第十五章 轴对称 单元学情检测卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 一、单选题 1．已知等腰三角形的一边长为，且其有一个内角的度数为，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．15 C．18 D．20 2．如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄正好与水面成夹角，测得长，则长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将长方形沿翻折，使点C、D分别落在点H和边上的点G处，若，则（    ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的一个角是，则它的另外两个角的度数为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．如图，，，下列判断正确的是（   ） A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分 D． 6．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将长方形纸条折叠得和，则与满足的数量关系为（　　） A． B． C． D． 8．如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（    ） A．6 B．7 C． D． 二、填空题 9．如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是 ． 10．如图，图案甲是由左面的五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是 11．如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长是，的周长是，则的长为 ． 12．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ． 13．如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则PQE的周长的最小值是 ． 三、解答题 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 15．如图，在中，的平分线相交于点O，过点O作，分别交，于点D，E．试猜想线段，，的数量关系，并说明你的猜想理由． 16．如图，点在线段上，和均为等边三角形，与交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 17．斜边相等且重合的两块直角三角形纸板如图所示放置，重叠部分为，请用无刻度的直尺过点作出直线，使与互相垂直．    18．如图，在梯形中，，、的平分线正好相交于梯形的中位线上的点G． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，求梯形的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，当等腰三角形有一个内角为时，该三角形必为等边三角形．因此，无论已知边长为的是底边还是腰，其余两边均为，周长可直接计算． 【详解】解：一个等腰三角形的一个内角为， 该等腰三角形是等边三角形， 又其一边长为， 它的周长是． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形角所对的直角边为斜边的一半是解题的关键．由题意可得的度数，根据直角三角形的性质可得． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， 则， 故选B． 3．C 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补计算即可． 【详解】解：由折叠的性质，可知：． ∵，， ∴． 又∵长方形， ∴， ∴． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况讨论． 先判断出的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答． 【详解】解：若的角是底角，那么，不符合三角形内角和定理，故此情况舍去； 若的角是顶角，则底角度数为 ， 另外两个角的度数为和． 故选：C ． 5．B 【分析】本题需要根据线段垂直平分线的判定定理，分析点A和点B与线段的位置关系，从而判断选项的正确性． 【详解】因为， 根据线段垂直平分线的判定定理，可知点A在线段的垂直平分线上. 又因为， 同理可得点B也在线段的垂直平分线上.由于两点确定一条直线， 所以直线就是线段CD的垂直平分线， 即垂直平分． 选项A：应该是垂直平分，不是垂直平分，该选项错误； 选项B：由上述推理可知，该选项正确，符合题意； 选项C：仅根据已知条件，无法得出平分，该选项错误； 选项D：已知条件中没有足够的信息能推出，该选项错误． 故答案选：B. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线是解题的关键． 6．B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线性质可得，通过折叠性质可知，从而可得，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质和角平分线的定义，掌握等量代换是解决本题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证，从而可得，然后根据等量代换可得：的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长 ， 故选B． 9．2 【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解：从四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形， 则应该拿走的小正方形的标号是． 故答案为： ． 10．②⑤ 【分析】本题考查图形的平移，轴对称，结合所给基本图形将图案甲中间的阴影部分进行分割，通过平移与轴对称，即可得出答案． 【详解】解：如图所示：图案甲是由左面的五种基本图形中的②⑤拼接而成的， 故答案为②⑤． 11． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由垂直平分线的性质可得，又由的周长和的周长即可求得答案． 【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于E，交于D， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．3 【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案． 【详解】解：连接、，作于，如图所示： 点在的垂直平分线上， ， 点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，   ， ； 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 13． 【分析】分别作点E关于直线AB、AD的对称点M、N，连接PM、NQ、MN，根据对称性质得到PM=PE，QN=QE，则PQE的周长=PE+PQ+QE=PM+PQ+QN，根据两点之间线段最短可知，当M、P、Q、N四点共线时PQE的周长最小，最小值为MN的长，连接EM交AB延长线于H，过点N作NG⊥ME交ME延长线于G，根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质等知识分别求解GN、GM，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：分别作点E关于直线AB、AD的对称点M、N，连接PM、NQ、MN， 由对称性质得：PM=PE，QN=QE， 则PQE的周长=PE+PQ+QE=PM+PQ+QN， 根据两点之间线段最短可知，当M、P、Q、N四点共线时，PQE的周长最小，最小值为MN的长， 连接EM交AB延长线于H，则ME⊥AB于H， 过点N作NG⊥ME交ME延长线于G，连接BD、NE，则NE⊥AD， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=12， ∴AB=BC=CD=12，AD∥BC，AB∥CD，∠C=∠BAD=60°， ∴△BCD是等边三角形，∠EBH=∠DAB=60°， ∵点E为BC在中点， ∴CE=BE=BC=6，DE⊥BC， ∵AD∥BC， ∴DE⊥AD，又 NE⊥AD， ∴点D在线段NE上， 在Rt△CDE中，∠C=60°， ∴，∠CDE=90°－∠C=30°， ∴NE=2DE= ， ∵AB∥CD，NG⊥ME，ME⊥AB， ∴NG∥AB∥CD， ∴∠GNE=∠CDE=30°， ∴在Rt△NGE中，GE=NE=， ∴， 在Rt△BHE中，∠BEH=90°－∠EBH=90°－60°=30°，BE=6， ∴BH=BE=3， ∴， ∴EM=2EH=， ∴GM=GE+EM=， ∴在Rt△MGN中，， 即PQE的周长的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查最短路径问题，涉及两点之间线段最短、对称性质、菱形的性质、等边三角形的判断与性质、勾股定理、平行线的判断与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，作为一道填空题，难度偏大，解答的关键是认真分析，灵活运用相关知识解决问题． 14．(1)见解析， (2)4 【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换、坐标与图形等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出即可，从而可得出点的坐标； （2）如图：连接，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求，点的坐标为； （2）解：如图：连接， 则． 15．，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知识，先由角平分线定义得，，再由平行线的性质得，，则，，证出，，进而得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵的平分线相交于点O， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键． （1）先由和是等边三角形，可知，故可得出，，根据定理可知，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）知，得，求出，得，即可求出． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 又 ∴， ∴， ∴ 17．见解析 【分析】本题考查了作垂线，三角形的垂心，延长，，交于点，连接并延长，与交于点，则直线即为满足要求的直线，掌握三角形的三条高相交于一点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，延长，，交于点，连接并延长，与交于点，则直线即为满足要求的直线．    理由：∵为的两条高，根据三角形的三条高相交于一点，即点为三条高的交点， ∴， 故直线与垂直． 18．(1)见解析； (2)梯形的周长为8． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，梯形的中位线定理，角平分线定义． （1）根据梯形的中位线定理求出，推出，根据角平分线求出，推出即可； （2）求出的值，推出，推出，根据梯形的周长为，代入求出即可． 【详解】（1）解：∵是梯形的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）解：由（1）知， 同（1）理可证：， ∴， 即， ∵， ∴， ∴梯形的周长是， 答：梯形的周长为8． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $