第一章 三角形的证明及其应用【章末复习】课件2025-2026学年 北师大版 八年级数学下册

该初中数学课件系统梳理了三角形的证明及其应用核心知识，通过知识框架整合三角形内角和定理、等腰三角形、直角三角形等模块，以考点形式细化性质、判定及推论，构建逻辑严密的知识网络。 其亮点在于融合中考真题设计情境化练习，如通过椅子侧面图、光线传播等问题培养数学眼光，结合全等证明题发展推理思维，几何语言规范表达强化数学语言。分层题型覆盖选择、解答，满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，为教师提供精准复习支持。

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 章末复习 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 知识框架 三角形的证明及其应用 三角形内角和定理 三角形的内角和、全等三角形 三角形的外角 多边形的内角和、外角和 等腰 三角形 等腰三角形的性质与判定 等边三角形的性质与判定 反证法 含30°角的直角三角形的性质 知识框架 直角三角形的性质与判定 直角三角形全等的判定 线段垂直平分线的性质与判定 三角形三边的垂直平分线 角平分线的性质与判定 三角形内角的平分线 直角 三角形 线段的垂直平分线 角平分线 三角形的证明及其应用 知识梳理 考点1 三角形内角和定理及其推论 三角形三个内角的和等于180°。 1.三角形内角和定理 A C B D 2.三角形内角和定理的推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 考点2 多边形的内角和与外角和 n边形的内角和等于(n-2)·180°。 正多边形每个内角的度数： 1.多边形的内角和与外角和 2.正多边形 多边形的外角和等于360°。 正多边形每个外角的度数： 考点3 全等三角形 性质 全等三角形 全等三角形的对应边相等、对应角相等 判定条件 边边边(SSS) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 边角边(SAS) 考点4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 1.等腰三角形的性质 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一） 2.等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边） A B C D 3.等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 A B C 4.等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 5.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 A B C 30° 6.反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 考点5 直角三角形 1.直角三角形的性质与判定 几何语言： 在△ABC中， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90° 直角三角形的两个锐角互余。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形的判定 如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 A B C 几何语言： 在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90° 2.勾股定理的逆定理 3.逆命题、逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。 如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 3.直角三角形全等判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL） 这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。 A C B A' C' B' 考点6 线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 A B P 2.线段垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.三角形三边的垂直平分线 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 P 考点7 角平分线 1.角平分线的性质与判定 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E O A B P D E O A B P D E 1．某品牌椅子的侧面图如图所示，DE与地面AB平行。若∠DEF＝120°，∠ABD＝60°，则∠ACB的度数为(　　) A．50° B．60° C．65° D．70° B 返回 中考考法 18 2．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变。若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　) A．30° B．40° C．60° D．70° D 返回 中考考法 19 3．(8分)如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C。 (1)求证：∠EAD＝∠EDA； 证明：∵∠B＝∠AED， ∴180°－∠B＝180°－∠AED， 即∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED， ∴∠BAE＝∠CED。 中考考法 20 中考考法 21 (2)若∠C＝60°，DE＝4，则△AED的面积为________。 返回 中考考法 22 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列结论可能错误的是(　　) A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD C 返回 中考考法 23 5．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于(　　) A．15° B．20° C．25° D．30° A 返回 中考考法 24 6．如图①，衣架杆OA＝OB＝16 cm(O为衣架的固定点)；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是(　　) A．8 cm B．16 cm C．12 cm D．6 cm B 返回 中考考法 25 7．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论。 中考考法 26 解：△APQ是等腰三角形。 证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。 ∵PD⊥BC，∴∠BDP＝∠PDC＝90°。 ∴∠P＋∠B＝90°，∠DQC＋∠C＝90°。 ∵∠B＝∠C，∴∠P＝∠DQC。 又∵∠DQC＝∠AQP，∴∠AQP＝∠P。 ∴AP＝AQ，∴△APQ为等腰三角形。 返回 中考考法 27 8．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，顶点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的度数为(　　) A．40° B．45° C．50° D．55° C 返回 中考考法 28 9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A．∠C－∠B＝∠A B．c2＝b2－a2 C．∠A∠B∠C＝522 D．a∶b∶c＝3∶4∶5 C 返回 中考考法 29 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝________。 3 返回 中考考法 30 11．(4分)如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，求图中阴影部分的面积。 中考考法 31 返回 中考考法 32 12．[湖南中考]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 C 返回 中考考法 33 13．[咸阳期中]如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° D 返回 中考考法 34 14．如图，等边三角形ABC的三条边的垂直平分线交于点O，写出△AOB，△BOC和△AOC周长的数量关系：______________________。 C△AOB＝C△BOC＝C△AOC 返回 中考考法 35 15．(4分)[陕西师大附中模拟]如图，在△ABC中，AB>AC。 尺规作图：作∠BAC的平分线，在平分线上确定点D，使得DB＝DC。(不写作法，保留痕迹) 解：如图，AD和点D即为 所求。 返回 中考考法 36 16．(8分)[西安西咸新区期末]如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，过点A作AF∥BC交CD于点F，延长AB，DC交于点E，已知BD所在的直线是线段AC的垂直平分线。 中考考法 37 (1)AC是否平分∠EAF？请说明理由； 解：AC平分∠EAF，理由如下： ∵BD所在的直线是线段AC的垂直平分线， ∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA。 ∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA， ∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF。 中考考法 38 中考考法 39 返回 中考考法 40 17．用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设(　　) A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0 B 返回 中考考法 41 18．下列定理中，没有逆定理的是(　　) A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．直角三角形的两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．内错角相等，两直线平行 C 返回 中考考法 42 19．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角。它们的逆命题是真命题的有________个。 3 返回 中考考法 43 2.三角形内角的平分线 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 在△BAE和△CED中， ∴△BAE≌△CED，∴AE＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA。 4 解：∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝3，∴BC＝5。 ∵AB＝13，AC＝12， ∴AC2＋BC2＝122＋52＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴S阴影＝S△ABC－S△BDC＝AC·BC－BD·CD＝×12×5－×4×3＝24。 (2)过点C作CM⊥AE于点M，若∠BCD＝90°，AE＝5，△AEC的面积为，求CF的长。 解：∵AF∥BC，∠BCD＝90°， ∴∠AFD＝∠BCD＝90°，∴AF⊥CF， ∵△AEC的面积为，∴AE·CM＝， 又∵AE＝5，∴CM＝， ∵AC平分∠EAF，CM⊥AE，CF⊥AF，∴CF＝CM＝。 $