，， 当为偶数时， 对于任意正整数，有 ①， ②， ①②得 ， 所以， 以及 ， 因此， 所以，数列的前项和为. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法 ①倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法 ②错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求； ③裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； ④分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减； ⑤并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二年级期中联考 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，共有（ ）种取法. A. 8 B. 7 C. 12 D. 5 2. 已知今天是星期三，则经过天后是（ ） A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期日 3. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，已知甲不是第1名，乙既不是第1名也不是第6名，则这6人的名次排列可能有（ ）种不同的情况 A. 348 B. 356 C. 368 D. 384 5. 在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几行如下图，若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 6. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知函数，.下列结论正确的是（ ） A. 函数不存在最大值，也不存在最小值 B. 函数存在极大值和极小值 C. 函数有且只有1个零点 D. 函数的极小值就是的最小值 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 11. 已知是数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 的展开式中系数最大的项是第__________项. 13. 设数列的前n项和满足，且，则_____． 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，则不等式的解集为______． 四．解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77） 15. 在二项式的展开式中，其展开式中各二项式系数和为，求： （1）和展开式的所有项系数之和； （2）展开式中的有理项． 16. 已知函数，其图象在处的切线过点． （1）求a的值； （2）讨论的单调性； 17. 设函数，设，． （1）求数列的通项公式． （2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围． 18. 已知函数在点处的切线平行于直线． （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）若是函数的极值点，求证：． 19. 已知等差数列中，，，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）记为数列的前项和，试比较与的大小； （3）任意，，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $