精品解析：四川省绵阳市安州中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年高一上学期12月试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边过，则（ ） A. 角为第二象限角 B. C. 当时， D. 的值与的正负有关 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为奇函数 11. 已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的零点个数为1 B. 实数的取值范围为 C. 函数无最值 D. 函数在区间上单调递增 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 13. 已知幂函数．给定条件： ①且； ②． 写出一个同时满足①②条件的函数解析式______． 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 16. 某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 （1）根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； （2）已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 17. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法给出证明； （3）令，，求不等式的解集. 18. 如图，是函数（，，）图象的一部分 （1）求函数的解析式； （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期12月试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解. 【详解】由集合， 集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故. 故选：B. 2. 下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在上为增函数的找出来. 【详解】函数在上是减函数；在上是减函数；，当时，在上是增函数；在上是减函数. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题据指数函数、对数函数和幂函数的单调性进行判断即可，注意选项C中，在上转化为再进行判断即可. 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据条件求出，然后根据函数的解析式，列出不等式求得定义域. 【详解】设，∵函数的图象过点， ∴，则，∴， ∴， ∴且，即， 则函数的定义域为. 故选：D. 4. “”是“”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知等价于，等价于，即可得结果. 【详解】若，等价于，即， 若，等价于， 可知等价于， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 6. 声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可计算出、，而后代入计算即可得. 【详解】由题意可得，故， 则当时，有， 解得. 故选：B. 7. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分， 和讨论求解. 【详解】解：当时，， 则在时无解； 当时，在R上单调递增； 当时，，则的解集为； 当时，， 则在时恒成立， 综上，不等式的解集为． 故选：B 8. 若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得到，由得到：，结合正弦函数零点构造不等式即可； 【详解】 由可得：， 函数在上有且仅有三个零点， 则， 解得：， 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边过，则（ ） A. 角为第二象限角 B. C. 当时， D. 的值与的正负有关 【答案】BC 【解析】 【分析】考虑，判断A错误；结合三角函数定义求，判断B，结合三角函数定义求判断C，结合三角函数定义求直接求判断D. 【详解】由，角的终边在第四象限，显然A错误； 由定义，，B项正确； 当时，， 所以，所以C项正确； 因为，与的正负无关，所以D项错误， 故选：BC. 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件等式取，可求，取，可求，取，求，判断A，取，判断B，结合减函数定义及的大小判断C，取，结合奇函数定义判断D. 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的零点个数为1 B. 实数的取值范围为 C. 函数无最值 D. 函数在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】对于ACD，由题可画出大致图象，据此可判断选项正误；对于B，由有6个不同根，可得和共有6个根，其中的两根为，然后由数形结合思想结合二次方程根的分布知识可得答案. 【详解】由题可得的图象大致如下. 对于A，由图可得零点有3个，故A错误； 对于B，由题可得和共有6个根， 即图象与直线，共有6个交点. 其中的两根为，则判别式为或. 注意到，结合图象可得，同号，且一个大于1，一个小于1大于0. 设，则，由图可得， 又函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由函数图象可得无最值，故C正确； 对于D，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解； 【详解】， 故答案为： 13. 已知幂函数．给定条件： ①且； ②． 写出一个同时满足①②条件的函数解析式______． 【答案】（答案不唯一，，其中，且是奇数，是偶数） 【解析】 【分析】通过分析幂函数需要满足的两条性质具体分析. 【详解】幂函数，对于条件①是偶函数且在上单调递减， 而条件②说明函数为偶函数， 根据幂函数性质，当时，幂函数在上单调递减。 又因为是偶函数，对于幂函数， 若（互质），当为偶数时，函数是偶函数, 若写出具体函数解析式, 可以令（满足，是奇数，是偶数）, 此时幂函数,对于，满足②. 对求导，， 在时，，在单调递减，所以满足①， 所以答案为：. 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为0，结合函数图象得出它们的图象与轴交点重合，从而得出关系，代入，再由基本不等式得最小值． 【详解】由已知的定义域是， 设，，显然它们在定义域内都是增函数， 因此恒成立，则与在定义域内同正同负或同为0， 作出的图象，要求，只要它们的图象与轴的交点重合，如图所示， 由，由， 所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系即可求值； （2）利用同角三角函数的基本关系化简，再结合是第三、四象限角求解即可. 【详解】（1）原式， 又，所以原式； （2）因为①， 两边平方得， 因为②，所以③， ②+③得， 即，所以， 因为是第三、四象限角，所以， 所以， 所以④， 联立①④，解得，， 所以. 16. 某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 （1）根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； （2）已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 【答案】（1）更适合作为y与x的函数模型 （2）289百棵 【解析】 【分析】（1）将代入和，求出两个函数，然后和代入，看那个算出的数据更接近选择哪个模型； （2）由（1）得，利用换元法及二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 ①若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以. 此时，当时，与表格中的7.8相差较大， 当时，与表格中的11.2相差较大， 所以不适合作为y与x的函数模型. ②若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以.此时，当时，， 当时，，y的值刚好与表格中的7.8和11.2相符合， 所以更适合作为y与x的函数模型. 【小问2详解】 由题可知，该果园最多可种植30000棵该品种果树，所以x的取值范围为， 当时，. 易知，当，即时，之取最大值53（万元）， 故果树数量为289百棵时，年利润最大. 17. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法给出证明； （3）令，，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）单调递减，证明如下： 在区间上任取，，且, 由, 又∵, ∴，, ∴, ∴, ∴, ∴函数在区间上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，利用偶函数即可求的解析式，然后写出可得函数的解析式； （2）区间上任取，，且，作差，根据的符合证明单调性； （3）先确定函数在的单调性，再根据单调性解不等式得，然后解不等式组即可. 【小问1详解】 设，则, ∵时，, ∴, ∵是定义域为的偶函数, ∴, ∴, ∴. 【小问2详解】 由（1）知，当时，, 所以函数在区间上单调递减,证明略； 【小问3详解】 ∵当时, ∴在上单调递增, ∵, ∴, ∴, ∴不等式的解集为. 18. 如图，是函数（，，）图象的一部分 （1）求函数的解析式； （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解； （2）令，则问题可以转换为在有且仅有两个实根求解即可； （3）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解. 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 令，则 因为函数在区间上有且仅有两个零点 所以方程在有且仅有两个实根. 令，得或 所以方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得 【小问3详解】 由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新函数定义可得，然后利用指数运算求解即可. （2）①根据新函数定义可得，，即可求出时的函数解析式，然后利用求解的函数解析式，即可得解； ②满足；当时，运用换元法，分离参数利用函数单调性求得；当时，根据新定义得，运用换元法，令，，分离参数利用基本不等式求得，最后求交集即可. 【小问1详解】 因为函数（且）是型函数， 所以对定义域中每一个实数x都成立，即， 又且，所以． 【小问2详解】 ①因为是型函数，所以， 当时，，又，所以； 令，得， 所以， 又当时，， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，， 所以． 综上， ②因为是型函数，所以， 当时，，又，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，所以恒成立， 而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，所以； 当时，， 则， 由，得， 令，则当时，， 又，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，所以， 综上，m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $