甘肃省兰州部分学校2025-2026学年高二上学期12月阶段性诊断数学试卷

绝密女启用前 2025一2026学年高二年级阶段性诊断 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1数列-1，层号，石…的一个通项公式为 A.(-1)n.2n-1 2n B.(-1).2n-1 C.(-1)n-.2n-1 D.(-1).2n+1 (n+1)2 2.圆(x-2)2+(y-2)2=2与圆x2+y2=1的位置关系是 A.外离 B.相交 C.相切 D.内含 3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ACOBD=O,则PA+PB+P元+Pi= A.20P B.2 PO c.40 D.4 PO 4.已知直线1经过点(3，-2)但不经过原点，且1在：轴上的截距是在y轴上的截距的3倍， 则1的方程为 A.x+3y-1=0 B.x+y-1=0 C.x+3y+3=0 D.3x+y+3=0 5.已知在△A8C中，∠AC8=120,%-号，若点么，B为双曲线B的两个熊点，且点C在E上， 则E的离心率为 A.7 c. 6.已知点P到点F(2,0)的距离与点P到直线x=8的距离之比为2，则1P1的最大值为 A.1 B.3 C.6 D.8 7.已知数列{a}满足a1=1,a2=3,an+2=a。+a+1,若{an}中的第n项为奇数，把该项替换成 (-1)",若第n项为偶数，把该项替换成2n,得到数列{bn},则{bnl的前100项和为 A.1121 B.1123 C.3365 D.3367 8.已知在正方体ABC0-4B,GD,中，·G=4,点P清足=号五D+成+号aC,则 三棱锥D-A,BP的体积为 B.G c.g 号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若{α，b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A.a,26,3c B.a-b,b-c,c-a C.a,a-b,a-2b D.a,a-b,a+b-2c 10.记等差数列{an1的公差为d,前n项和为Sn,已知S,<Sg<S6,则 A.d>0 B.a +ag <0 C.a+ag<O D.ag>√aga10 11.已知实数a,b满足a2+b2-4a-4b+7=0,则 A异+号的最小值为子 B.alal+blbl的最小值为3-2√2 c0+拾的最小值为21a 14 D.当m∈(0，+∞)时，W(a-2m)2+(b+m)2+|m+11的最小值为√3-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知点P(1,0,1)在平面x内，的一个法向量为=(-2,3,3)，则点A(-1,0,2)到平 面的距离为 13.在数列{an}中，a1=2,若数列|a,+an+i|是公差为2的等差数列，则as=_ 14.已知点0(0,0)，4(4,2)，B(2,-1),点P在双曲线C聋-分=1上，记△0AP的面积为 S1,△OBP的面积为S2,则S,+S2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知精圈c:号+节=1(a>6>0)的右袋点为R反，0)，离心率为号 2 (1)求C的方程； (2)过点P-受，0且斜率为厄的直线与C交于A,B两点，求△FMB的面积 16.(15分) (1)若{an为等差数列，且a1+a,+a=12,a2+a4+a6=21,求{an}的通项公式； (2)记。，的前n项和为5者4=3，=7，且丹}为等差数列，求6和8 17.(15分) 如图，菱形ABB,A1与矩形AA,CC所在的平面垂直，A:=2,AC=D,LAM,B,=,D为 AA1的中点 (1)证明：AC1⊥平面B,CD; (2)求直线BC1与平面A,B,C所成角的正弦值 D B 18.(17分) 如图，已知圆O:x2+)2=4,P是直线y=4上的动点，过点P作圆0的两条切线，切点分别 为A,B. (I)若PA⊥x轴，求四边形OAPB的面积； (2)若直线PA,PB与x轴分别交于点M(,0),N(n,0),证明：9m2+9n2+30mn为定值； (3)求线段AB的中点Q的轨迹方程， 19.(17分) 已知点P,(6,6)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，C的焦点为F. (1)点A,B在C上，且满足F+F店=FP,求1FAI+IFB1. (2)设k为常数，按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…):过点Pn1作斜率为k的直线 与C交于点Qn-1(异于点P-),令P.为Qn-1关于y轴的对称点，记P,的坐标为 (xn,yn）,且x1=1=6. （i)若k=-1,求2y2 （i)若k=石，设点P,到y轴的距离为a,求数列a,的前n项和S 数学试题第4页（共4页） 2025一2026学年高二年级阶段性诊断 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.c 7.D 8.A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.AD 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 子 13.16 14.22 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解析(1)设C的半焦距为c(c>0).由C的右焦点为F(2,0),得c=2.… (2分) 由C的离心率为9，得：=2_三 (4分) a a ,所以a=2. 所以b2=a2-62=4-2=2,… (6分) 所以C的方程为等+苦-1 (7分) (2)设A(x1,y1）,B(x2,y2). 由题可知直线的方程为y=(:+》,即=- (8分) 与学+号=1联立，得5列-2y-7=0, 7 解得y=-1,水=了… (10分) 所以5o=子1P1%-为=分×2x号-9，即△MB的面积为号 5 …(13分) 16.解析（1)设{an}的公差为d. r3a1+6d=12, 「a1=-2, 由题意知{ 解得 ………（4分） 3a1+9d=21,【d=3, 所以an=a1+（n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5. (6分) (②)设[贷}的公差为， 则=+(m-1)k=m-k+3,即S。=kn2-(k-3)n.…(8分） 当n≥2时，a。=Sn-S。-1=m2-(k-3)n-k(n-1)2+(k-3)(n-1)=2kn-2k+3,…(11分) 所以a3=6k-2k+3=7,得k=1, 所以an=2n+1,a1=3也符合该式. ................ (13分) 所以Sn=n2+2n.… (15分)》 17.解析方法一：(I)连接AB,因为侧面ABB,A是菱形，LAM,B,=号， 所以△AAB,是正三角形，因为D为AA的中点，所以B,D⊥AA1,…（1分) 因为平面AA,C,C⊥平面ABB,A1,平面AA1C,C∩平面ABB,A,=AA1, 所以B,D⊥平面AA1CC.……(3分) 因为AC,C平面AA,C,C,所以B,D⊥AC1.… (4分) 因为在矩形AA,C,C中，AA,=2,AC=√2，所以tan∠ADC=tan∠A,C,A=√2， 所以∠ADC=LAC,A,因为LC,AM,+LA,CA=受，所以LC,AM,+LADC=受， 所以AC1⊥CD, (6分) 因为B,D∩CD=D,所以AC1⊥平面BCD.… (7分) (2)以D为坐标原点，DB,DA,所在直线分别为x,y轴，过点D且与平面AB3,A1垂直的直线为z轴，建立空间 直角坐标系，如图，…… …(8分) 则B1(5,0,0),A(0,1,0),C,(0,1,2),C(0,-1,2),B(3,-2,0), 所以BC=(-5,3,2),A1B=(5,-1,0),A,C=(0,-2,2).… (10分) 设平面A,B,C的法向量为n=(x,y,z),则 n·A,B=0,r3x-y=0, 即 n.A,t=0,【-2y+2z=0, 取x=1,得n=(1,5,6).… …（13分) 设直线BC,与平面AB,C所成的角为0， 则sin0= n·BCl 45 -2105 1nBC1√10×√1435 …（15分) 方法二：(1)连接AB,因为侧面ABB,A是菱形，LAM,B,=牙，所以△A,B,是正三角形， 因为D为AA,的中点，所以B,D⊥AA1,以D为坐标原点，DB,DA,所在直线分别为x,y轴，过点D且与平面 ABB,A,垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图.… …（2分) 因为平面AA,C,C⊥平面ABB,A1,所以z轴在平面AA,C,C内， 所以D(0,0,0),A(0,-1,0),C,(0,1,2),B,(3,0,0),C(0,-1,N2), 所以D元=(0，-1,2)，AC=(0,2,2),DB=(5,0,0),…(4分) 所以AC.D元=0-2+2=0，AC.DB=0+0+0=0, 所以AC1⊥DC,AC1⊥DB1,… (6分) 因为B,D∩CD=D,所以AC,⊥平面B,CD.… (7分) (2)同方法一. 18.解析(1)当PA1x轴时，根据对称性，不妨设点A在B的右侧，则P(2,4),A(2,0),…(1分) 所以|AP川=4，|OA|=2,且OA⊥AP,…(3分) 连接0P,则Sa题50n=2S6P=2x分×10A1×AP=2×分×2x4=8. (5分) (2)设P(2t,4),因为M(m,0), 所以直线PM的方程为4(x-m)=(2t-m)y,即4x-(21my-4m=0, V16+(2-i=2, 因为直线PM与圆0相切，所以I4ml (7分) 整理得3m2+4tm-4t2-16=0,同理有3n+4n-42-16=0, 所以m,n是方程3x2+4÷4r+16=0的两个实根， 3,mn=-4+16 所以m+n=-4匙m (9分) 31 所以9m2+9n2+30mn=9(m+n)2+12mn=16,2-4(4u2+16)=-64,为定值.…（11分) (3)由题知OA⊥AP,OB⊥BP, 所以点A,B在以0P为直径的圆上，由O(0,0),P(2,4), 得该圆的方程为(x-t)2+(y-2)2=2+4, 与x2+y2=4相减，得直线AB的方程为优+2y-2=0.…(14分) 取t=0,得y=1,所以直线AB过定点R(0,1), 又因为Q为AB的中点，所以OQ⊥AB,即OQ⊥RQ, 所以点Q在以0R为直径的圆上，该圆的方餐为2+(-)广=名 …（16分) 又AB不可能是圆的直径，所以点Q不可能与原点重合， 所以点Q的轨迹方程为+(y-)=上(y≠0)，即2+y-y=0(y≠0). …（17分) 19.解析（1)因为点P(6,6)在C上，所以62=2p×6, 所以p=3,c的方程为=6y,(0,)} (2分) 设A(xA,ya),B(xB,yB): 由+应=可，得(++y。-3)=(6,2）, 所以⅓+=3+号=只. 所以1FA1+IFB1=4+yB+3= 2 (5分) (2)(i)过点P,且斜率为-1的直线为y=-x+12. (6分) =-x+12, 「x=6, rx=-12, 由 解得 或 x=6y, y=6,【y=24, 所以Q1(-12,24), (8分) 因为P2与Q,关于y轴对称，所以P2(12,24), 即x2=12,y2=24.… (9分) (i)因为Pn(xyn),所以当n≥2时，有Pn-1(x-1y-1）,Q-1（-y) 直线PQ,的方程为y=石(x+x,)+, =哈合*)+ 由 得x2-x-x,-6yn=0, (10分) x2=6y, 则xn-1-x。=1,即xn-x。-1白一1，即{xn}是首项为6，公差为-1的等差数列， 所以xn=6-（n-1)=7-n… (12分) 当1≤n≤7时，xn≥0，an=|xn|=xn, 则Sn=a1+a2+…+an=名1+为2+…+x。 =《6+7-n）=3n22;a 2 (14分) 当n≥8时，xn<0,an=lx。1=-xn, 则Sn=S7+ag+g+…+an=S,-xg-x)-…-xn =21+1+2+…+(n-7)=21+1+n-7)(n-7）=-13n+84 …(16分) 2 2 13n,2,1≤n≤7， 2 故Sn= （注：把n=7归入下面的式子也正确)…（17分) n2-13n+84 2 n≥8.