期末复习卷-2025-2026学年苏科版(2012)数学九年级上册

期末复习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题（每题3分，共30分） 1．小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从中任取一颗．袋子里有三种颜色的糖果，它们的大小、形状、质量等都相同．如果袋中所有糖果数量统计如下图所示，那么小明取到哪种颜色糖果的可能性最大（    ） A．绿色 B．红色 C．黄色 D．都相同 2．如果关于x的一元二次方程 的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线上两点，点在上，点在外，则直线与的关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 4．下列说法正确的是（   ） A．为了解一批护眼灯的使用寿命，采用全面调查 B．“任意一个多边形的外角和都是”是必然事件 C．丢一枚硬币正面向上的概率是，若丢两次硬币则一定有一次正面向上 D．某射击队准备从甲、乙两名选手中选取一名成绩更稳定的参加比赛，在平均成绩相同的情况下，甲、乙两名射击选手的方差分别是和，则应选择甲选手参加比赛 5．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 6．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 7．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，若点为的中点，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 8．如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（    ） A． B． C． D． 9．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米 10．如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为 ． 12．已知，是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为 ． 13．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．某选手上述三项成绩分别为90分，92分，94分，这名选手的综合成绩为 分． 14．如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 15．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 16．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ． 三、解答题（共72分） 17．解下列一元二次方程 (1) (2) 18．“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”……河南众多旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面印有河南5A级景区的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．    (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率是___________； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同时，甲胜出，否则乙胜出．你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 19．如图，是的直径，弦于点，且为中点，． (1)求的半径的长； (2)过作的垂线段交延长线于，求的长． 20．深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 21．小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 22．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，求的半径； (3)求证：． 23．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 八年级 九年级 平均数 中位数 86 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______ ，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 24．点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“宽度”． 如图，半径为，与轴交于点，点． (1)在点视角下，的“宽度”为_______，线段的“宽度”为_______； (2)点为轴上一点．若在点视角下，线段的“宽度”为，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末复习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B A A A A A C 1．C 【分析】本题考查随机事件的概率，把握“某一事件发生的概率该事件包含的基本事件数总基本事件数”是解题关键． 先利用概率公式分别求出小明取到绿色的概率为，取到红色的概率为，取到黄色的概率为，再比较大小即可． 【详解】解：据图可知，共有颗糖果，其中绿色有颗，红色有颗，黄色有颗， 小明取到绿色的概率为，取到红色的概率为，取到黄色的概率为， 小明取到黄色的可能性最大． 故选：． 2．B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由，，求出p 和 q，即可写出这个一元二次方程．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为 , ， ∴ ，得 ， ， 得 ， ∴这个一元二次方程为 ， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．点在圆上，点在圆外，直线经过和，因此直线与圆至少有一个交点，可能相切或相交． 【详解】解：点在上，直线与至少有一个公共点． 点在外，直线上存在点在圆外． 直线可能与相切（仅有一个公共点）或相交（有两个公共点，包括）． 直线与的关系是相交或相切． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查统计与概率的基本概念，包括调查方式、必然事件、概率意义和方差应用．选项A中全面调查不适用于破坏性测试；选项B根据多边形外角和定理可判断；选项C误解概率意义；选项D中方差小表示更稳定，从而可判断，据此作答即可． 【详解】解：对于A、全面调查适用于范围小或非破坏性测试，护眼灯使用寿命测试具有破坏性，宜采用抽样调查，A错误； 对于B、任意一个多边形的外角和都是，故B正确； 对于C、丢一枚硬币正面向上的概率是，若丢两次硬币可能全部反面，C错误； 对于D、方差越小成绩越稳定，乙方差1.2小于甲方差1.7，所以乙更稳定，应选乙，故D错误； 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选A． 6．A 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了扇形面积的求解，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点． 连接，可得为等边三角形，然后利用勾股定理求解，再由求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∵点为的中点，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得（舍负）， ∴， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得：白色长方形的长为：， 三个白色长方形的宽之和为：， 三个白色长方形的面积为：， ∴， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查圆中的垂径定理与勾股定理的应用，掌握垂径定理常考模型是解题关键． 根据题意，卡车应在最中间通行，其高度要比距离隧道中线1.2米处的洞壁低，用勾股定理计算出高度即可． 【详解】解：如图，卡车应在最中间通行， ∵车宽为2.4米， ∴米， 由题意可知，半圆形的半径米， 在直角中，， ∴米， ∵下半部分为矩形， ∴米， ∴米， ∴卡车的外形高必须低于4.1米． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 11． 【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列举法求概率的方法． 【详解】解：所有可能的抽取组合有6种：{虎,龙}、{虎,蛇}、{虎,马}、{龙,蛇}、{龙,马}、{蛇,马}，其中抽到“龙”和“马”的结果有1种，因此概率为， 故答案为：. 12． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得： ，； ∵ ，即 ，解得 ； ∴， 故答案为： 13． 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据各项成绩及其权重，使用加权平均数公式求解． 【详解】解：综合成绩 （分）． 故答案为：． 14．8 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，由垂径定理求出AD的长是解题的关键．根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的半径为10， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 15．0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系． 根据一元二次方程根的定义，根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． ∴． 故答案为 0． 16．12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确解一元二次方程的方法． （）利用因式分解法解方程即可； （）先移项，再提取公因式转化为两个一次因式的乘积形式，依据因式乘积为的性质求解． 【详解】（1）解： ， 则或， 解得：，． （2） 移项得：， 提取公因式：， 即， 则或， 解得：，． 18．(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查“古典概型求单次抽取的概率”“列表法或画树状图法求概率”，理解抽取后再放回洗匀，属于放回型，正确列出表格或画出树状图是解题关键． （1）单次抽取，共有4种等可能的结果，根据公式求解即可； （2）放回型两次抽取，列出表格或树状图，分别求出甲胜和乙胜的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知共有4种等可能的结果，故随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“殷墟”的概率为； （2）解：分别以卡片A，B，C，D代指卡片“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中抽取的卡片正面相同的情况有4种， ∴甲胜出的概率为， ∴乙胜出的概率为， ∵甲胜出的概率与乙胜出的概率不相等， ∴游戏不公平． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了圆的基本性质，特别是垂径定理及其推论，同时结合直角三角形的勾股定理，直角三角形中所对边是斜边的一半；解题的关键是灵活运用垂径定理得到弦心距与弦长的关系，并利用勾股定理建立方程求半径；对于第二问，通过直角三角形中所对边是斜边的一半的灵活应用转化条件，再结合勾股定理求解． （1）连接，由垂径定理可得，由为中点得，在中利用勾股定理列出关于半径的方程求解； （2）由，求得，，相互垂直平分，可得，，等边对等角得出，，在中，利用所对边是斜边的一半，求得的长． 【详解】（1）解：连接， ∵直径 ∴ 又∵为中点 ∴ 在中， 即 解得或（舍） （2）解：连接， 由（1）得 ∵， ∴， ∵为中点，且 ∴ ∴ ∴ 又∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ 20．(1) (2)5元 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意列出方程，再结合“尽可能让顾客得到实惠”确定的值，即可解答； （3）根据题意列出方程，求出的值即可解答； 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个应涨价5元； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽x应为． 21．(1) (2)这个方程的根是是2和4，或和 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用． （1）设方程的两个根是，根据定义可设，再根据根与系数的关系求出答案； （2）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【详解】（1）设方程的两个根为， 一元二次方程是“倍根方程”， 不妨设， ， ， ，， ； （2）设一元二次方程的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， 不妨设， ①当时，即，解得或（舍去）， ， ②当时，即， 解得或（舍去）， 这个方程的根是2和4，或和． 22．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作于，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ， ∴， ， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， 设的半径为， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得，， 即的半径为； （3）证明：作于，连接，如图， 则， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质、等边对等角及勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 23．(1)；88；40 (2)九年级的成绩更好，理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级 (3)500人 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义可得和的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出的值； （2）依据表格中平均数、中位数、众数做出判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数； 八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 由题意可得，故， 故答案为：；88；40； （2）解：九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级； （3）解：（人）， 答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有500人． 24．(1)， (2)或 【分析】（1）作出图形，由点视角下图形的“宽度”定义，直接求解即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：点在点右侧和点在点左侧，按照线段的“宽度”为讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 由定义可知，在点视角下，的“宽度”为； 、， 轴， 在中，，则由勾股定理可得， 由定义可知，在点视角下，线段的“宽度”为； 故答案为：，； （2）解：如图所示： 由（1）知，， 、， 轴， 由题意可知，点关于点的对称点坐标为， 又点为轴上一点，分两种情况： 当点在点右侧时， 若， 则由，，可知，不符合题意； 若， 则由，，可知，不符合题意； 若， 则由，，可知，符合题意； 综上所述，此种情况下，； 当点在点左侧时，，令， 由（1）知，则， ，，且点在点左侧，， ， 在中，，，，则由勾股定理可得 即， ， 解得（，不满足要求，舍去） ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查圆综合，涉及点与圆的位置关系、切线性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，理解题中点视角下图形的“宽度”这个新定义是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $