期末压轴题特训考向一 与一元二次方程有关的代数式求值问题&考向二 一元二次方程的特殊根-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

典例3 (1) 1 3. (2) 画树状图如图所示. 由树状图,可知共有6种等可能的结 果,其中甲、乙坐同侧共排的结果有 2种. ∴ 甲、乙 坐 同 侧 共 排 的 概 率 为 2 6= 1 3. (典例3图) [变式] 38 解析:画树状图如图所 示.由树状图,可知共有8种等可能的 结果,其中这3只小鸡中恰有1只为 母鸡的结果有3种.∴ 这3只小鸡中 恰有1只为母鸡的概率是38. 典例4 (1) ∵ Rt△ABC 的两直角 边长之比为2∶3, ∴ 设b=2k,a=3k(k>0). 由勾股定理,得a2+b2=c2, ∴ c= 13k. ∴ 针尖落在四个直角三角形区域的 概率是 4×12×2k×3k 13k2 = 12 13. (2) ∵ 正方形EFMN 的边长为8,即 c=8,Rt△ABC的周长为18, ∴ a+b+c=18. ∴ a+b=10. ∴ Rt△ABC 的 面 积 = 12ab= 1 4 [(a+b)2-(a2+b2)]=14 [(a+ b)2-c2]=9. [变式] 90° 典例5 25 解析:∵ 2a x-2-1= x x-2 ,∴ 2a-(x-2)=x.∴ x=a+ 1.∵ 分式方程有正整数解,∴ a+ 1>0,且a+1≠2.∴ a>-1,且a≠ 1.∴ a=0或2.∴ 使关于x 的分式 方程有正整数解的a 的值有两个. ∴ 使关于x 的分式方程 2ax-2-1= x x-2 有正整数解的概率为2 5. [变式] 13 解析:画树状图如图所 示.由图可知,共有6种等可能的结 果,其中满足一次函数y=kx+b的 图像经过第二、三、四象限的结果有 2种,则该一次函数的图像经过第二、 三、四象限的概率为2 6= 1 3. ［综合素能提升］ 1. D 2. C 3. 1 3 4. 1 3 5. 1 3 解析:画树状图如图所示.由 树状图,可知共有9种等可能的结果, 其中经过两次传球后球又回到站在点 A 处的同学手上的结果有3种.∴ 经 过两次传球后球又回到站在点A 处 的同学手上的概率为3 9= 1 3. (第5题) 6. (1) 1 3. (2) 列表如下: 红 蓝 绿 红 (红,红)(蓝,红)(绿,红) 蓝 (红,蓝)(蓝,蓝)(绿,蓝) 绿 (红,绿)(蓝,绿)(绿,绿) 由表可知,共有9种等可能的结果,其 中可以呈现紫色的结果有2种, ∴ 可以呈现紫色的概率为2 9. 期末压轴题特训 考向一　与一元二次方程 有关的代数式求值问题 1. B 解析:∵ m、n是一元二次方程 x2-x-3=0的两个不相等的实数 根,∴ m+n=1,mn=-3,n2-n- 3=0.∴ n2=n+3.∴ 2n2-mn+ 2m+2021=2n+6+3+2m + 2021=2(m+n)+2030=2032. 2. A 解析:∵ m 是关于x的一元二 次方程x2-3x+a+2=0的一个实 数根,∴ m2-3m+a+2=0.∴ m2- 3m+1=-a-1.∵ (m2-3m+1)· (a+1)=-4,∴ (a+1)2=4.∴ a= 1或-3.当a=1时,原方程为x2- 3x+3=0,此时方程无解;当a=-3 时,原方程为x2-3x-1=0,此时方 程有解.∴ a=-3. 3. 4 解析:由题知,m、n是一元二次 方程x2-4x-3=0的两个实数根, ∴ m+n=4,mn=-3,且m2-4m- 3=0,即m2-4m=3.∴ m2+mn- 3m+n=m2-4m+mn+m+n=3+ (-3)+4=4. 4. 5 解析:∵ a、b是一元二次方程 x2-5x-2=0的两个实数根,∴ a+ b=5,a2-5a-2=0.∴ a2=5a+2. ∴ a3+a2b 5a+2 = a2(a+b) 5a+2 =a+b=5. 5. -1 解析:∵ a 是方程x2- 2024x+1=0的一个根,∴ a2- 2024a=-1,a2+1=2024a.∴ a2- 2025a+a 2+1 2024= (a2-2024a)-a+ a2+1 2024 = (a2 -2024a)-a + 2024a 2024=-1-a+a=-1. 6. ∵ m 是方程x2-3x+1=0的一 个根, ∴ m2-3m+1=0,即m2-3m=-1. ∴ (m-3)2+(m+2)(m-2)=m2- 6m+9+m2-4=2(m2-3m)+ 5=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 7. ∵ m 是方程x2+3x-2022=0的 一个根, ∴ m2+3m-2022=0. ∴ m2+3m=2022. ∴ m3+2m2-2025m +2022= m(m2+3m-2025)-m2+2022= m(2022-2025)-m2 +2022= -3m-m2 +2022= -2022+ 2022=0. 8. 原式=aba+b. ∵ a、b 是方程 x2+x-6=0 的两 个根, ∴ a+b=-1,ab=-6. ∴ 原式=aba+b= -6 -1=6. 9. 原式= 1x+3. 解方程x2+2x-8=0,得x1=-4, x2=2. ∵ 当x=2时,原分式没有意义, ∴ x=-4. 当x=-4时,原式= 1-4+3=-1. 10. 原式= 13(a2+3a). ∵ a是一元二次方程x2+3x-1=0 的实数根, ∴ a2+3a-1=0,即a2+3a=1. ∴ 原式= 13×1= 1 3. 考向二　一元二次方程的 特殊根 1. B 解析:由题意,得42-4(m- 3)=28-4m≥0,∴ m≤7.∵ m 为正 整数,且该方程的根都是负整数, ∴ x = -4± 28-4m2 = -2± 7-m.∴ -2+ 7-m<0, -2- 7-m<0, 解得 m>3,则3<m≤7.又∵ 7-m 是 整数,∴ m 的值为6或7.∴ 符合条 件的所有正整数m 的和为13. 2. 1 3. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 x2-3x+(m+1)=0有两个不相等 的实数根, ∴ b2-4ac=(-3)2-4×1×(m+ 1)=9-4m-4=5-4m>0,解得 m<54. (2) ∵ m<54 ,m 是非负整数, ∴ m=0或1. 当m=0时,原方程可化为x2-3x+ 1=0. 解方程,得x1= 3+5 2 ,x2= 3-5 2 . ∵ 该方程的根不是整数, ∴ m=0不合题意,舍去. 当m=1时,原方程可化为x2-3x+ 2=0. 解方程,得x3=1,x4=2. ∵ 该方程的根是整数, ∴ m=1符合题意. 综上所述,m 的值为1. 4. 设方程的两个根为x1、x2(x1≥ x2),则x1+x2=6-a,x1x2=a. ∴ x1x2+x1+x2=6. ∵ x1、x2 都是整数,(x1+1)(x2+ 1)=7, ∴ x1+1=7, x2+1=1 或 x1+1=-1, x2+1=-7, 解得 x1=6, x2=0 或 x1=-2, x2=-8. ∴ a=0或16. 5. (1) 由题意,得m-3≠0,且b2- 4ac=(-m+4)2-4(m-3)× (-1)>0. ∴ m≠3,且(m-2)2>0. ∴ m 的取值范围是m≠2且m≠3. (2) 由公式法,得x= m-4± (m-2)2 2(m-3) . ∴ x=m-4± (m-2) 2(m-3) . ∴ x1=- 1 m-3 ,x2=1. ∵ 该方程有一个根是负整数,m 为整 数,且m≠2,m≠3, ∴ m-3=1. ∴ m=4. 6. (1) ∵ b2-4ac=(-2)2-4×1× (-3|m|)=4+12|m|, 又∵ |m|≥0, ∴ 4+12|m|>0. ∴ 方程总有两个不相等的实数根. (2) ∵ 方程的两个实数根分别为 α、β, ∴ α+β=2. 又∵ α+2β=5, ∴ β=3. 将β=3代入方程,得9-6-3|m|= 0,解得m=±1. 7. (1) 由题意,得m-1≠0,且b2- 4ac>0. 由m-1≠0,解得m≠1. ∵ b2-4ac=(m-2)2-4(m-1)× (-1)=m2, ∴ m2>0. ∴ m≠0. ∴ m 的取值范围是m≠0且m≠1. (2) 由公式法,得x=- (m-2)±m 2(m-1) . ∴ x1=-1,x2= 1 m-1. ∵ m 是整数,且方程有两个不相等的 整数根,由(1),得m≠0且m≠1, ∴ m=2. 考向三　列一元二次方程 解决实际问题 1. B 2. D 解析:设羊的只数为x,则头数 加只数为2x,只数减头数为0,只数 乘头数为x2,只数除头数为1.根据题 意,得x2+2x+1=100,解得x1=9, x2=-11(不合题意,舍去).∴ 羊的 只数为9. 3. 13 解析:设有x家公司出席了这 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 100 　 考向一　与一元二次方程有关的代数式求值问题 ▶ “答案与解析”见P54 1. 如果m、n是一元二次方程x2-x-3=0的 两个不相等的实数根,那么代数式2n2- mn+2m+2021的值为 ( ) A. 2021 B. 2032 C. 2022 D. 2030 2. 已知m 是关于x的一元二次方程x2-3x+ a+2=0的一个实数根,且满足(m2-3m+ 1)(a+1)=-4,则a的值为 ( ) A. -3 B. 1 C. -3或-1 D. -3或1 3. 若m、n是一元二次方程x2-4x-3=0的两 个 实数根,则 m2+mn-3m+n 的值为 . 4. 若a、b是一元二次方程x2-5x-2=0的两 个实数根,则a 3+a2b 5a+2 的值为 . 5. 若a是方程x2-2024x+1=0的一 个根,则代数式a2-2025a+a 2+1 2024 的值为 . 6. 已知m 是方程x2-3x+1=0的一个根,求 (m-3)2+(m+2)(m-2)的值. 7. 已知m 是方程x2+3x-2022=0的一个根, 求m3+2m2-2025m+2022的值. 8. (2023·西宁)先化简,再求值: aa2-b2- 1 a+b ÷ 1a2-ab,其中a、b是方程x2+x- 6=0的两个根. 9. 先化简,再求值:x-3 x-2÷ x+2- 5x-2 ,其中 x是一元二次方程x2+2x-8=0的解. 10. 已知a是一元二次方程x2+3x- 1=0的一个实数根,求代数式 a-3 3a2-6a÷ a+2- 5a-2 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 期末压轴题特训 101 考向二　一元二次方程的特殊根 ▶ “答案与解析”见P55 1. 已知关于x 的一元二次方程x2+4x+m- 3=0有两个负整数根,则符合条件的所有正 整数m 的和为 ( ) A. 16 B. 13 C. 10 D. 7 2. 若关于x的一元二次方程kx2+(4k-1)x+ 3k-1=0的解都是整数,则正整数k的值为 . 3. 已知关于x的一元二次方程x2-3x+(m+ 1)=0有两个不相等的实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 如果m 是非负整数,且该方程的根是整 数,求m 的值. 4. 已知关于x 的方程x2+(a-6)x+a=0的 两个根都是整数,求a的值. 5. 已知关于x 的一元二次方程(m- 3)x2-(m-4)x-1=0(m 为实数). (1) 若方程有两个不相等的实数根, 求m 的取值范围. (2) 若m 为整数,且该方程有一个根是负整 数,求m 的值. 6. 已知关于x 的一元二次方程x2- 2x-3|m|=0. (1) 求证:方程总有两个不相等的实 数根. (2) 若方程的两个实数根分别为α、β,且α+ 2β=5,求m 的值. 7. 已知关于x 的一元二次方程(m-1)x2+ (m-2)x-1=0(m 为实数). (1) 若方程有两个不相等的实数根,求m 的 取值范围. (2) 若m 是整数,且方程有两个不相等的整 数根,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训