第11讲 实际问题与一元一次方程（2个知识点+10种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

第11讲 实际问题与一元一次方程（2个知识点+10种题型+过关检测） 知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型一、行程问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙共同登同一座山，甲每分登高10米，并且先出发30分钟，乙每分登高15米，两人同时登上山顶，则山高是（   ）米 A．900 B．1000 C．800 D．600 2．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）王强和张丽同时从甲村出发到乙村，张丽的速度为，王强的速度为，张丽比王强早到12分钟，则甲、乙两村的距离是 ． 3．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）一天，岳悦在翻阅《九章算术》卷第六均输这一章时，发现第一十六题很有意思，他想让班里的同学一起做一做，你有兴趣做吗？ “今有客马日行三百里，客去忘持衣，日己三分之一，主人乃觉．持衣追及与之而还，至家视日四分之三．问主人马不休，日行几何．” 题型二、配套问题(一元一次方程的应用) 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（    ） A．200套 B．201套 C．202套 D．203套 5．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配 人生产螺栓， 人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．（每个螺栓配两个螺帽） 6．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 题型三、工程问题(一元一次方程的应用) 7．（2024七年级上·全国·专题练习）某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）一项工作甲单独做需，乙单独做需，若甲、乙两人合做，需 才能做完． 9．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）一项工程由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，若两人合做天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天． 题型四、销售盈亏(一元一次方程的应用) 10．（24-25七年级上·全国·期末）有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 11．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元． 12．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 题型五、比赛积分(一元一次方程的应用) 13．（23-24七年级上·云南红河·期末）第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 15．（22-23七年级上·广东·单元测试）为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题： (1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？ (2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由． 题型六、方案选择(一元一次方程的应用) 16．（2023·湖南岳阳·二模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 17．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 题型七、数字问题(一元一次方程的应用) 19．（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·江西·阶段练习）把9个数填入方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为 ． 21．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2）．观察图1、图2，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系．在新“幻方”（图3）中，求、的值． 题型八、几何问题(一元一次方程的应用) 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ）． A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 23．（24-25七年级上·重庆·开学考试）一个正方形，如果边长增加3厘米，面积就增加39平方厘米，原来正方形的面积是 平方厘米． 24．（24-25七年级上·全国·期中）已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个数的与2的差等于这个数的一半，这个数是（   ） A．12 B． C．18 D． 26．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的小数点错了一位，则这笔款是 元． 27．（23-24七年级上·全国·单元测试）光明中学共有550名学生，其中八年级学生人数是七年级的1.5倍，九年级学生人数是八年级的2倍，求光明中学九年级学生有多少人？ 题型十、古代问题(一元一次方程的应用) 28．（24-25七年级上·全国·单元测试）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长几尺？如果设木条长尺，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 一、单选题 1．一本故事书，小明看了全书的后，还剩90页没有看，这本故事书的总页数为（    ） A．360 B．120 C．72 D．150 2．某网店安踏牌运动鞋以a元的价格卖出，利润率为20%，则该运动鞋的成本为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．用含盐16%的甲种盐水和含盐25%的乙种盐水，配制成含盐20%的盐水36kg，则需甲种盐水（    ）kg A．20 B．16 C．26 D．10 4．一客轮沿长江从港顺流到达港需6小时，从港逆流到达港需8小时．一天，该客轮从港出发开往港，2小时后，客轮上的一位旅客的帽子不慎调入江中，则帽子漂流到港要（    ）小时． A．48 B．32 C．28 D．24 5．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知水流的速度是，设船在静水中的平均速度为，根据题意列方程（    ）． A． B． C． D． 6．学校组织义务劳动，已知在甲处有人，在乙处有人，现调人去支援，使在乙处的人数是在甲处人数的2倍．设应调往甲处x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．将一件商品按进价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？若设这种商品每件的进价是x元，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 8．某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20％，则该服装的进价是（    ） A．250元 B．300元 C．350元 D．200元 9．我国古代的“九宫格”是由的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算的值是（    ） A． B． C． D． 10．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a，b，c．A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，交换这个两位数的十位数字与个位数字，得到的新两位数比原来的两位数小36，则原来的两位数是 ． 12．如图，把11块相同的小长方体砖块拼成了一个新的大长方体，已知大长方体的棱长总和是188cm，则每一块砖的体积是 cm． 13．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ． 14．如图，长方形中，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿→→运动，最终到达点，点运动的时间为秒． 若，那么 秒时，的面积等于． 15．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱，问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x个人共同买鸡，根据题意，列一元一次方程是 . 16．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了200步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是18.94，则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是 ． 17．如图，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，点A与点B之间的距离记作AB．已知a＝﹣2，b比a大12，则： （1）AB的值是 ； （2）若点M以每秒1个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点B出发沿数轴向左运动．设运动时间是t秒．当点M与点N之间的距离是9时，则t的最大值为 秒． 18．如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm． （1）瓶内溶液的体积为 升； （2）现把溶液全部倒在一个底面为60cm2的圆柱形杯子里，再把瓶子倒放，此时瓶内溶液的高度是圆柱形杯子内溶液高度的6倍．已知瓶子的高度是33cm，则倒入圆柱形杯子内的溶液体积为 ． 三、解答题 19．刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买了一些． 几天后，遇上这种大米8折出售，她又买了一些． 若大米的原价每千克7元，两次一共花费245元，购买了大米，第一次购买了多少大米？ 20．某工厂今年第二季度的工业总产值是1800万元，比第一季度增长了20%，预计第三季度的增长率在第二季度的基础上将提高4个百分点． (1)第一季度的工业总产值是多少万元？ (2)第三季度的工业总产值是多少万元？ 21．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的额温枪，已知购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少20元． (1)若购买一个A种品牌的额温枪a元，则购买一个B种品牌的额温枪__________元；（用含a的代数式表示） (2)若购买A、B两种品牌的额温枪共花费4500元，其中购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，求购买一个A种品牌的额温枪和一个B种品牌的额温枪各需多少元？ (3)由于疫情比预计的时间要长，在（2）的条件下，学校决定第二次购买A、B两种品牌额温枪共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌额温枪售价比第一次购买时提高了8%，B种品牌额温枪按第一次购买时售价的九折出售．如果学校第二次购买A、B两种品牌额温枪的总费用是第一次购买额温枪总费用的70%，求学校第二次购买A种品牌的额温枪多少个？ 22．“垃圾分类”能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境． （1）某小区花费3200元购进A型和B型两种分类垃圾桶共40只，已知A型垃圾桶每只70元，B型垃圾桶每只95元，该小区购进这两种垃圾桶各多少只?（用一元一次方程解） （2）环保公司进驻该小区进行垃圾回收处理，如果把两种垃圾桶分开来处理，A型垃圾桶每只处理费用8元，B型垃圾桶每只处理费用12元；如果把这两种垃圾桶合起来处理，则每只10元试通过计算说明该小区采用哪种处理方案更合算? 23．某学校为了丰富学生课后服务活动的多样性，计划购入A、B两种葫芦丝，某商店A种葫芦丝每支20元，B种葫芦丝每支30元，且购买A种葫芦丝的数量比B种葫芦丝的2倍还多10支，总花费为1950元． (1)求购买A种、B种葫芦丝的数量； (2)该商店在10月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折销售；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折销售；已知该学校在10月1日之前不是该商店的会员．请问购买葫芦丝的花费是多少元时，两种方案的优惠完后花费相同？ (3)若在（1）总花费不变的情况下，选择哪种方案购买合算？可以优惠多少？ 24．今年“直播带货”受到消费者的追捧和信赖，许多商家和店铺也纷纷开设自己的直播间进行销售．已知某店铺利用“直播带货”销售甲、乙两种商品，该店铺第一次用6300元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的一半还多25件． 甲，乙两种商品的进价和售价如下表． 请用方程解决下列问题： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该店铺购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该店铺第二次购进甲、乙两种商品的进价与第一次相同，其中甲商品的件数不变， 乙商品的件数是第一次的3倍， 甲商品按原价销售， 乙商品打折销售． 第二次购．进的两种商品都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元， 求第二次乙商品是按原价打几折销售? 25．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数________；点P表示的数________．（用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q． (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 26．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 长方体 8 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是___________； （3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是___________； （4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 实际问题与一元一次方程（2个知识点+10种题型+过关检测） 知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型一、行程问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙共同登同一座山，甲每分登高10米，并且先出发30分钟，乙每分登高15米，两人同时登上山顶，则山高是（   ）米 A．900 B．1000 C．800 D．600 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确设出未知数找到等量关系列出方程求解是解题的关键．设这座山高x米，根据时间路程速度结合两人同时到达列出方程求解即可． 【详解】解：设这座山高x米， 由题意，得， 解得， ∴这座山高900米． 故选：A． 2．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）王强和张丽同时从甲村出发到乙村，张丽的速度为，王强的速度为，张丽比王强早到12分钟，则甲、乙两村的距离是 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲、乙两村的距离是，根据时间等于路程除以速度，结合张丽比王强早到12分钟列出方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两村的距离是， 由题意得，， 解得， ∴甲、乙两村的距离是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）一天，岳悦在翻阅《九章算术》卷第六均输这一章时，发现第一十六题很有意思，他想让班里的同学一起做一做，你有兴趣做吗？ “今有客马日行三百里，客去忘持衣，日己三分之一，主人乃觉．持衣追及与之而还，至家视日四分之三．问主人马不休，日行几何．” 【答案】日行780里 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键；由题意可设主人骑马日行x里，主人发现时，客人已经骑行了里，主人骑马追上客人的时间=主人骑马往返时间，主人骑马追上客人的时间×日行速度=客人已经骑行路程主人骑马追上客人的时间，列方程计算即可． 【详解】解：由题意可知：主人发现时，客人已经骑行了：（里）， 主人骑马往返时间是（日）， 主人骑马追上客人的时间是：（日）， 设主人骑马日行x里，则有： 解得：； 答：日行780里． 题型二、配套问题(一元一次方程的应用) 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（    ） A．200套 B．201套 C．202套 D．203套 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确用代数式表示生产的甲种零件的个数和乙两种零件的个数及所配成的套数是解题的关键． 设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，由每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套列方程求解即可． 【详解】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个， 根据题意得：，解得：（人）， 所以每天最多生产的配套零件的套数为：套． 故选：A． 5．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配 人生产螺栓， 人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．（每个螺栓配两个螺帽） 【答案】 15 45 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设应分配x人生产螺栓，人生产螺帽，根据“生产的螺栓和螺帽刚好配套，每个螺栓配两个螺帽，”列方程求解即可． 【详解】解：设应分配x人生产螺栓，人生产螺帽， 由题意得，， 解得， ∴（人）， ∴应分配15人生产螺栓，45人生产螺帽， 故答案为：15，45． 6．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【答案】100套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：甲厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 乙厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套． 根据题意可得方程： ， ， ， ； （套）， （套）， 答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套． 题型三、工程问题(一元一次方程的应用) 7．（2024七年级上·全国·专题练习）某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；关系式为：甲4天的工作量甲乙合作天的工作量，把相关数值代入即可求解．找到工作量之间的等量关系解决本题的关键． 【详解】解：甲4天的工作量为：； 甲乙合作其余天数的工作量为：， 可列方程为：， 故选：． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）一项工作甲单独做需，乙单独做需，若甲、乙两人合做，需 才能做完． 【答案】7.5 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙合作小时完成，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙合作需x小时完成， 由题意得：， 解得：， 两人合作，要做7.5小时才能完成． 故答案为：7.5． 9．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）一项工程由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，若两人合做天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天． 【答案】乙还需做天． 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设乙还需做天后，共同完成任务，然后根据“甲、乙合作完成的工程量乙剩下完成的工程量总工程量”，即可得出关于的一元一次方程，即可求解，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设乙还需做天， 由题意得：， 解得：，即乙还需做天， 答：乙还需做天． 题型四、销售盈亏(一元一次方程的应用) 10．（24-25七年级上·全国·期末）有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的销售问题，找出等量关系是解题的关键，设进价为x，则定价为，再根据“后来老板按定价降价以96元出售，”中根据题意得到关于x的方程式，求得现价，比较可得答案． 【详解】解：设进价为x，则定价为， 根据题意得：，即， 解得：， 则， 则这次生意亏4元， 故选：A． 11．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元． 【答案】75 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． 根据两种方式获得的利润相等建立方程，并解方程即可得到结果． 【详解】设这种商品的成本是x元，减价5%则每件减元，可多买 （件）． ，解得． 故答案为：75． 12．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键． 设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可． 【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得： ， 即：， 解得：， 答：至少要生产个产品． 题型五、比赛积分(一元一次方程的应用) 13．（23-24七年级上·云南红河·期末）第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设该球队胜了场，则平了场，根据题意得，读懂题意，列出方程是解题关键． 【详解】解：设该球队胜了场，则平了场， 根据题意列方程为：， 故选：． 14．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 【答案】 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出最低分做对的题目数，再推理第一名做对的题目数即可． 【详解】设最低分做对的题目数题，则做错题， 由题意得，， 解得， ∴低分做对的题目数10题， ∵每个人的得分都不相同， ∴所有另外9个同学的对题数最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19， 因此第一名至少得：（分）， 故答案为：． 15．（22-23七年级上·广东·单元测试）为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题： (1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？ (2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)计算对了道题 (2)不能，理由见详解 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程与积分问题， （1）设计算对了道题，则不答或错了道题，由此列式求解即可； （2）由（1）的数量关系列式得，可得，不符合题意，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设计算对了道题，则不答或错了道题， ∴， 解得，， ∴计算对了道题； （2）解：不能，理由如下， 由（1）可得，， 解得，， ∵为正整数， ∴小明的最后得分不能为， ∴不能． 题型六、方案选择(一元一次方程的应用) 16．（2023·湖南岳阳·二模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 【答案】A 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设人数为x，再根据两种付费的总钱数一样即可求解． 【详解】解：设人数为x， 由题意得： 解得：， ∴该物品价值的钱数为， 故答案选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示． 17．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 【答案】303 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程，再求解．设这个班共有x名同学，根据等量关系：如果每人种6棵树，那么剩余15棵树苗；如果每人种7棵树，那么还差33棵树苗，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个班共有x名同学，依题意有 ， 解得， 棵． 故答案为：303． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 【答案】人 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设此次秋游人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设此次秋游人数为人， 由题意得，， 解得， 答：此次秋游人数为人． 题型七、数字问题(一元一次方程的应用) 19．（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 20．（24-25七年级上·江西·阶段练习）把9个数填入方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为 ． 【答案】2 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．设第三行、第三列的数字为y，根据每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，先求出y的值，进而求解x即可． 【详解】解：设第三行、第三列的数字为y， ∵每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 21．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2）．观察图1、图2，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系．在新“幻方”（图3）中，求、的值． 【答案】， 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程、组的应用以及数学常识．根据新“幻方”每行、每列及对角线的和相等，即可得出关于a，b的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：新“幻方”每行、每列及对角线的和相等， ∴，， 解得：，． 故答案为：，． 题型八、几何问题(一元一次方程的应用) 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ）． A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得： 或找大长方形的长做相等关系得：． ∴①②都正确， 故选：C． 23．（24-25七年级上·重庆·开学考试）一个正方形，如果边长增加3厘米，面积就增加39平方厘米，原来正方形的面积是 平方厘米． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原来正方形的边长为厘米，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设原来正方形的边长为厘米， 由题意得，， 解得， ∴原来正方形的面积为平方厘米， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·全国·期中）已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 【答案】(1)； (2)或 (3)秒或秒或秒或秒 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）根据“路程速度时间”可得，若点从到运动，则点表示的数为；若点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①当时，分点在点的左边和点在点的右边；②当t时，分点在点的左边和点在点的右边，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：；； （2）解：设数轴上点表示的数为， ∵， ∴，即， 若点在点的左边，则，不符合题意， ∴点在线段上和线段的延长线上， 当点在线段上时， 得：， 解得：； 当点在线段的延长线上时， 得：， 解得：； 综上所述，点对应的数为或； （3）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止， ∴点从点到点的运动时间为秒、从点到点的运动时间为秒，点从点到点的运动时间为秒， ∴点从到运动，则点表示的数为；点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为， ①当时，即点从到运动， 若点在点左侧，则， 解得：； 若点在点右侧，则， 解得：； ②当t时，即点从到运动， 若点在点右侧，则， 解得：； 若点在点左侧，则， 解得：； 综上所述，当为秒或秒或秒或秒时，点与点之间的距离为个单位长度． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个数的与2的差等于这个数的一半，这个数是（   ） A．12 B． C．18 D． 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题关键是审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设这个数为x，一个数的与2的差就是：，这个数的一半就是，根据题意列方程解出即可． 【详解】解：设这个数为x， 根据题意列方程得：， 去分母得， 解得：， ∴这个数是． 故选：B． 26．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的小数点错了一位，则这笔款是 元． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设笔款是元，根据现金多了273.6元列方程即可． 【详解】解：设笔款是元，则现在数量为（元）， 由题意可得，， 解得， 答：这笔款是元， 故答案为：． 27．（23-24七年级上·全国·单元测试）光明中学共有550名学生，其中八年级学生人数是七年级的1.5倍，九年级学生人数是八年级的2倍，求光明中学九年级学生有多少人？ 【答案】九年级学生有300人 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设七年级有x人，则八年级有人，九年级有人，根据光明中学共有550名学生再建立方程求解即可． 【详解】解：设七年级有x人，则八年级有人，九年级有人．    ∴， 解得：，      ∴， 答：九年级学生有300人． 题型十、古代问题(一元一次方程的应用) 28．（24-25七年级上·全国·单元测试）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长几尺？如果设木条长尺，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、明确量之间的关系成为解题的关键． 设木条长尺，根据绳子比木条长尺可得绳子长为；再根据将绳子对折再量木条，木条剩余1尺可得，最后根据绳子的长度不变列出方程即可． 【详解】解：设木条长尺， 根据题意可得：． 故选：D． 29．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】2 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 一、单选题 1．一本故事书，小明看了全书的后，还剩90页没有看，这本故事书的总页数为（    ） A．360 B．120 C．72 D．150 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设这本故事书共有x页，根据总页数－已经看的页数＝还没有看的页数，列方程运算即可． 【详解】解：设这本故事书共有x页， 根据总页数－已经看的页数＝还没有看的页数， 列方程为， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，属于基础题，比较简单，根据题意列出合适的方程是解题的关键． 2．某网店安踏牌运动鞋以a元的价格卖出，利润率为20%，则该运动鞋的成本为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设该运动鞋的成本为x元，根据利润＝售价﹣成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可用含a的代数式表示出x的值． 【详解】解：设该运动鞋的成本为x元， 依题意得：a﹣x＝20%x， 解得：x＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．用含盐16%的甲种盐水和含盐25%的乙种盐水，配制成含盐20%的盐水36kg，则需甲种盐水（    ）kg A．20 B．16 C．26 D．10 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】设需要甲种盐水xkg，则需要乙种盐水（36﹣x）kg，根据配制前后盐水中含盐的总质量不变，即可得出关于x的一元一方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设需要甲种盐水xkg，则需要乙种盐水（36﹣x）kg， 依题意得：16%x+25%（36﹣x）＝20%×36， 解得：x＝20， ∴需要甲种盐水20kg． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 4．一客轮沿长江从港顺流到达港需6小时，从港逆流到达港需8小时．一天，该客轮从港出发开往港，2小时后，客轮上的一位旅客的帽子不慎调入江中，则帽子漂流到港要（    ）小时． A．48 B．32 C．28 D．24 【答案】B 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设A港到B港的路程为1，由路程÷时间=速度就可以求出顺水速度和逆水速度，进而求出水速，设帽子漂流到B港需要的时间是x小时，根据行程问题的数量关系建立方程求其出其解即可． 【详解】解：设A港到B港的路程为1，则顺水速度为，逆水速度为，水流速度为． 设帽子漂流到B港需要的时间是x小时， 由题意得：， 解得：x=32． 故选：B． 【点睛】本题考查理论航行问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键． 5．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知水流的速度是，设船在静水中的平均速度为，根据题意列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意得出船顺流而行的速度和船逆流而行的速度，继而根据速度乘以时间所得路程相等即可列一元一次方程． 【详解】设船在静水中的平均速度为，已知水流的速度是，则船顺流而行的速度是（x+3）km /h，船逆流而行的速度是（x－3）km /h， 根据题意列方程： 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象概括出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．学校组织义务劳动，已知在甲处有人，在乙处有人，现调人去支援，使在乙处的人数是在甲处人数的2倍．设应调往甲处x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题关键． 设应调往甲处x人，则调往乙处人，根据支援后乙处的人数是在甲处人数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设应调往甲处x人，则调往乙处人， 由题意可得 故选：B． 7．将一件商品按进价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？若设这种商品每件的进价是x元，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，先求出实际售价为元，再根据利润售价进价列出方程即可． 【详解】解：设这种商品每件的进价是x元， 由题意得，， 故选；C． 8．某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20％，则该服装的进价是（    ） A．250元 B．300元 C．350元 D．200元 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设该服装每件的进价为a元，根据六折销售这件服装仍可获利20%，列方程求解． 【详解】解：设这件服装每件的进价为a元，依题意有， （1+20%）a=400×0.6， 解得a=200， ∴该服装每件的进价为200元． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 9．我国古代的“九宫格”是由的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】如图，设第2列中间的数为 第3列最下面的数为 再由求解的值，再利用求解即可. 【详解】解：如图，设第2列中间的数为 第3列最下面的数为 则 故选D 【点睛】本题考查的是九宫格问题，利用一元一次方程解决九宫格问题是解题的关键. 10．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a，b，c．A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故选：B． 二、填空题 11．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，交换这个两位数的十位数字与个位数字，得到的新两位数比原来的两位数小36，则原来的两位数是 ． 【答案】84 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．首先设个位数字为，则十位数字为，则原两位数可表示为，数字对调后所得两位数是，再根据“将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36”列得方程，解方程即可求解． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，由题意得： ， 解得：， 则， 答：原两位数是84． 故答案为：84． 12．如图，把11块相同的小长方体砖块拼成了一个新的大长方体，已知大长方体的棱长总和是188cm，则每一块砖的体积是 cm． 【答案】288 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设小长方体的长、宽、高分别为a、b、h，则， ，从而得到，，再由大长方体的棱长总和是188cm，列出方程，解出即可求解． 【详解】解：设小长方体的长、宽、高分别为a、b、h，则， ， ∴，， ∵大长方体的棱长总和是188cm， ∴， 即， 解得：， 所以（厘米），（厘米）， ∴每块小长方体砖的体积是：（立方厘米）． 故答案为：288 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 13．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】6x+14=8x 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，即可． 【详解】解：设有牧童x人， 根据题意得：6x+14=8x， 故答案是：6x+14=8x． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 14．如图，长方形中，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿→→运动，最终到达点，点运动的时间为秒． 若，那么 秒时，的面积等于． 【答案】5 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】分析题意可知有两种情况，即点P在上，上；再根据分上述两种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可． 【详解】解：①如图1， 当P在上时，， ∵，不符合题意，应舍去， ②当P在上时，，如图2， ∵的面积等于5， ∴， ∴， 解得． 综上可知，当时，的面积等于． 故答案为：5． 【点睛】本题考查长方形的性质和三角形的面积公式的应用，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 15．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱，问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x个人共同买鸡，根据题意，列一元一次方程是 . 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查考查由实际问题抽象出一元一次方程，可设有个人共同买鸡，等量关系为：买鸡人数买鸡人数，即可解答． 【详解】解：设有个人共同买鸡，可得：， 故答案为：． 16．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了200步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是18.94，则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是 ． 【答案】 【知识点】数轴上的动点问题、数字类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动2次相对于原数的规律是解题的关键．根据题意易得每跳动2次，向右平移1个单位，跳动200次，相当于在原数的基础上加了100，据此求解即可． 【详解】解：设点所对应的数为， 由题意得，每跳动2次，向右平移1个单位，跳动200次，相当于在原数的基础上加了100， 则，解得， 即电子跳蚤的初始位置点所表示的数为． 故答案为：． 17．如图，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，点A与点B之间的距离记作AB．已知a＝﹣2，b比a大12，则： （1）AB的值是 ； （2）若点M以每秒1个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点B出发沿数轴向左运动．设运动时间是t秒．当点M与点N之间的距离是9时，则t的最大值为 秒． 【答案】 12 7 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据已知条件列出算式-2+12计算求得b的值，再计算即可求解； （2）根据左减右加列式计算即可求解，分两种情况：①相遇前；②相遇后；列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵a＝﹣2，b比a大12， ∴-2+12=10． ∴AB=10-(-2)=12 故答案为：12； （2）M点到达的位置表示的数为-2+t，N点到达的位置表示的数为10-2t； 相遇前：（10-2t）-（-2+t）=9， 解得t=1； 相遇后：（-2+t）-（10-2t）=9， 解得t=7． 综上，当M与N之间的距离是9时，t的最大值为7秒． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式，解题时同时注意数形结合思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 18．如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm． （1）瓶内溶液的体积为 升； （2）现把溶液全部倒在一个底面为60cm2的圆柱形杯子里，再把瓶子倒放，此时瓶内溶液的高度是圆柱形杯子内溶液高度的6倍．已知瓶子的高度是33cm，则倒入圆柱形杯子内的溶液体积为 ． 【答案】 0.8 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设瓶内溶液的体积为升，则空余部分的体积为升，根据瓶子的容积为1升，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）可设倒入圆柱形杯子内的溶液体积为，瓶内剩余体积为，瓶子的底面积为，以高为等量关系，列出方程计算即可求解． 【详解】解：（1）设瓶内溶液的体积为升，则空余部分的体积为升， 依题意得：， 解得：． 答：瓶内溶液的体积为0.8升． 故答案为：0.8； （2）设倒入圆柱形杯子内的溶液体积为，瓶内剩余体积为， 瓶子的底面积为， 方法， 解得． 方法2：依题意有， 解得． 故倒入圆柱形杯子内的溶液体积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及认识立体图形，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）以高为等量关系求解． 三、解答题 19．刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买了一些． 几天后，遇上这种大米8折出售，她又买了一些． 若大米的原价每千克7元，两次一共花费245元，购买了大米，第一次购买了多少大米？ 【答案】15千克． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第一次购买了千克大米，则第二次购买千克大米，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设第一次购买了千克大米，则第二次购买千克大米． ， 解得， 答：第一次购买了15千克大米． 20．某工厂今年第二季度的工业总产值是1800万元，比第一季度增长了20%，预计第三季度的增长率在第二季度的基础上将提高4个百分点． (1)第一季度的工业总产值是多少万元？ (2)第三季度的工业总产值是多少万元？ 【答案】(1)第一季度的工业总产值是1500万元； (2)第三季度的工业总产值是2232万元． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设第一季度的工业总产值是万元，根据第二季度的产值比第一季度增长了，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据第三季度的增长率在第二季度的基础上将提高4个百分点，即可求出结论． 【详解】（1）解：设第一季度的工业总产值是万元， 依题意，得：， 解得：． 答：第一季度的工业总产值是1500万元； （2）解：（万元）． 答：第三季度的工业总产值是2232万元． 21．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的额温枪，已知购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少20元． (1)若购买一个A种品牌的额温枪a元，则购买一个B种品牌的额温枪__________元；（用含a的代数式表示） (2)若购买A、B两种品牌的额温枪共花费4500元，其中购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，求购买一个A种品牌的额温枪和一个B种品牌的额温枪各需多少元？ (3)由于疫情比预计的时间要长，在（2）的条件下，学校决定第二次购买A、B两种品牌额温枪共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌额温枪售价比第一次购买时提高了8%，B种品牌额温枪按第一次购买时售价的九折出售．如果学校第二次购买A、B两种品牌额温枪的总费用是第一次购买额温枪总费用的70%，求学校第二次购买A种品牌的额温枪多少个？ 【答案】(1) (2)购买一个A种品牌的额温枪需要元，购买一个B种品牌的额温枪需要元 (3)学校第二次购买A种品牌的额温枪个 【知识点】用代数式表示式、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少20元，即可得到结果； （2）设购买一个A种品牌的额温枪元，则购买一个B种品牌的额温枪需要元，根据等量关系：“购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，共花费4500元”，列出方程求解即可． （3）设学校第二次购买A种品牌的额温枪个，则购买B品牌的额温枪个，根据等量关系：“学校第二次购买A、B两种品牌额温枪的总费用是第一次购买额温枪总费用的70%”，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少20元． ∴如果购买一个A种品牌的额温枪元，则购买一个B种品牌额温枪元； 故答案为： （2）解：设购买一个A种品牌的额温枪需要元，则购买一个B种品牌的额温枪需要元， 依题意得：， 解得：， ∴（元）， 答：购买一个A种品牌的额温枪需要元，购买一个B种品牌的额温枪需要元． （3）解：设学校第二次购买A种品牌的额温枪个，则购买B品牌的额温枪个， 依题意得：， 解得：， 答：学校第二次购买A种品牌的额温枪个． 【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，设相应的未知数，根据等量关系列出方程是解本题的关键． 22．“垃圾分类”能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境． （1）某小区花费3200元购进A型和B型两种分类垃圾桶共40只，已知A型垃圾桶每只70元，B型垃圾桶每只95元，该小区购进这两种垃圾桶各多少只?（用一元一次方程解） （2）环保公司进驻该小区进行垃圾回收处理，如果把两种垃圾桶分开来处理，A型垃圾桶每只处理费用8元，B型垃圾桶每只处理费用12元；如果把这两种垃圾桶合起来处理，则每只10元试通过计算说明该小区采用哪种处理方案更合算? 【答案】（1）小区购进A型垃圾桶24只，B型垃圾桶为16只；（2）该小区采用垃圾桶分开处理划算． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，找出“购进A型垃圾桶的花费+购进B型垃圾桶的花费=3200元”为等量关系，设小区购进A型垃圾桶x只，则将相关数量用代数式表示，列出方程求解即可； （2）根据（1）中所求的两种分类垃圾桶的数量，分别求出分开处理和合起来处理所需的费用，进行比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设小区购进A型垃圾桶x只，则购进B型垃圾桶为只，由题意得： ， 解得：， 则． 答：小区购进A型垃圾桶24只，B型垃圾桶为16只． （2）分开处理所需的费用：（元）， 合起来处理所需的费用：（元）， ∵， ∴该小区采用垃圾桶分开处理划算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是弄清题意，准确找出题目中的等量关系，列方程求解． 23．某学校为了丰富学生课后服务活动的多样性，计划购入A、B两种葫芦丝，某商店A种葫芦丝每支20元，B种葫芦丝每支30元，且购买A种葫芦丝的数量比B种葫芦丝的2倍还多10支，总花费为1950元． (1)求购买A种、B种葫芦丝的数量； (2)该商店在10月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折销售；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折销售；已知该学校在10月1日之前不是该商店的会员．请问购买葫芦丝的花费是多少元时，两种方案的优惠完后花费相同？ (3)若在（1）总花费不变的情况下，选择哪种方案购买合算？可以优惠多少？ 【答案】(1)购买A种葫芦丝的数量为支，购买B种葫芦丝的数量为支； (2)购买葫芦丝的花费是1120元时，两种方案的优惠完后花费相同； (3)选择方案一购买合算，可以优惠元． 【知识点】用代数式表示式、其他问题(一元一次方程的应用)、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法和减法的应用，根据题意找出数量关系是解题关键． （1）设购买B种葫芦丝的数量为支，则购买A种葫芦丝的数量为支，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设购买葫芦丝的花费是元，根据优惠方案列代数式，再根据优惠后花费相同列一元一次方程求解即可； （3）根据（2）所得函数关系式，分别求出两种方案优惠后的花费，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买B种葫芦丝的数量为支，则购买A种葫芦丝的数量为支， 由题意得：， 解得：， 支， 答：购买A种葫芦丝的数量为支，购买B种葫芦丝的数量为支； （2）解：设购买葫芦丝的花费是元， 则按方案一购买的花费为；按方案二购买的花费为， 两种方案的优惠完后花费相同， ， 解得：， 即购买葫芦丝的花费是1120元时，两种方案的优惠完后花费相同； （3）解：若（1）总花费不变， 选择方案一优惠后花费为元， 选择方案二优惠后花费为元， ， 选择方案一购买合算， 元， 即选择方案一购买合算，可以优惠元． 24．今年“直播带货”受到消费者的追捧和信赖，许多商家和店铺也纷纷开设自己的直播间进行销售．已知某店铺利用“直播带货”销售甲、乙两种商品，该店铺第一次用6300元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的一半还多25件． 甲，乙两种商品的进价和售价如下表． 请用方程解决下列问题： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该店铺购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该店铺第二次购进甲、乙两种商品的进价与第一次相同，其中甲商品的件数不变， 乙商品的件数是第一次的3倍， 甲商品按原价销售， 乙商品打折销售． 第二次购．进的两种商品都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元， 求第二次乙商品是按原价打几折销售? 【答案】(1)该店铺购进甲种商品150件，则购进乙种商品100件 (2)第二次乙商品是按原价打9折销售 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用： （1）根据题意和表格中的数据可知：甲种商品的利润+乙种商品的利润，然后列出相应的方程求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）设该店铺购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：该店铺购进甲种商品150件，则购进乙种商品100件； （2）设第二次乙商品是按原价打a折销售，由题意可得： ， 解得， 答：第二次乙商品是按原价打9折销售． 25．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数________；点P表示的数________．（用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q． (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】(1)；； (2)秒或秒时，P、Q之间的距离恰好等于4； (3)点P运动15秒时，追上点Q； (4)不变，图形见解析，长度为． 【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）利用数轴的性质，即可得到答案； （2）设运动秒时， P、Q之间的距离恰好等于4，根据题意列方程求解即可得到答案； （3）设点P运动秒时，追上点Q，根据题意列方程求解即可得到答案； （4）分两种情况讨论：①点P在A、B两点之间运动；②点P运动到点B左侧，利用线段中点和线段的和差即可得到线段的长度． 【详解】（1）解：点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， 点B表示的数为， 动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 设运动时间为秒， 点P表示的数， 故答案为：；； （2）解：设运动秒时， P、Q之间的距离恰好等于4， 根据题意，得或， 解得：或， 答：若点P、Q同时出发，秒或秒时，P、Q之间的距离恰好等于4； （3）解：设点P运动秒时，追上点Q， 根据题意，得：， 解得：， 答：若点P、Q同时出发，点P运动15秒时，追上点Q； （4）解：M为的中点，N为的中点， ，， ①当点P在A、B两点之间运动时， ； ②当点P运动到点B左侧时， ， 线段的长度不发生变化，长度为． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意画出图形，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 26．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 长方体 8 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是___________； （3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是___________； （4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 【答案】（1）4，6，6，6；（2）；（3）20；（4）14 【知识点】几何体中的点、棱、面、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据上面多面体模型，直接计数可得答案； （2）根据表格中多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）归纳可得答案； （3）设这个多面体的面数为，则顶点数为： 再根据列方程，解方程可得答案； （4）先求解多面体的棱的总数，再根据求解多面体的面数，从而可得的值. 【详解】解：（1）根据上面多面体模型，可得： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 长方体 8 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 故答案为：4，6，6，6； （2）从以上表格数据归纳可得：顶点数（V）+面数（F）=棱数（E）+2， 即：. 故答案为： （3）设这个多面体的面数为，则顶点数为： 即这个多面体的面数为 故答案为： （4） 简单多面体的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，有24个顶点，每个顶点处都有3条棱． 共有条棱， 设总面数为： 即 【点睛】本题考查的是简单多面体的顶点数（V），面数（F），棱数（E）之间的关系，考查探究规律分基本方法，以及应用规律解决实际问题，掌握从具体到一般探究规律的方法及运用规律是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$