北京市第五十五中学2025-2026学年高三上学期期中调研数学试卷

北京市第五十五中学2025-2026学年度第一学期 期中调研试卷 高三数学 本试卷共 4 页，共 150 分，调研时长 120 分钟 第一部分（选择题 共 40 分） 1. 选择题：共10小题，每小题4分，共40分.每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的. 1．全集，集合，图中阴影部分表示集合为（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（是虚数单位）的实部与虚部相等，那么b =（ ） A．-2 B．1 C．2 D．4 3．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴 非负半轴重合，则（ ）A． B． C． D． 4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A． B． C． D． 5．已知P为椭圆上的动点，，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，棱长为1的正方体中，为边任意一点，将正方体挖掉三棱锥后，余下部分的体积为（ ）A． B． C． D． 7．等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知某种垃圾的分解率为v，与时间月满足函数关系式其中a，b为非零常数，若经过12个月分解率为，经过24个月分解率为，那么分解率达到，至少需要经过（ ）参考数据： A．36个月 B．40个月 C．47个月 D．64个月 9. 已知函数在 处取到最小，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（ ） A．2 B．8 C．10 D．14 10．已知抛物线和所围成封闭曲线E，点M，N在曲线E上，给定点，则下列说法中正确的是（ ） A．存在，对所有点M，均不存在N使得 B．任意，恰有三对不同的点M，N，满足每对点M，N关于点A对称 C．存在，曲线E上恰有四个点满足到A的距离等于4 D．任意，当点M，N运动时，都满足 第二部分（非选择题 共 110 分） 二．填空题: 共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数的定义域为 . 12. 在展开式中，的系数为，那么实数_____． 13. 直线与双曲线没有公共点，双曲线离心率的一个值是_____． 14. 在平面直角坐标系中，点为圆:上的动点，点的坐标为，其中为常数且． （1）若,则=_____， （2）若的最大值为，此时的最小值为_____． 15．已知函数，其中且．给出下列四个结论， ①若，则函数的零点是； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1； ④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为，且的取值范围为，其中所有正确的结论是 . 三．解答题: 共6小题，共85分. 16.（本小题13分）已知的内角的对边分别为，且，且. （Ⅰ）求∠的大小； （Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：，为锐角；条件②：. 17.（本小题14分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，. （Ⅰ）证明：是的中点； （Ⅱ）求平面与平面夹角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离. 18.（本小题13分）有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取20人，甲班有16人答对，乙班有15人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立. （Ⅰ）从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率； （Ⅱ）从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）若甲班同学掌握这个知识点则有90%的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有80%的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个.设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）. 19.（本小题15分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当△是直角三角形时，求直线的方程. 20.（本小题15分）已知函数. （Ⅰ）当时,求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数在区间上的极值点的个数； （Ⅲ）若函数在区间上有唯一零点，证明：. 21.(本小题15分)已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若集合中的元素构成等差数列，且公差. （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值. 高三数学 第3页 共4页 高三数学 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $