1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理课件2025-2026学年北师大版 八年级数学下册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质定理及其逆定理，通过折纸活动导入，结合证明过程、例题解析及分层练习，构建从性质探究到判定应用的学习支架，衔接三角形证明前期知识。 其亮点在于以折纸活动培养几何直观（数学眼光），通过全等证明发展推理能力（数学思维），规范几何语言表述（数学语言），含变式题、中考题等练习，助学生巩固知识，教师教学更具针对性。

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 进行新课 知识点1 角平分线的性质 O E C B A D 通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。 求证：PD = PE。 O A B C 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°。 ∵ ∠1 =∠2，OP = OP， ∴△PDO ≌△PEO（AAS）。 ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。 1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C 返回 中考考法 4 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD，则下列关系不一定成立的是(　　) A．PC＝PD B．OC＝OD C．CD垂直平分OP D．PO平分∠CPD C 返回 中考考法 5 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的性质： 应用所具备的条件： ①角的平分线； ②点在该平分线上； ③垂直距离。 定理的作用：证明线段相等 O A B P D E 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 几何语言： ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为E，F， ∴PE=PF 角平分线的性质： O A B P D E 3．[教材P37“例1”变式]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝8 cm，AD＝5 cm，DE⊥AB，则AE＝________ cm。 4 返回 中考考法 8 4．(4分)[西安交大附中月考]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC于点E。求证：AB＝BE。 中考考法 9 返回 中考考法 10 练一练 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB。若AC=2，DE=1，则S△ACD=______。 1 F DF=DE=1 S△ACD= AC·DF= ×2×1=1 尝试·思考 知识点2 角平分线的判定 你能写出这个定理的逆命题吗？ 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 逆命题：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 逆命题 它是真命题吗？ 角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。 假命题 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 如何证明？ 已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E ，且 PD = PE。 求证：OP 平分∠AOB。 O A B 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°。 ∵ PD=PE，OP = OP， ∴Rt△DOP ≌Rt△EOP（HL）。 ∴ ∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）。 ∴OP平分∠AOB。 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 角平分线的判定： 应用所具备的条件： ①位置关系：点在角的内部； ②数量关系：该点到角的两边距离相等。 定理的作用：判断点是否在角平分线上 O A B P D E 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 角平分线的判定： O A B P D E 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 5．如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B。下面不能判定OP是∠MON的平分线的是(　　) A．∠MOC＝∠NOC B．PA＝PB C．OA＝OB D．PB＝OB D 返回 中考考法 16 6．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACB＝58°，则∠DCE＝(　　) A．26° B．29° C．58° D．32° B 返回 中考考法 17 例1 如图，在△ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在边 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长。 A B C D E F 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF， ∴AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)。 又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°。 在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10， ∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。 练一练 如图，BD=CE，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD交于点F。求证：点F在∠A的平分线上。 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠FDB=∠FEC=90°。 又∵∠BFD=∠CFE，BD=CE， ∴△BDF≌CEF（AAS）。 ∴FD=FE。 又∵FE⊥AC，FD⊥AB， ∴点F在∠A的平分线上。 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 归纳： O A B P D E O A B P D E 7．如图，已知点P为∠AOB内部一点，PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB，C为OP上一点，CD⊥OB于点D，且CD＝7，则点C到OA的距离是________。 7 返回 中考考法 21 8．(4分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。 中考考法 22 返回 中考考法 23 9． 如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(　　) A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等 C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等 A 返回 中考考法 24 3 返回 中考考法 25 11．[咸阳月考]如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，若∠ADC＝120°，连接AE，则∠BAE＝________°。 30 返回 中考考法 26 12．[东营中考]如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________。 3 返回 中考考法 27 13．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，直线DE是AB的垂直平分线，与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD。 中考考法 28 (1)求证：AD平分∠BAC； 证明：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°－∠B－∠DAB＝30°， ∴∠CAD＝∠DAE。∴AD平分∠BAC。 中考考法 29 (2)若CD＝2，求△ABD的面积。 返回 中考考法 30 14．(8分) 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上的一点(不与点A，C重合)，连接BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E。 (1)若BD是∠ABC的平分线，求证：BD＝2AE； 中考考法 31 证明：如图，延长BC，AE，相交于点F， ∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°＝∠ACB，∠ACB＝∠AEB。 ∵∠BDC＝∠ADE， ∴易得∠CBD＝∠CAF。 又∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF， ∴BD＝AF。 中考考法 32 ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠FBE。 ∵BE＝BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴△ABE≌△FBE(ASA)， ∴AE＝FE，∴AF＝2AE， ∴BD＝2AE。 中考考法 33 (2)如图②，连接CE，当点D在线段AC上运动时(不与点A，C重合)，∠BEC的大小是否发生变化？若变化，求出它的最大值；若不变化，求出这个定值。 中考考法 34 返回 中考考法 35 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 证明：∵∠BAC＝90°，∴CA⊥AB。 ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DA＝DE。 在Rt△ABD和Rt△EBD中， ∴Rt△ABD≌Rt△EBD，∴AB＝EB。 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BDE和△CDF都是直角三角形。 ∵D是BC的中点，∴BD＝CD。 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)。∴DE＝DF。 ∴AD是△ABC的角平分线。 10．如图，在x轴、y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧在第一象限交于点P。若点P(a，2a－3)，则a的值为________。 解：易知DE⊥AB，AD＝BD。 ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD。 ∵∠B＝30°，∴AD＝BD＝2DE＝2CD＝4。 ∴AC＝＝2， ∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4。 解：∠BEC的大小不变。如图，过点C作CM⊥BD于点M，CN⊥AE交AE的延长线于点N，则∠BMC＝∠ANC＝90°， ∵AE⊥BD，∴∠BEN＝90°。 由(1)可知，∠CBD＝∠CAE， 又AC＝BC，∴△BCM≌△ACN，∴CM＝CN， ∴EC是∠BEN的平分线，∴∠BEC＝∠BEN＝×90°＝45°， 即∠BEC的大小不变，为定值45°。 $