精品解析：江苏省震泽中学育英学校2025-2026学年高二上学期12月质量反馈数学试题

江苏省震泽中学育英学校2025~2026学年第一学期 高二12月质量反馈 数学 注意事项 学生在答题前请认真阅读注意事项及答题要求： 1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题），本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回. 2．答题前，请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔或2B铅笔填写在答题卡的规定位置. 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.答题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚. 4．答题请认真审题，计算准确，字迹清晰，预祝成绩优异，2026新年快乐. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】， 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为， 故选：D 2. 已知椭圆的焦距为，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出，然后对椭圆焦点的位置进行分类讨论，结合、、的关系可求得的值. 【详解】由题意可得，则， 当椭圆的焦点在轴上时，则，，，解得； 当椭圆的焦点在轴上时，则，，，解得. 综上所述，或. 故选：D. 3. 已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为点在抛物线上，，解得， 利用抛物线的定义知 故选：D 4. 已知一组数据：2，5，7，，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平均数求的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为. 所以数据为：2，5，6，7，10. 又因为，所以这组数据的第60百分位数为：. 故选：B 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 6. 数列满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，结合可得，所以，利用裂项相消法求结论即可. 【详解】因为， 所以，故， 所以数列为常数列，由，可得， 所以，故， 所以， 所以 . 故选：B. 7. 双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设，代入双曲线方程得到，根据四边形是正方形，得到，从而得到，再转化为齐次式求离心率的取值范围即可. 【详解】设，在第一象限， 由题知：，解得：， 由双曲线的对称性可知，正方形的中心为原点，且其顶点关于坐标轴对称， 所以， 所以，解得. 又因为，所以，解得， 所以. 即双曲线离心率的取值范围是， 故选：C 8. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何意义把原问题转化为求两向量夹角的最大值，进而求得答案. 【详解】由，平方得：，即， 即表示点  位于圆心为 、半径为 1 的上半圆上， 考虑表达式：的几何意义， 设向量 ，点  对应向量 ，  与  的夹角为， 则： 当直线与此半圆相切时，此取到最大值，且有， 由点坐标为，知，所以； 设直线的斜率为，直线方程为， 当直线与半圆相切时，有，解得或（舍去负根）， 故此时， 所以， 由于余弦函数在  上单调递减，且， 所以 最大时，取最小值， 此时. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得相应的分数，有选错的得0分. 9. 某学校为了解学校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样方法抽取一个容量为 n的样本，样本中高一年级学生人数为200人，则（ ） A. 该校三个年级总的学生数为5000人 B. 样本容量n为500 C. 该校高二年级总的学生数有1500人 D. 样本中高二年级学生数为150人 【答案】BD 【解析】 【分析】利用分层抽样性质确定抽样比即可求解. 【详解】设样本中高二、高三的学生人数分别为a，b， 则， 则，故D正确， 故样本容量，故B正确； 无法确定该校三个年级总的学生数和该校高二年级总的学生数，故AC错误； 故选：BD 10. 是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分，，三种情况，求椭圆的离心率即可. 【详解】如图1： 若，因为是等腰直角三角形，所以，即， 所以，所以.故D有可能成立； 如图2： 若，则. 将代入. 所以， 所以或（舍去），故C有可能成立； 如图3： 若，则点横坐标为，将代入，得， 由， 所以或（因为，故舍去）. 由.故B有可能成立. 故选：BCD 11. 定义：各项均为正整数的有限递增数列，所有项（）的和为M，则称数列是正整数的一个划分数列，记M的所有划分数列中等差数列的个数为m，下列说法正确的是（ ） A. 若有5个划分数列 B. 若，则M为素数（质数） C. 若，则 D. 若，、，其划分数列中既有等比数列又有等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，对划分数列的项数n分类讨论枚举即可；对于B，举反例证伪即可；对于C，等差数列和为，变形得，根据推出项数n的范围，又，进一步可知n是4052的正约数，由此推出n可能的取值，最后根据n的取值讨论首项、公差d的取值情况即可；对于D，可取，证伪． 【详解】对于A，当时，设数列为（），满足， 枚举得，共4个； 当时，设数列为，最小和为，仅1个，； 当时，最小和为，无满足条件的数列； 因此的划分数列共个，故A正确； 对于B，例如，为合数，枚举可得其划分数列为，均不是等差数列，故，但8是合数，故B错误； 对于C，设等差划分数列的项数为，首项，公差， 和为，整理得， 由于，故，即， 又因为n为正整数，所以解得， 同时，，即n是4052的正约数， 分解，而1013是素数，其正约数为1,2,4,1013,2026,4052， 符合的约数只有，而当时，， 即，由于，，也即，且为偶数， 故d为奇数，所以，共169个解，故C正确； 对于D，令，，则， 考虑等比数列，设等比数列为（，），和为， 枚举得，时，数列为2,4,8，和为14，是等比数列； 考虑等差数列，设等差数列为，和为，即，无正整数解，即无满足条件的等差数列； 因此划分数列中既有等比又有等差数列不成立，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，成等比数列，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项的定义列方程，求出． 【详解】，，成等比数列，或． 而当时，，不合题意． 故答案为： 13. 已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法求得直线的斜率，进而得直线方程. 【详解】设，由题意得， 两式相减，得，又是中点，所以， 代入得，则直线的斜率， 所以直线的方程为，化简得， 又点在椭圆内，故直线与椭圆相交. 故答案为： 14. 平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，且，若分别是、的角平分线，线段的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，根据角平分线性质可求出点C，D在以为圆心，半径为2的圆上，由此可求得答案. 【详解】由可知E点在线段上，且 结合，知； 以点E为坐标原点，以直线为x轴，过点E作垂线为y轴，如图建立平面直角坐标系， 则， 由于CE是的角平分线，故，即， 设，则， 化简得，即点C在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 同理可得点D也在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 则当位于圆的直径的两端时，线段取到最大值，最大值为4， 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解学校高二学生的物理成绩，从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在40～100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）若60分（包含60）以上为合格，求的值和合格人数； （2）求抽取测试卷成绩的第80百分位数． 【答案】（1），合格人数为75人. （2）84 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1求的值，再根据频率与频数的关系估计合格人数. （2）根据百分位数的概念求第80百分位数. 【小问1详解】 由. 100份测试卷中，合格人数为：人. 【小问2详解】 因为，， 所以成绩的第80百分位数为：. 16. 数列为等差数列，前n项和为，．数列的前n项和为． （1）求数列，的通项公式； （2）令，其前n项和，证明：． 【答案】（1），； （2）证明： 由题意可得， 当时，； 当时，， 则， 两式相减得 ， 故， 则时，，故， 结合当时，； 综合可得. 【解析】 【分析】（1）由题意求出等差数列的公差和首项，即可求得数列的通项公式；利用数列的前n项和为，根据前n项和与第n项的关系，即可求得的通项公式； （2）结合（1）可得的表达式，说明当时，，当时，利用错位相减法可求出的表达式，即可说明，综合可知结论成立. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，前n项和为，， 设数列公差为d，则，解得， 故； 数列的前n项和为， 当时，， 当时，，不适合该式， 故； 【小问2详解】 略. 17. 双曲线，直线，O为坐标原点． （1）直线l与双曲线只有一个公共点，求k的值； （2）若直线l与双曲线有两个交点A、B，若为钝角，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线和双曲线方程，对方程类型进行分类讨论即可求得的值； （2）联立直线l与双曲线C的方程，借助韦达定理、平面向量的数量积求解作答. 【小问1详解】 直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解， 即只有一个解， 当，即时，满足题意． 当时，，解得； 所以 【小问2详解】 由消去y并整理得：， 显然，且，解得且， 设， 有，， ， 显然直线l不过原点，即与不共线，由为钝角得： ， 即，即， 解得，又且， 于是得，解得， 所以k的取值范围. 18. 点、、在抛物线上，点的横坐标是，为焦点，．点、在直线两侧，记直线斜率为，直线斜率为，且． （1）求抛物线方程； （2）求直线AB的斜率； （3）记、、的面积为，，，若，，成等差数列，求直线AB方程． 【答案】（1） （2）点的坐标为时，直线的斜率为，当点的坐标为时，直线的斜率为， （3）当点的坐标为时，直线的方程为或，当点的坐标为时，直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）由条件， 抛物线定义可得，解方程求，由此可得抛物线方程； （2）求点的坐标，当时，求直线方程，与抛物线方程联立求的坐标，再求直线的斜率，根据对称性求时，直线的斜率； （3）设直线与直线的交点为，由此可得，，根据，结合条件可得，结合（2）求的坐标为时点的坐标，列方程求，由此可得直线的方程，再根据对称性求的坐标为时直线的方程， 【小问1详解】 因为在抛物线上，点的横坐标是，为焦点，， 所以，故， 所以抛物线方程为， 【小问2详解】 因为在抛物线上，点的横坐标是，所以点的纵坐标为， 当点的坐标为时， 由已知的方程为，的方程为， 联立，所以， 故， 由已知方程的判别式， 设，则，故，故， 所以点的坐标为 同理可得点的坐标为， 所以直线的斜率为， 又， 所以直线的斜率为， 由对称性可得当点的坐标为时，直线的斜率为， 【小问3详解】 设直线与直线的交点为， 则，， 所以，， 所以， 因为，，成等差数列，所以， 所以， 当点的坐标为时，直线的方程为，即 令可得，，故点的坐标为， 所以， 所以或， 所以或， 所以直线的方程为或， 同理当点的坐标为时，直线的方程为或. 19. 数列、构成点列，点列均在直线上，O为坐标原点．椭圆，且． （1）求数列、的通项公式； （2）若点、在椭圆上，求椭圆C的离心率； （3）若直线与椭圆交于、两点且，椭圆离心率为，证明：． 【答案】（1），. （2） （3） 证明：当时，椭圆方程为，此时， 直线方程为， 与椭圆方程联立得，， 解得. 因为是直线与椭圆的交点（过原点）， 故.令，则， 当时，，所以， 所以， 因此. 因， 所以， 所以， 所以 . 因此，. 【解析】 【分析】（1）根据点在直线上与联立即可求出数列、的通项公式. （2）由存在两点在椭圆上，求出、代入椭圆方程，解方程组求出、，进而求出离心率. （3）求出直线，联立椭圆方程，求出的表达式，利用不等式（）、进行放缩化简，求和后即可得证. 【小问1详解】 因为均在直线上，所以， 又，联立解得，. 【小问2详解】 、在椭圆上，则，，代入椭圆方程得 ，解得， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省震泽中学育英学校2025~2026学年第一学期 高二12月质量反馈 数学 注意事项 学生在答题前请认真阅读注意事项及答题要求： 1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题），本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回. 2．答题前，请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔或2B铅笔填写在答题卡的规定位置. 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.答题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚. 4．答题请认真审题，计算准确，字迹清晰，预祝成绩优异，2026新年快乐. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的焦距为，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 已知一组数据：2，5，7，，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 6. 数列满足，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得相应的分数，有选错的得0分. 9. 某学校为了解学校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样方法抽取一个容量为 n的样本，样本中高一年级学生人数为200人，则（ ） A. 该校三个年级总的学生数为5000人 B. 样本容量n为500 C. 该校高二年级总的学生数有1500人 D. 样本中高二年级学生数为150人 10. 是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 11. 定义：各项均为正整数的有限递增数列，所有项（）的和为M，则称数列是正整数的一个划分数列，记M的所有划分数列中等差数列的个数为m，下列说法正确的是（ ） A. 若有5个划分数列 B. 若，则M为素数（质数） C. 若，则 D. 若，、，其划分数列中既有等比数列又有等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，成等比数列，则__________． 13. 已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是___________. 14. 平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，且，若分别是、的角平分线，线段的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解学校高二学生的物理成绩，从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在40～100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）若60分（包含60）以上为合格，求的值和合格人数； （2）求抽取测试卷成绩的第80百分位数． 16. 数列为等差数列，前n项和为，．数列的前n项和为． （1）求数列，的通项公式； （2）令，其前n项和，证明：． 17. 双曲线，直线，O为坐标原点． （1）直线l与双曲线只有一个公共点，求k的值； （2）若直线l与双曲线有两个交点A、B，若为钝角，求k的取值范围． 18. 点、、在抛物线上，点的横坐标是，为焦点，．点、在直线两侧，记直线斜率为，直线斜率为，且． （1）求抛物线方程； （2）求直线AB的斜率； （3）记、、的面积为，，，若，，成等差数列，求直线AB方程． 19. 数列、构成点列，点列均在直线上，O为坐标原点．椭圆，且． （1）求数列、的通项公式； （2）若点、在椭圆上，求椭圆C的离心率； （3）若直线与椭圆交于、两点且，椭圆离心率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $