专题06 实际问题与一元一次方程（2知识点+14大题型+思维导图+过关检测）2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考

期末复习专题06 实际问题与一元一次方程 （2知识点+14大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 配套问题】 2 【题型2 工程问题】 5 【题型3 销售盈亏】 8 【题型4 比赛积分】 11 【题型5 方案选择】 14 【题型6 数字问题】 17 【题型7 几何问题】 21 【题型8 动点问题】 24 【题型9 和差倍分问题】 29 【题型10 电费和水费问题】 31 【题型11 行程问题】 35 【题型12 比例分配】 37 【题型13 日历问题】 39 【题型14古代问题 】 42 知识梳理 【知识点1 解实际问题的一般步骤(审、设、列、解、验、答)】 ○审：审题，理解题意，找出已知量、未知量以及它们之间的等量关系。 ○设：设未知数， 一般有直接设元(问什么设什么)和间接设元(设与所求量相关的量)两种方法。 ○列：根据找到的等量关系，列出一元一次方程。 ○解：解这个方程，求出未知数的值。 ○验：检验两方面——①检验所求的解是否是方程的解；②检验所求的解是否符合实际问题的意义。 ○答：写出答案，注意单位和语言规范。 【知识点2 常见实际问题类型及等量关系】 问题类型 核心等量关系 行程问题 ①相遇问题：路程和=速度和×相遇时间 ②追及问题：路程差=速度差×追及时间 ③路程=速度×时间 顺水逆水问题 顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 工程问题 ①工作总量=工作效率×工作时间 ②总工作量通常看作“1”,合作效率=各效率之和 利润问题 ①利润=售价-进价 ②利润率=×100％ ③售价=标价×折扣率 配套问题 配套的两种物品数量成固定比例(如1个零件配2个螺 丝，则零件数×2=螺丝数) 和差倍分问题 ① 倍 数 关 系 ： A = n B ②和差关系：: A + B = 和 ， A - B = 差 银行存贷款问题 本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 数字问题： 多位数的表示方法：例如： 易错点提醒 ： 设未知数时，若题目有单位，未知数要带单位。 列方程时，等式两边的量的单位要统一。 检验步骤不可省略，尤其是解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负数）。 经典例题 【题型1 配套问题】 【典例】．（25-26七年级上·山东聊城·月考）为迎接六一儿童节，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套；设生产A盲盒工人x名，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·广东惠州·月考）车间有26名工人生产零件甲和零件乙，平均每人每天生产零件甲120个或零件乙180个，为使零件甲和零件乙按配套，则应安排生产零件甲与零件乙的工人人数分别为 ． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【题型2 工程问题】 【典例】．（25-26八年级上·云南昭通·月考）某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·重庆开州·月考）现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【跟随训练3】．（25-26七年级上·重庆·期中）列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 【题型3 销售盈亏】 【典例】．（25-26七年级上·河北保定·月考）为庆祝九三阅兵，某红色主题文创店推出“致敬英雄”促销活动，所有阅兵主题纪念徽章按原价打九折销售仍可获利．军军的爸爸购买一枚“胜利日阅兵”纪念徽章，打折后支付99元，该文创店这枚纪念徽章的进价是（   ） A．110元 B．100元 C．90元 D．81元 【跟随训练1】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打8折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是2800元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元? (2)请你算一算打8折前共售出多少个“巳升升”摆件? 【跟随训练3】．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）合肥某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价为元，售价为元，乙种商品每件售价元，利润是进价的． (1)求乙种商品每件的进价； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共件，总进价为元，求购进甲种商品多少件； (3)在“春节”期间，该商场只对甲种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于或等于元 不优惠 超过元，但不超过元 其中元不打折，超过元的部分给予折优惠 超过元 按购物总额给予折优惠 按表中的优惠条件，若小芳一次性购买甲种商品实际付款元，求小芳在该商场购买甲种商品多少件． 【题型4 比赛积分】 【典例】．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）某社区举办了消防知识竞赛．本次竞赛共20道题，每答对一道得5分，每答错或不答一道扣3分．小宇共得60分，设小宇共答对道题，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）某校在七年级11个班中开展篮球单循环比赛，比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场扣1分．若某班在全部比赛中得了14分，那么该班胜了 场． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ 【跟随训练3】．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）红星中学七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答。下表记录了5个参赛者的得分情况。 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者F得76分，他答对了几道题？ (4)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【题型5 方案选择】 【典例】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【跟随训练1】．（25-26七年级上·四川达州·月考）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有 人． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏南通·月考）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费元，则该单位购买门票价格为元每张（总费用广告赞助费门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过张，每张元，若所购门票超过张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含的代数式来表示总费用为 方案二中，当购买的门票数不超过张时，用含的代数式来表示总费用为 当所购门票数超过张时，用含的代数式来表示总费用为 ； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计张（甲乙两单位购买数量均大于100张），花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【题型6 数字问题】 【典例】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）幻方最早源于我国，南宋以后被数学家系统研究并称为纵横图．在如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 【跟随训练1】．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，她规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．则图1中“◇”= ，图2中“☆”= ． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·浙江·月考）【发现问题】小浙同学说：“所有的有理数都可以写成分数形式．”好奇的小江对小浙的说法产生了两个疑问，疑问1：这句话正确吗？疑问2：有理数包含无限循环小数，那么无限循环小数能不能写成分数形式呢？ 【探究问题】 （1）聪明的你来判断一下：“所有的有理数都可以写成分数形式”是______的（填“正确”或“不正确”）． 【解决问题】 （2）小江的同桌查阅资料得知，设，由…可知，，解得，即．请用类似的方法，把，转化为分数的形式． 【题型7 几何问题】 【典例】．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图，宽为的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·甘肃白银·月考）如图，小明从一张正方形纸片上剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原来正方形纸片的面积是 ． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·山东日照·月考）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．某同学在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．若盒子底面的四边形是长方形，且．求这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是 （填序号）； (2)若设长方体的高为，则 ①长方体的宽为 （用含的式子表示）； ②请求长方体包装盒的体积． 【题型8 动点问题】 【典例】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（   ） A．2秒 B．秒 C．2秒或4秒 D．2秒或秒 【跟随训练1】．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）点，，在数轴上，若点与点之间的距离是点与点之间的距离的倍，则称是【，】的伙伴点． 如图，点，，，在数轴上， 是原点， 是【， 】的伙伴点，也是【，】的伙伴点．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点，分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，当是【，】的伙伴点时的值为 ． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·湖南邵阳·月考）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，点B是线段的中点． (1)若点A对应的数是，点C对应的数是8，则点B对应的数是_____； (2)在（1）的条件下，若点A对应的数是x，点C对应的数是y，请你猜想：线段的中点B对应的数是_______(含x的代数式表示) (3)图2，在数轴上，若点对应的数分别是点A是线段中点，动点、分别从D、B两点同时出发沿数轴向左运动，点、的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒，点M为线段中点，在上述运动过程中， ①为何值． ②的值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请说明理由． 【题型9 和差倍分问题】 【典例】．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）一个数的比这个数少24，则这个数是（   ）． A．50 B．48 C．40 【跟随训练1】．（25-26七年级上·浙江温州·月考）某动车组列车有1222个座位，其中商务座22个，二等座数量比一等座数量的3倍少40个．该动车组列车一等座和二等座的座位数分别有多少个？设一等座的座位数有x个，则可列方程为 ． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）某工业园区机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女工人人数比男工人的2倍少10人，该车间男工人有多少人？ 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 【题型10 电费和水费问题】 【典例】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）某市自来水公司为了限制单位用水，每月只给某单位计划内用水，计划内用水每吨收费元，超过计划部分每吨按元收费．若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水 吨． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·河南许昌·月考）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 【跟随训练3】．（25-26七年级上·山东日照·月考）下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【题型11 行程问题】 【典例】．（25-26七年级上·山东济宁·月考）港口之间的水流速度为，某轮船在静水中的速度为，已知该轮船在两港口之间往返一次的时间为，设两港口之间的距离为，则有（） A． B． C． D． 【跟随训练1】．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）一列匀速行驶的火车，从车头进入米长的隧道到车尾离开隧道经历了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在列车上照了秒，则这列火车的长度为 米． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·广东阳江·月考）甲乙两地相距，一列慢车从甲地开出，每小时行驶，一列快车从乙地开出，每小时行驶． (1)若两列车同时开出，相向而行，经过多少小时两列车相遇？ (2)若快车先开出，两列车相向而行，慢车开出多少小时两列车相遇？ 【跟随训练3】．（25-26七年级上·广东东莞·期中）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 【题型12 比例分配】 【典例】．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了 个零件． 【跟随训练2】．（24-25七年级下·河南郑州·自主招生）刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是，如果再加工个零件就可以完成这批零件的．这批零件一共有多少个？ 【跟随训练3】．（24-25七年级上·云南昭通·月考）在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【题型13 日历问题】 【典例】．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图是某月的日历图，用“”型框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 【跟随训练1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在如图所示的月历表中，任意框出同一个竖列上的相邻三个数，算出它们的和是51，则这三个数中最小的数是 ． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）如图是某年11月的月历，请回答下列问题： (1)图中用框数器“”框出的五个数的和是多少？ (2)将框数器“”在图中换个位置框出五个数，记正中间的数为a，则框出的五个数的和是多少？ (3)用框数器“”框出的五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·山西大同·月考）数学活动——月历中的奥秘 如图①是2025年12月份的月历，亮亮在其中任意画出的方框，方框内的数字分别用a，b，c，d表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． (1)【特例探究】计算图①中方框内的结果：______，_______； (2)【推理演绎】亮亮通过特例分析，猜想所有月历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整． 证明：设，则，，． …… 【题型14古代问题 】 【典例】．（25-26七年级上·全国·期末）程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（    ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）孙子算经中有这样一道题，大意为：今有头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每户共分一头，恰好分完，那么有 户人家． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·四川广安·期中）列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【跟随训练3】．（2025七年级上·全国·专题练习）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是斤，设每个士兵的体重是斤． (1)可列出等量关系：“块条形石的重量”“个士兵的体重”“______块条形石的重量”“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 思维导图 过关检测 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）一块长方形草坪的长比宽多，它的周长是，求该长方形草坪的宽．设该长方形草坪的宽为，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图表中给出的是某月的月历，任意用“H”型框选中7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和可能是（   ） A．60 B．74 C．84 D．98 4．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C．452 D． 5．（25-26七年级上·山西大同·月考）直线l上有A，B，C三个点，已知，点D是的中点，且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26七年级上·广东惠州·月考）李明同学欲购买一件运动服，打七折比打九折少花30元钱，那么这件运动服的原价为（    ） A．150元 B．300元 C．75元 D．200元 7．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发（  ）小时后甲乙相距10千米． A．2或2.5 B．2.5 C．1.5或1.7 D．1.5 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了这样一个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：在明代1斤16两，故有“半斤八两”这个成语）．则银子共有（    ）两． A．6 B．42 C．46 D．54 9．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了 场． 10．（25-26七年级上·云南昭通·月考）我们知道，无限循环小数可以化为分数．例如将（即0.333…）化为分数：设，则，两式相减得，解得．仿照此方法，将无限循环小数（即）化为分数是 ． 11．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 12．（25-26七年级上·福建南平·月考）如图，在九宫格中，每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，则字母t表示的数应该是 ． 13．（25-26七年级上·浙江温州·月考）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等，若所列的方程为，则未知数表示 ． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动．他们分工合作，在一架长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为，列车完全在桥上的时间约为．你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗？ 15．（25-26七年级上·湖北十堰·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 16．（25-26七年级上·黑龙江·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______． (3)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 17．（25-26七年级上·河南周口·月考）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品，某家庭制作的粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成．用千克糯米可做个蛋黄肉粽或个碱水粽，现要用千克糯米制作粽子，应用多少千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套． 18．（25-26七年级上·重庆·期中）某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题06 实际问题与一元一次方程 （2知识点+14大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 配套问题】 2 【题型2 工程问题】 5 【题型3 销售盈亏】 8 【题型4 比赛积分】 11 【题型5 方案选择】 14 【题型6 数字问题】 17 【题型7 几何问题】 21 【题型8 动点问题】 24 【题型9 和差倍分问题】 29 【题型10 电费和水费问题】 31 【题型11 行程问题】 35 【题型12 比例分配】 37 【题型13 日历问题】 39 【题型14古代问题 】 42 知识梳理 【知识点1 解实际问题的一般步骤(审、设、列、解、验、答)】 ○审：审题，理解题意，找出已知量、未知量以及它们之间的等量关系。 ○设：设未知数， 一般有直接设元(问什么设什么)和间接设元(设与所求量相关的量)两种方法。 ○列：根据找到的等量关系，列出一元一次方程。 ○解：解这个方程，求出未知数的值。 ○验：检验两方面——①检验所求的解是否是方程的解；②检验所求的解是否符合实际问题的意义。 ○答：写出答案，注意单位和语言规范。 【知识点2 常见实际问题类型及等量关系】 问题类型 核心等量关系 行程问题 ①相遇问题：路程和=速度和×相遇时间 ②追及问题：路程差=速度差×追及时间 ③路程=速度×时间 顺水逆水问题 顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 工程问题 ①工作总量=工作效率×工作时间 ②总工作量通常看作“1”,合作效率=各效率之和 利润问题 ①利润=售价-进价 ②利润率=×100％ ③售价=标价×折扣率 配套问题 配套的两种物品数量成固定比例(如1个零件配2个螺 丝，则零件数×2=螺丝数) 和差倍分问题 ① 倍 数 关 系 ： A = n B ②和差关系：: A + B = 和 ， A - B = 差 银行存贷款问题 本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 数字问题： 多位数的表示方法：例如： 易错点提醒 ： 设未知数时，若题目有单位，未知数要带单位。 列方程时，等式两边的量的单位要统一。 检验步骤不可省略，尤其是解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负数）。 经典例题 【题型1 配套问题】 【典例】．（25-26七年级上·山东聊城·月考）为迎接六一儿童节，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套；设生产A盲盒工人x名，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可知分配名工人生产B盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成且每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：∵生产A盲盒工人x名， 则分配名工人生产B盲盒， ∵每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成且每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个， ∴， 故选D． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·广东惠州·月考）车间有26名工人生产零件甲和零件乙，平均每人每天生产零件甲120个或零件乙180个，为使零件甲和零件乙按配套，则应安排生产零件甲与零件乙的工人人数分别为 ． 【答案】 18人，8人 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设生产零件甲的工人人数为人，则生产零件乙的工人人数为人，根据零件甲和零件乙的产量比例列出方程求解． 【详解】解：设生产零件甲的工人人数为人，则生产零件乙的工人人数为人， 每人每天生产零件甲120个或零件乙180个，总零件甲产量为个，总零件乙产量为个． 根据配套比例， 得方程：， 解得． 则． 故安排生产零件甲的工人18人，生产零件乙的工人8人． 故答案为：18人，8人． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板， 由题意得：， ， ， 解得：， （名）． 答：20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【答案】(1)12个 (2)小敏方案不行，理由见解析；小强的方案可行，最多可做23个包装盒 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确寻找等量关系是解本题的关键． （1）设张白板纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果： （2）对于小敏，设张做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的 值；对于小强，设余下的白板纸张 做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，检验即可； 【详解】（1）解：设x张白板纸做盒身，则有张做盒盖， 根据题意，得， 解得， 所以． 答：最多可做12个包装盒． （2）解：小敏方案不行，设x张做盒身， 根据题意，得， 解得，不符合题意； 小强的方案可行，设余下的白板纸y张做盒身， 根据题意，得， 解得， 所以， 所以最多可做23个包装盒． 【题型2 工程问题】 【典例】．（25-26八年级上·云南昭通·月考）某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的工程应用问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据原计划天数每天生产个的天数每天生产个的天数，列出方程即可． 【详解】解：∵若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 又∵原计划天数每天生产个的天数每天生产个的天数， ∴． 故选：B． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键； 为了使甲、乙两管同时开放的时间尽量少，应让注水效率较高的甲管单独工作的时间尽量长；甲管单独工作10小时可注水池，剩余池需由乙管在同时开放期间注满，根据乙管的注水效率可求出同时开放时间． 【详解】解：设甲、乙两管同时开放的时间为小时．甲管始终开放10小时，注水量为，乙管开放小时，注水量为．总注水量为1， 故有：． 解方程：， 解：， 答：甲、乙最少要同时开放4小时． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·重庆开州·月考）现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【答案】(1)6 (2)18000 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，再根据工作总量等于1列出方程，求出解即可； 对于（2），根据甲队需支付工资加上乙队需支付工资可得答案． 【详解】（1）解：甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，根据题意，得 ， 解得， 所以甲乙两工程队还需要合作6天才能完成； （2）解：， 所以完成这项工程需要支付两队工资一共18000元． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·重庆·期中）列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 【答案】(1)甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米 (2)甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由题意得，设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米，根据甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队单独修建了y天，则甲单独修建的费用为万元，甲乙共同修建的费用为万元，甲乙每天共同费用为万元，进而可求出共同修建的天数为天，再根据“地下路段总长220米”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米， 由题意得， 解得， ∴乙每天修建：米， 答：甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米； （2）解：∵工程二期，甲、乙每天修建地下道路的长度为一期的一半， ∴甲每天修地下道路：米；乙每天修地下道路：米， 设甲工程队单独修建了y天， ∴甲单独修建的费用：万元，甲乙共同修建的费用：万元，甲乙每天共同费用为万元， ∴共同修建的天数为天， ∵“地下路段总长220米”， ∴ 解得． 答：甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天． 【题型3 销售盈亏】 【典例】．（25-26七年级上·河北保定·月考）为庆祝九三阅兵，某红色主题文创店推出“致敬英雄”促销活动，所有阅兵主题纪念徽章按原价打九折销售仍可获利．军军的爸爸购买一枚“胜利日阅兵”纪念徽章，打折后支付99元，该文创店这枚纪念徽章的进价是（   ） A．110元 B．100元 C．90元 D．81元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设进价为元，根据利润售价进价，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设进价为元，根据题意得： ， 解得：， ∴进价为90元． 故选：C． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 【答案】288元或316元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设第二次购物实际消费金额为元，先根据优惠方案可得第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或，再分两种情况：①，②，分别建立方程，解方程求出的值，然后根据优惠方案列式计算即可得． 【详解】解：设第二次购物实际消费金额为元， ∵（元），（元），（元），且，， ∴第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或， ①当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； ②当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； 综上，应付款288元或316元， 故答案为：288元或316元． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打8折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是2800元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元? (2)请你算一算打8折前共售出多少个“巳升升”摆件? 【答案】(1)60元 (2)100个 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用． （1）利用“每个进价数量总进价”即可求得结果； （2）设打8折前共售出x个“巳升升”摆件，则打8折后共售出个“巳升升”摆件，根据已知条件列出方程并求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）， 即每个“巳升升”摆件的进价是60元． （2）解：设打8折前共售出x个“巳升升”摆件，则打8折后共售出个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得，              ∴打8折前共售出100个“巳升升”摆件． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）合肥某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价为元，售价为元，乙种商品每件售价元，利润是进价的． (1)求乙种商品每件的进价； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共件，总进价为元，求购进甲种商品多少件； (3)在“春节”期间，该商场只对甲种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于或等于元 不优惠 超过元，但不超过元 其中元不打折，超过元的部分给予折优惠 超过元 按购物总额给予折优惠 按表中的优惠条件，若小芳一次性购买甲种商品实际付款元，求小芳在该商场购买甲种商品多少件． 【答案】(1)乙种商品每件的进价为元 (2)购进甲种商品件 (3)小芳在该商场购买甲种商品件或件 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解题的关键． （1）根据售价减去进价等于利润，再建立方程求解即可； （2）设该商场购进甲种商品件件，根据总进价为元，再建立方程求解即可； （3）设小芳在该商场购买甲种商品件，再分两种情况讨论：①当总金额超过元，但不超过元时， ②当总金额超过元时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种商品每件的进价为元， ，解得， 答：乙种商品每件的进价为元； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， ，解得， 答：购进甲种商品件； （3）设小芳在该商场购买甲种商品件，根据题意，有以下两种情况： ①当总金额超过元，但不超过元时，有， 解得； ②当总金额超过元时，有，解得， 答：小芳在该商场购买甲种商品件或件． 【题型4 比赛积分】 【典例】．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）某社区举办了消防知识竞赛．本次竞赛共20道题，每答对一道得5分，每答错或不答一道扣3分．小宇共得60分，设小宇共答对道题，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 设答对x道题，则答错或不答道题，根据总得分为答对得分减去扣分列方程即可． 【详解】解：答对x道题，得分；答错或不答道题，扣分． 由题意得，，即． 故选C． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）某校在七年级11个班中开展篮球单循环比赛，比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场扣1分．若某班在全部比赛中得了14分，那么该班胜了 场． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，每个班进行10场比赛，设胜场数为x，则负场数为，根据得分规则列出方程并求解即可． 【详解】解：设该班胜了x场，则负了场，由题意得 ， 解得． 故答案为：． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ 【答案】23道 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题，根据这位同学得了90分，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题． 根据题意，得， 解得：． 答：这位同学答对了23道题． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）红星中学七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答。下表记录了5个参赛者的得分情况。 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者F得76分，他答对了几道题？ (4)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)道题 (4)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设答对x道题，得分为y分，则答错道题，根据得分答对题目数答错题目，即可得出y关于x的数量关系式； （3）根据得分为76分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）根据得分为80分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 【详解】（1）解：由题意得：答对题得：（分）， 答错题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设答对道题，得分为分，则答错道题， 由题意得：； （3）解： 由题意得：， 解得：， 答：他答对了道题； （4）解：不可能，理由如下： 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者说他得了分，是不可能的． 【题型5 方案选择】 【典例】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出一元一次方程是解题的关键． 通过列代数式，表示出两种方案的费用，当两种费用相等时，解方程求出x即可． 【详解】解：设购买x本图书时方案和方案费用相等， 方案费用：元， 方案费用：元， ， ， ， ． 当时，两种方案费用相等． 故选：C． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·四川达州·月考）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有 人． 【答案】或 【分析】本题考查了方案选择(一元一次方程的应用)，解题关键是正确列出方程求解． 设A团人数为x，则B团人数为．A团节假日购票，付款按分段函数计算；B团非节假日购票，按8折计算付款．根据总付款元，分和两种情况列方程求解． 【详解】解：设A团有x人，则B团有人． B团非节假日购票款为：． A团节假日购票款： 当时，为元； 当时，为元． 总付款为元， 因此：当时，， 解得：，符合． 当时，， 解得：，符合． 故A团有人或人． 故答案为：或． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏南通·月考）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费元，则该单位购买门票价格为元每张（总费用广告赞助费门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过张，每张元，若所购门票超过张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含的代数式来表示总费用为 方案二中，当购买的门票数不超过张时，用含的代数式来表示总费用为 当所购门票数超过张时，用含的代数式来表示总费用为 ； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计张（甲乙两单位购买数量均大于100张），花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【答案】(1)，， (2)甲单位购买了门票500张，乙单位购买了门票200张 【分析】（1）根据题意可直接写出表达式， （2）设乙单位购买门票张，然后分别根据甲乙不同方案构造等量关系，列方程求解． 本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出总费用的等量关系式是解题关键． 【详解】（1）由题意可知：， 由题意可知：不超过100张时：， 超过100张时：． 故答案为：，，． （2）设乙单位购买了门票张，则甲单位购买了门票张， 故甲单位购买了门票500张，乙单位购买了门票200张． 【题型6 数字问题】 【典例】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）幻方最早源于我国，南宋以后被数学家系统研究并称为纵横图．在如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，先求出，再列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：如图，设第一行中间的数为， 由题意得，， 解得， ∴， 解得， 故选：C． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，她规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．则图1中“◇”= ，图2中“☆”= ． 【答案】 1 【分析】 本题为“幻方”题目，考查了一元一次方程的应用等知识，根据题意列出方程是解题关键﹒根据图1得到，求出，进而得到，即可求出；根据图2得到，求出，根据，即可求出﹒ 【详解】解：如图1 由题意得， ∴， ∵， ∴； 如图2， 由题意得， ∴， ∵， ∴﹒ 故答案为：1， 【跟随训练2】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·浙江·月考）【发现问题】小浙同学说：“所有的有理数都可以写成分数形式．”好奇的小江对小浙的说法产生了两个疑问，疑问1：这句话正确吗？疑问2：有理数包含无限循环小数，那么无限循环小数能不能写成分数形式呢？ 【探究问题】 （1）聪明的你来判断一下：“所有的有理数都可以写成分数形式”是______的（填“正确”或“不正确”）． 【解决问题】 （2）小江的同桌查阅资料得知，设，由…可知，，解得，即．请用类似的方法，把，转化为分数的形式． 【答案】（1）正确；（2）， 【分析】（1）根据有理数就是能表示为两个整数之比（分数形式）的数判定即可； （2）模仿示例，利用一元一次方程求解即可． 本题考查了解一元一次方程和有理数，正确根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：（1），因为有理数就是能表示为两个整数之比（分数形式）的数，故：“所有的有理数都可以写成分数形式”是正确的． （2）设，由…可得， 则，∴，即． 设，由…可得， 则，∴，即． 【题型7 几何问题】 【典例】．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图，宽为的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设一个小长方形的长为，则宽为，根据题意列出方程，求出的值，再利用长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：设一个小长方形的长为，则宽为， 由题意得，， 解得， 则， ∴一个小长方形的长为，宽为， ∴一个小长方形的面积为． 故选：A． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·甘肃白银·月考）如图，小明从一张正方形纸片上剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原来正方形纸片的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设原来正方形纸片的边长为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设原来正方形纸片的边长为， 由题意得，， 解得， ∴原来正方形纸片的边长为， ∴原来正方形纸片的面积是． 故答案为：36． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·山东日照·月考）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．某同学在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．若盒子底面的四边形是长方形，且．求这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，一元一次方程的实际应用(几何问题)．熟练掌握由展开图计算几何体体积的方法，并结合含有未知量的等量关系列出一元一次方程是解题的关键． 由某同学制作的展开图设的长为，并根据边长的相等关系列出一元一次方程，计算出长方体纸盒底面的边长以及纸盒的高，进而计算出无盖长方体纸盒的容积． 【详解】解：设，则， ∴列方程：， 解得：， ∴，， ∴长方体纸盒的高为， ∴折成的无盖长方体纸盒的容积是． 故答案为：． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是 （填序号）； (2)若设长方体的高为，则 ①长方体的宽为 （用含的式子表示）； ②请求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤ (2)①（或）② 【分析】本题考查长方体的相对面，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握长方体展开图的特征，列出一元一次方程． （1）根据长方体展开图的“相间、端”是对面，进行判断，即可解题； （2）①根据图形可得长、宽、高的关系，再列代数式即可； ②根据展开图中长、宽、高的关系列出方程，求出长、宽、高；再根据体积的计算方法，即可解题． 【详解】（1）解：∵长方体展开图的“相间、端”是对面， ∴面①和面⑤是相对面， 故答案为：⑤． （2）解：设长方体的高为，则长方体的长为， ∴长方体的宽为， 或为 故答案为：或； ∵长方体的宽为或， ∴， 解得， ∴长方体的高为，长方体的长为，长方体的宽为， ∴长方体的体积为：， 答：长方体的体积为． 【题型8 动点问题】 【典例】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（   ） A．2秒 B．秒 C．2秒或4秒 D．2秒或秒 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 设运动t秒时，然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16， ∴（单位长度）， ∵（单位长度）， ∴（单位长度）； 设运动t秒时， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：， 解得：； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：， 解得：． 即运动2秒或4秒时，（单位长度）． 故选：C． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）点，，在数轴上，若点与点之间的距离是点与点之间的距离的倍，则称是【，】的伙伴点． 如图，点，，，在数轴上， 是原点， 是【， 】的伙伴点，也是【，】的伙伴点．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点，分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，当是【，】的伙伴点时的值为 ． 【答案】 或5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据伙伴点的定义，结合初始条件点、点、点的坐标关系，以及运动过程中点的坐标变化，建立方程求解． 【详解】解：初始时点在原点，点在处，点在处，点在处， 点以每秒个单位向左运动，运动后坐标为， 点以每秒个单位向右运动，运动后坐标为， 点以每秒个单位向右运动，运动后坐标为， 点是【，】的伙伴点需满足， 即， 化简得：， 解方程：当时， 方程化为， 解得：； 当时， 方程化为， 解得：； 故答案为：或5． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·湖南邵阳·月考）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①，3；   ②， (2)点在运动过程中，线段的长度不变，线段的长为5 【分析】（1）①利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用线段的中点表示的数，可求出线段的中点表示的数； ②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含t的代数式表示出点，表示的数； （2）当运动时间为t秒时，用t表示出点表示的数，用t表示出点表示的数，结合“点M为的中点，点为的中点”，可得出点M表示的数，点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 线段的中点表示的数为． 故答案为：，3： ②t秒后，点表示的数， 点表示的数为． 故答案为：，； （2）当运动时间为t秒时，点表示的数，点表示的数为， ∵点M为的中点，点为的中点， ∴点M表示的数为， 点表示的数为， ∴， ∴点在运动过程中．线段的长度不变，线段的长为5． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，用数轴上的点表示有理数，列代数式，动点问题（一元一次方程的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，点B是线段的中点． (1)若点A对应的数是，点C对应的数是8，则点B对应的数是_____； (2)在（1）的条件下，若点A对应的数是x，点C对应的数是y，请你猜想：线段的中点B对应的数是_______(含x的代数式表示) (3)图2，在数轴上，若点对应的数分别是点A是线段中点，动点、分别从D、B两点同时出发沿数轴向左运动，点、的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒，点M为线段中点，在上述运动过程中， ①为何值． ②的值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当为秒时；②不变，值为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解一元一次方程，列代数式，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，根据中点的性质得到，即可得到点表示的数； （2）根据点对应的数是，点对应的数是，线段的中点表示的数是，故猜想点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是，即可作答． （3）①由题意得到，，计算出，，可得到，根据为的中点，得到，根据，即可得到的值； ②由①可知：，，，，，根据点是的中点，得到，可得到，整理得出为定值，原题得证． 【详解】（1）解：∵ 数轴上点对应的数是，点对应的数是， ， 而点是线段的中点， ， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为； （2）解：由（1）得数轴上点对应的数是，点对应的数是，线段的中点表示的数是， 则， 当点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是， 故答案为； （3）解：∵点对应的数是，点对应的数是，点表示的数是， ，， ∵动点、分别从D、B两点同时出发沿数轴向左运动，点、的速度分别为10位长度/秒、5单位长度/秒， ∴，， ， ∴为的中点， ， ， 解得：， 即当为秒时； ②不变，理由如下： 由①可知：，，，，， ∵为的中点， ， ，则， 为定值． 【题型9 和差倍分问题】 【典例】．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）一个数的比这个数少24，则这个数是（   ）． A．50 B．48 C．40 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个数是，根据题意得，然后解方程即可， 【详解】解：设这个数是，根据题意得 ， 解得：， 故选：C． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·浙江温州·月考）某动车组列车有1222个座位，其中商务座22个，二等座数量比一等座数量的3倍少40个．该动车组列车一等座和二等座的座位数分别有多少个？设一等座的座位数有x个，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设一等座座位数为x个，则二等座座位数为个，一等座和二等座的总座位数为1222减去商务座22个，即1200个，由此列方程即可． 本题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是找等量关系． 【详解】解：一等座和二等座的总座位数为个，一等座为x个，二等座为个，因此方程为． 故答案为：． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）某工业园区机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女工人人数比男工人的2倍少10人，该车间男工人有多少人？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，合理列出方程是解题的关键． 设男工人有人，则女工人有人，利用男工人人数女工人人数总人数列式运算即可． 【详解】解：设男工人有人，则女工人有人， 由题意可得： 解得：， 答：该车间男工人有人． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原来节目总人数为t人，则七年级人数为人；增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人，根据七年级人数占总人数列出方程求解． 【详解】解：设大合唱节目原来总人数为t人，则原来七年级人数为人， 增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人， 由题意，， 解得， 所以原来总人数人，七年级人数为人． 答：原来七年级的表演人数为6人． 【题型10 电费和水费问题】 【典例】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用水立方米（），根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设用水立方米（），根据题意得 故选：B． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）某市自来水公司为了限制单位用水，每月只给某单位计划内用水，计划内用水每吨收费元，超过计划部分每吨按元收费．若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水 吨． 【答案】3050吨 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该单位该月用水x吨，可证明该单位该月的用水量大于，分别求出用水的费用和超过部分的费用，二者的和为1540，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设该单位该月用水x吨， ∵， ∴该单位该月的用水量大于， ∴， 解得， ∴该单位该月用水3050吨， 故答案为：3050． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·河南许昌·月考）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 【答案】(1)； (2)应交电费元 (3)该户居民用电372度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用每月应交电费月用电量，即可得出结论；利用每月应交电费超过400度的部分，即可得出结论； （2）利用每月应交电费月用电量，即可求出结论； （3）根据该户居民某月交费231元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，每月用电量不超过240度，应交电费． 根据题意得，每月用电量超过400度，应交电费． 故答案为：；； （2）解：根据题意可得元， 答：应交电费82.5元； （3）解：（元，（元，， ． 根据题意得：， 解得：． 答：该户居民用电度． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·山东日照·月考）下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)42吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的应用——水费问题，正确列出方程是解题的关键． （1）根据7月用水16吨，交水费32元，可得，根据8月费用水28吨，交水费67元，可得，解方程即可； （2）先判断9月份用水量超过了30吨，设为x吨，根据计费规则列方程，解方程即可； （3）设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨，分和两种情况，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：7月用水16吨，交水费32元， ， 解得； 8月份用水28吨，交水费67元， ， 解得； （2）解：当用水量为30吨时，水费为：（元）， 9月份上交水费115元，， 9月份用水量超过30吨，设为x吨， 则， 解得， 即小王家9月用水42吨； （3）解：设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨， 当时，， 解得， 当时， ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上可得，小王家11月份用水13吨． 【题型11 行程问题】 【典例】．（25-26七年级上·山东济宁·月考）港口之间的水流速度为，某轮船在静水中的速度为，已知该轮船在两港口之间往返一次的时间为，设两港口之间的距离为，则有（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，掌握顺流速度为静水速度加水流速度、逆流速度为静水速度减水流速度是解题关键． 轮船往返一次的时间包括顺流和逆流时间，顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，总时间为顺流时间与逆流时间之和，据此列方程即可． 【详解】解：设A、B两港口之间的距离为， 顺流时间，逆流时间， ∵往返一次总时间为5h， ∴． 故选D． 【跟随训练1】．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）一列匀速行驶的火车，从车头进入米长的隧道到车尾离开隧道经历了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在列车上照了秒，则这列火车的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（行程问题），利用火车匀速行驶时速度不变的等量关系建立方程是解题的关键． 设这列火车长米，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设这列火车长米，由题意得 ， 解得， 所以这列火车的长度为米． 故答案为：． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·广东阳江·月考）甲乙两地相距，一列慢车从甲地开出，每小时行驶，一列快车从乙地开出，每小时行驶． (1)若两列车同时开出，相向而行，经过多少小时两列车相遇？ (2)若快车先开出，两列车相向而行，慢车开出多少小时两列车相遇？ 【答案】(1)2小时 (2)小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）利用两车的速度结合甲、乙两地相距，得出等式求出答案； （2）利用快车先开出，再加上两列车以后行驶的路程总路程，进而列出方程求解． 【详解】（1）解：设经过x小时两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：经过2小时两列车相遇； （2）解：设慢车开出x小时后两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：慢车开出小时后两列车相遇． 【跟随训练3】．（25-26七年级上·广东东莞·期中）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： (1)根据车票中的信息填空：两车行驶方向______，出发时刻______（填“相同”或“不同”）； (2)已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点， ①设A，B两地之间的距离为s，则动车行驶完全程所用的时间可表示为______；高铁行驶完全程所用的时间可表示为______； ②求A，B两地之间的距离． 【答案】(1)相同，不同 (2)①；；② 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据车票上的信息即可得到答案； （2）①根据时间等于路程除以速度即可得到答案；②根据两车同时到达终点列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，两车都是从A地开往B地的列车，动车的发车时间为，高铁的发车时间为， ∴两车的行驶方向相同，发车时间不同； （2）解：①由题意得，动车行驶完全程所用的时间为，高铁行驶完全程所用的时间为； ②由题意得，， 解得， 答：A，B两地之间的距离为； 【题型12 比例分配】 【典例】．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，锯成段需要锯次，锯木料的时间与锯的次数成正比可得比例关系． 【详解】∵锯成段需锯：（次），用时分钟， ∵锯成段需锯（次），用时分钟， 由于每次锯木料的时间是固定的，根据锯木料的时间与锯的次数成正比，可得比例关系： ， 故选：B． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了 个零件． 【答案】24 【分析】本题考查了列方程解应用题，设未知数，利用等量关系列方程是解题的关键. 【详解】解：设甲做了个零件，由甲、乙、丙三人做的零件个数比为，则乙做了个零件，丙做了个零件，得： ， 解得：， ， 故答案为： ． 【跟随训练2】．（24-25七年级下·河南郑州·自主招生）刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是，如果再加工个零件就可以完成这批零件的．这批零件一共有多少个？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程应用，找到等量关系是解答本题的关键．设这批零件一共有个，按照比例可用表示出已加工的个数和完成的个数，再根据已加工的再加上个零件就可以完成这批零件的这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这批零件一共有个， 由题意得， ， 解得，， 答：这批零件一共有个. 【跟随训练3】．（24-25七年级上·云南昭通·月考）在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【答案】喜欢“宜居行星”主题的人数是16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据喜欢5大科学主题的人数为48列方程求解即可． 【详解】解：设喜欢“太空格物”主题的人数为，则喜欢“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”主题的人数分别为：、、、． 由题意列方程为： 得：． 答：喜欢“宜居行星”主题的人数是16． 【题型13 日历问题】 【典例】．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图是某月的日历图，用“”型框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设中间的数字为，进而表示出其余6个数字，求和后，使其分别等于选项中的各数，进行求解即可． 【详解】解：设中间的数字为，则其余6个数字分别为， ∴这7个数的和为， A、当时，，存在“”型，不符合题意； B、当时，，存在“”型，不符合题意； C、当时，，不存在“”型，符合题意； D、当时，，存在“”型，不符合题意； 故选C． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在如图所示的月历表中，任意框出同一个竖列上的相邻三个数，算出它们的和是51，则这三个数中最小的数是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这三个数中最小的数为x，则另外两个数为，根据这三个数的和为51建立方程求解即可． 【详解】解：设这三个数中最小的数为x，则另外两个数为， 由题意得，， 解得， ∴这三个数中最小的数是10， 故答案为：10． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）如图是某年11月的月历，请回答下列问题： (1)图中用框数器“”框出的五个数的和是多少？ (2)将框数器“”在图中换个位置框出五个数，记正中间的数为a，则框出的五个数的和是多少？ (3)用框数器“”框出的五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)65 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了月历中的数字规律与一元一次方程的应用，解题的关键是找出框出的五个数与中间数的数量关系． （1）直接计算框出五个数的和； （2）用中间数表示其余四个数，求和化简得和为； （3）根据和与中间数的关系列方程，判断解是否为整数且符合月历实际． 【详解】（1）解：框出的五个数为、、、、，和为． 答：这五个数的和是． （2）解：设正中间的数为，则左上角、右上角、左下角、右下角的数分别为、、、，和为． 答：这五个数的和是． （3）解：假设和为，则， 解得． 是月历中的数，应为整数， 不存在这样的数． 答：这五个数的和不可能等于． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·山西大同·月考）数学活动——月历中的奥秘 如图①是2025年12月份的月历，亮亮在其中任意画出的方框，方框内的数字分别用a，b，c，d表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． (1)【特例探究】计算图①中方框内的结果：______，_______； (2)【推理演绎】亮亮通过特例分析，猜想所有月历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整． 证明：设，则，，． …… 【答案】(1)7，7 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的运算，有理数四则混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由题意可知，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）； 故答案为：7；7； （2）证明：设，则，，， ∴ ； ∴方框内“”的结果都不变． 【题型14古代问题 】 【典例】．（25-26七年级上·全国·期末）程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，设大和尚有人，则小和尚有人，根据馒头总数列方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，由题意， ； 故选C． 【跟随训练1】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）孙子算经中有这样一道题，大意为：今有头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每户共分一头，恰好分完，那么有 户人家． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系后列出方程是解题关键． 设户数为 ，根据题意，每户分一头鹿后剩余 头鹿，剩余鹿按每3户共分一头恰好分完，建立方程求解即可． 【详解】解：设户数为 ，依题意，每户分一头鹿后，剩余鹿为 头．剩余鹿按每3户共分一头，恰好分完， 故有 ， 方程两边同乘3，得 ， 移项，得 ， 解得 ，． 故答案为：75． 【跟随训练2】．（25-26七年级上·四川广安·期中）列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【答案】有7人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．设有人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有人，根据题意得： ， 解得：． 答：人数是7人． 【跟随训练3】．（2025七年级上·全国·专题练习）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是斤，设每个士兵的体重是斤． (1)可列出等量关系：“块条形石的重量”“个士兵的体重”“______块条形石的重量”“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 【答案】(1)， (2)的值是 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据船上条形石块的重量和士兵的个数找到相等关系． (1)根据船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变，可知相等关系是块条形石的重量个士兵的体重块条形石的重量个士兵的体重； (2)根据(1)中的相等关系列方程求解即可； (3)根据条形石块的重量和士兵的重量求出大象的重量． 【详解】（1）解：船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变， 块条形石的重量个士兵的体重块条形石的重量个士兵的体重, 故答案为：，； （2）解：设每个士兵的体重是斤， 根据题意可得：， 解得：； （3）解：由(2)可知一个士兵的体重是斤， 大象的体重是(斤)， 答：大象的重量是斤， 故答案为：6020． 思维导图 过关检测 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）一块长方形草坪的长比宽多，它的周长是，求该长方形草坪的宽．设该长方形草坪的宽为，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握矩形的周长公式，是解题的关键． 设该长方形草坪的宽为，则长为，根据长方形的周长公式列出方程即可. 【详解】解：设宽为，则长为， ∵周长长+宽， ． 即． 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．根据树苗总棵数不变，由两种种树方案列出方程． 【详解】解：设种树的人数为人， ∵每人种10棵，剩下5棵树苗未种， ∴树苗总棵数为； ∵每人种11棵，缺3棵树苗， ∴树苗总棵数为； ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图表中给出的是某月的月历，任意用“H”型框选中7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和可能是（   ） A．60 B．74 C．84 D．98 【答案】C 【分析】本题考查了月历中数字的规律，解题的关键是设出中间数，根据“H型”框中数字的位置关系表示出7个数，进而得出和的表达式． 【详解】解：设“H型”框的中间数为，根据月历数字规律（相邻列差1、相邻行差7）， 7个数为、、、、、、， 其和为，即和是的倍数． A、，（非整数），此选项不符合题意； B、 ，（非整数），此选项不符合题意； C、，，对应数字4、6、11、12、13、18、20均在月历中，此选项符合题意； D、，，14在最左侧一列，此选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C．452 D． 【答案】A 【分析】本题考查钟面角问题，一元一次方程的应用，需根据时针和分针的速度计算重合时间；在时，时针与分针夹角为，分针每分钟转，时针每分钟转，相对速度为，通过追及问题公式求解，即可作答． 【详解】解：依题意，在时，时针位于，分针位于， 则时针与分针夹角为； 设经过t分钟重合，分针需追上时针， ∴， 即， ∴， 故选：A 5．（25-26七年级上·山西大同·月考）直线l上有A，B，C三个点，已知，点D是的中点，且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的有关计算和一元一次方程的应用，分类讨论是解答此题的关键．分两种情况讨论：点A在线段上或点A不在线段上，设，则，然后利用中点性质和列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ①如图，当点A在线段上时，点的顺序为B、A、C， 则， ∵点D是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点A不在线段上时，顺序为A、B、C， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 故选：C． 6．（25-26七年级上·广东惠州·月考）李明同学欲购买一件运动服，打七折比打九折少花30元钱，那么这件运动服的原价为（    ） A．150元 B．300元 C．75元 D．200元 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设这件运动服的原价为x元，根据打七折比打九折少花30元钱列方程解答，正确理解题意是解题的关键． 【详解】设这件运动服的原价为x元， ， 解得， ∴这件运动服原价为元， 故选：A． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发（  ）小时后甲乙相距10千米． A．2或2.5 B．2.5 C．1.5或1.7 D．1.5 【答案】C 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程；设乙出发x小时后甲乙相距10千米，分相遇前和相遇后两种情况列方程求解． 【详解】解：设乙出发x小时后甲乙相距10千米． ∵甲先出发30分钟（0.5小时）， ∴甲行驶时间为小时，甲行驶路程为千米， 乙行驶路程为千米． ①相遇前相距10千米时： 即 ， ； ②相遇后相距10千米时： 即， ， ， ∴或1.7， 故选：C． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了这样一个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：在明代1斤16两，故有“半斤八两”这个成语）．则银子共有（    ）两． A．6 B．42 C．46 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设银子共有两，根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，结合人数不变，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设银子共有两， 根据题意得：， 解得：， ∴银子共有46两． 故选：C． 9．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了 场． 【答案】8 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设胜场数为x，则平场数为，根据积分规则列出方程求解即可． 【详解】解：设这个队胜了x场，则平了场，即场， 根据题意， 解得：； 故这个队胜了8场； 故答案为8． 10．（25-26七年级上·云南昭通·月考）我们知道，无限循环小数可以化为分数．例如将（即0.333…）化为分数：设，则，两式相减得，解得．仿照此方法，将无限循环小数（即）化为分数是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设，则：，两式相减，得到一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：设，则：， 两式相减得， 解得； 故答案为：． 11．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·福建南平·月考）如图，在九宫格中，每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，则字母t表示的数应该是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 设第二行第二列的数为，第三行第二列的数为，根据第二列和第三行的和相等，得，求出；再根据从右上到左下的对角线和第三列的和相等，得，求出． 【详解】解：设第二行第二列的数为，第三行第二列的数为， 由第二列和第三行的和相等，得，化简得， 所以， 由从右上到左下的对角线和第三列的和相等， 设第一行第三列的数为，则， 化简得， 代入，得， 即， 所以， 故答案为：30． 13．（25-26七年级上·浙江温州·月考）如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等，若所列的方程为，则未知数表示 ． 【答案】宽为的长方形纸条的长 【分析】根据题意“两次剪去的长方形纸条面积相等”结合方程可知未知数表示宽为的长方形纸条的长．本题考查了列一元一次方程解应用题，理解方程的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意“两次剪去的长方形纸条面积相等”可知表示宽为的长方形纸条的面积，表示宽为的长方形纸条的面积， 因此所列的方程为，则未知数表示宽为的长方形纸条的长． 故答案为：宽为的长方形纸条的长． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动．他们分工合作，在一架长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为，列车完全在桥上的时间约为．你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗？ 【答案】速度为，车长为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设此列高铁的车长为，利用，结合该列高铁的速度不变，即可得出x的一元一次方程，解之即可求出此列高铁的车长，再将其代入中即可求出此列高铁的车速． 【详解】解：设此列高铁的车长为， 依题意得： 解得： 答：“复兴号”列车过桥时的速度为，车长为． 15．（25-26七年级上·湖北十堰·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)20元 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），先确定用水量属于第二档，再求出水费即可； 对于（2），先确定该用户属于超过用水量，再根据水费相等列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（元）， 所以某户居民1月份用水，应缴水费20元； （2）解：第一档最高水费为（元）； 第二档最高水费为（元）； 可知， 所以该用户用水量超过10，设用水量为x，根据题意，得 ， 解得（）． 所以该用户2月份的用水量为11.5． 16．（25-26七年级上·黑龙江·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______． (3)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【答案】(1)10，2 (2)， (3)时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数为1 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据数轴上两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答； （2）根据路程=时间×速度和数轴上两点间的距离公式解答； （3）根据数轴上两点间的距离公式得到，结合已知条件列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7， ∴，线段的中点表示的数为， 故答案为：10，2； （2）解：点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）， ∴t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； （3）解：由（2）可得t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴P、Q两点相遇时， ∴， 解得， ∴时， ∴， ∴相遇点所表示的数为1 17．（25-26七年级上·河南周口·月考）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品，某家庭制作的粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成．用千克糯米可做个蛋黄肉粽或个碱水粽，现要用千克糯米制作粽子，应用多少千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套． 【答案】应用千克糯米制作蛋黄肉粽 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，分别表示出制作的蛋黄肉粽和碱水粽数量，结合粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成，建立等量关系列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 制作蛋黄肉粽的个数为，制作碱水粽的个数为， 粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成， ， 解得， 答：应用千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套． 18．（25-26七年级上·重庆·期中）某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式，阶梯计价问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用应缴纳气费超出立方米的部分，可用含a的代数式表示出应缴纳气费，结合该年度缴纳气费元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米，分及两种情况考虑，根据小钟家今年共缴纳气费元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当小依家年度用气立方米时，应缴纳气费元， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：，； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米， 当时，， 解得：， ∴（元）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小钟家今年采暖期用气费用为元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $