第7章 三角函数 （单元测评卷）高一数学沪教版

第7章 三角函数 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的最小正周期为，则的值为 . 2．函数的对称中心为 ． 3．函数在上的值域为 ． 4．函数包含的一个严格增区间是 ． 5．方程，，则 用反三角函数表示 6．不等式的解集为 . 7．函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则 8．函数有零点，则实数的范围是 9．已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 10．数，的部分图像如下图，则 .    11．若不等式对恒成立，则 . 12．已知函数，则下列四个结论正确的是 （填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 15．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 16．已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下可能的结果是（　　） A．334 B．338 C．678 D．1012 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 18．（14分）已知为奇函数，其中. (1)求函数的最小正周期和的表达式； (2)若，求的值. 19．（14分）函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 20．（18分）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 21．（18分）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)判断，是否为正弦周期函数. （不需证明） (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 三角函数 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的最小正周期为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数周期求解. 【详解】函数的最小正周期为， 即，则. 故答案为： 2．函数的对称中心为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数对称中心列式即可得到答案. 【详解】令，解得， 所以函数的对称中心为. 故答案为：. 3．函数在上的值域为 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 4．函数包含的一个严格增区间是 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的单调性求的单调区间，进而可得结果. 【详解】令，解得， 可知函数严格增区间是， 又因为包含， 可知，所以函数包含的一个严格增区间是. 故答案为：. 5．方程，，则 用反三角函数表示 【答案】 【分析】根据反正弦函数的定义，可知表示正弦等的锐角，由此结合正弦的诱导公式即可求解． 【详解】解：若锐角满足，则， 因此当时，满足的． 故答案为：． 6．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】画出的图象，由图象即可求解. 【详解】    画出的图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故答案为： 7．函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则 【答案】 【分析】由“五点法”， 结合图象分别求出即可求解. 【详解】由图象知，，，即， 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以. 故答案为：. 8．函数有零点，则实数的范围是 【答案】 【分析】根据条件，利用余弦的倍角公式得到，令，得到，令，，根据条件可知与有交点，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 令，则，令，得到，所以， 令，，当时，， 又因为函数有零点， 所以与有交点，则， 故答案为：. 9．已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，求得，得到函数的零点，转化为与的图象交点个数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 10．数，的部分图像如下图，则 .    【答案】/ 【分析】由图象求得函数的解析式，然后计算函数值． 【详解】由题意的最小正周期是，所以， ，而，所以， ，，所以， ． 故答案为：． 11．若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 12．已知函数，则下列四个结论正确的是 （填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 【答案】②④ 【分析】根据三角函数对称性，周期性得性质，和函数零点的定义，以及单调区间，分别判断各命题的正误. 【详解】已知，则， 所以①错误， ，所以②正确， 当时，， 当时，， 所以，在上有无数个零点，所以③错误， 当时，，若，则，在上不严格递增，不符合题意， 于是，，，因此，即，所以的最大值为，则④正确. 故答案为：②④. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 14．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象和的奇偶性判断. 【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数， A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 15．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的斜边长即可，再根据可知等腰直角三角形的斜边上的高，由此求得斜边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与的交点中， ， 令，即， 不妨取， 即， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 当正弦值等于余弦值时，函数值为， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，所以． 故选：． 16．已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下可能的结果是（　　） A．334 B．338 C．678 D．1012 【答案】B 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，数形结合讨论范围研究不等式整数解个数，即可得. 【详解】由，即， 对于，周期为，且 ， 所以在一个周期内的大致图象如下，注意， 由，易知在区间上的图象与区间上的图象相同， 结合图象知，在中，与区间上的图象相同的区间有个， 在中，与区间上的图象相同的区间有个， 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 【答案】(1)； (2)；或 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变形，然后借助正弦函数来求值域和单调区间即可； （2）然后借助正弦函数来求对称轴方程以及解三角方程即可. 【详解】（1）由， 因为，所以函数的值域为， 由解得：， 所以函数的单调递增区间是； （6分） （2）由，解得：， 即函数的对称轴方程为， 由方程， 则或， 解得或， 故方程的解为或， （8分） 18．（14分）已知为奇函数，其中. (1)求函数的最小正周期和的表达式； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据列关于的等式，即可求出解析式，得到周期； （2）根据，求出，与然后再求解. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以， 化简得到求出 ，所以 ，最小正周期是； （7分） （2）若 所以 （7分） 19．（14分）函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解. 【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. （6分） （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以在上的最大值为，最小值为. （8分） 20．（18分）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （4分） （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （6分） （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． （8分） 21．（18分）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)判断，是否为正弦周期函数. （不需证明） (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 【答案】(1)不是正弦周期函数，是正弦周期函数 (2)是它的一个周期，且是此周期函数的最小正周期，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合所给定义及正弦函数性质推导即可得； （2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解即可得； （3）由，结合严格递增函数性质与正弦函数性质进行推导即可得. 【详解】（1）不是正弦周期函数，是正弦周期函数，理由如下： 假设是正弦周期函数，则存在正常数， 使得对任意，有恒成立， 即有或恒成立， 即或恒成立， 由，则与都随的变化而变化且连续， 故或不可能恒成立， 故不存在正常数，使得恒成立， 故不是正弦周期函数； 由 ， 即存在，使得， 故是正弦周期函数； （6分） （2）由， 故是它的一个周期， 下面证明是的最小正周期： 当时，是增函数， 当时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则， 取，则当与时，函数的单调性相同， 但， 而在这两个区间上单调性相反，假设错误， 故当时，不可能是函数的周期， 综上所述：是的最小正周期； （6分） （3）因为是周期函数，是它的一个周期， 且，， 又由题意，， 则，， 又是严格递增函数，所以， 又时，， 则，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，则. （6分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 三角函数 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2.. 3 . .4. . 5.． 6. 7. . 8. . 9. . 10. ． 11.． 12.②④. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13.B 14. A 15.. D 16.B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）由， 因为，所以函数的值域为， 由解得：， 所以函数的单调递增区间是； （6分） （2）由，解得：， 即函数的对称轴方程为， 由方程， 则或， 解得或， 故方程的解为或， （8分） 18．（14分）【详解】（1）因为为奇函数， 所以， 化简得到求出 ，所以 ，最小正周期是； （7分） （2）若 所以 （7分） 19．（14分）【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. （6分） （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以在上的最大值为，最小值为. （8分） 20．（18分）【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （4分） （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （6分） （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． （8分） 21．（18分）【详解】（1）不是正弦周期函数，是正弦周期函数，理由如下： 假设是正弦周期函数，则存在正常数， 使得对任意，有恒成立， 即有或恒成立， 即或恒成立， 由，则与都随的变化而变化且连续， 故或不可能恒成立， 故不存在正常数，使得恒成立， 故不是正弦周期函数； 由 ， 即存在，使得， 故是正弦周期函数； （6分） （2）由， 故是它的一个周期， 下面证明是的最小正周期： 当时，是增函数， 当时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则， 取，则当与时，函数的单调性相同， 但， 而在这两个区间上单调性相反，假设错误， 故当时，不可能是函数的周期， 综上所述：是的最小正周期； （6分） （3）因为是周期函数，是它的一个周期， 且，， 又由题意，， 则，， 又是严格递增函数，所以， 又时，， 则，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，则. （6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $