第一章 三角形的证明 单元综合测试卷2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明单元综合测试卷 一、单选题 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 根据直角三角形两锐角互余的性质求解． 【详解】解：∵直角三角形两锐角互余， ∴另一个锐角． 故选：C． 2．若一个三角形中有两个角之和等于第三个角，则这个三角形是（    ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理及直角三角形的判定．根据三角形内角和定理，结合条件两个角之和等于第三个角，结合三角形内角和定理得出第三个角为，从而确定三角形类型． 【详解】解：设三角形三个角为、、，且满足， ， （代入）， 即， ， 因此，三角形为直角三角形， 故选：B． 3．某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 4．如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合即可求解，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键，根据等腰三角形“三线合一”性质得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即，（等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合）， 即得出旗杆的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 5．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理将已知条件进行代换是解题的关键． 利用三角形内角和定理，将给定条件代入即可求解． 【详解】∵ （三角形内角和定理），（已知）， ∴， 即， ∴． 故选：A． 6．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 7．下列命题中是真命题的是（　　） A．与三角形三个顶点距离相等的点是三条内角平分线的交点 B．若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 C．等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 D．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及角平分线的性质判断即可． 【详解】解：A、与三角形三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点，故选项A不是真命题； B、若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，故选项B是真命题； 理由：如图，是的外角，平分，． ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． C、等腰三角形的底边的高、底边的中线、顶角平分线三线合一，故选项C不是真命题； D、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故选项D不是真命题． 故选：B． 8．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 9．如图，的面积为10，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线，为上任意一点，点为的中点，连接，，则长度的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． ∴的最小值为5． 故选：D． 10．如图，在中，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据，求出，再证，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故选：A． 二、填空题 11．在中，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定：等角对等边．根据等角对等边即可得到． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：4． 12．“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 ． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查逆命题，将原命题的题设和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形； 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 13．如图，的外角是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查三角形外角的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据三角形外角的定义进行判断即可． 【详解】解：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， 是中的一边与另一边的延长线组成的角， 是中的一边与另一边的延长线组成的角， 是中的一边与另一边的延长线组成的角， 则图中的外角为，，， 故答案为：，，． 14．如图，，平分，于点M，点N是射线上的一个动点，若，则线段长的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点P作于点H，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点P作于点H，如图所示： ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， 根据点到直线垂线段最短可知：线段长的最小值即为的长， ∴线段长的最小值是2； 故答案为2． 15．如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为 ． 【答案】64 【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠，得到，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质，角的和差关系，求出的度数，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：64． 16．如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质得到，，平分，，再证明和，加上，从而可对①进行判断；根据全等三角形的性质，由得到，则可对②进行判断；由得到，即，根据垂线段最短的性质，从而可对③进行判断；由得到，利用等量代换得到，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，，O是边上的中点， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图中共有3对全等三角形，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为①②④． 三、解答题 17．已知如图，，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，全等三角形对应边相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）根据全等三角形对应角相等可得，，再利用三角形的内角和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ，， ， ． 18．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 利用基本作图作的垂直平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，由于，所以，再根据等腰三角形的性质得到，所以为等腰直角三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 20．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 21．已知：如图，在中，，是的平分线，是边上的中线，是边上的高．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的高，角平分线，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据角平分线定义得出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，最后即可得出答案． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 22．如图，在中，平分交于，交于，过作，垂足为，并交延长线于． (1)求证：； (2)请猜想与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用相关性质找准角度之间的数量关系是解题关键． （）根据角平分线的定义和平行线的性质，推出，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； （）根据垂直平分线的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，然后根据三角形外角的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 证明：∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 23．“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形．如图，，，， (1)如图①求证：； (2)如图②，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质． (1)根据可证，利用可证； (2)根据可证，，根据中点的定义可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，， ； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下： ， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． 24．在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线综合运用这些知识点是解题关键． （1）过作交于，过作交于，根据角平分线的性质及三角形面积法求解即可． （2）过点作，交于点，先推导得到，证明，得到，然后证明，得到，最后通过等量替换完成证明． 【详解】（1）解：过作交于，过作交于，如图所示， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的面积为． （2）证明：过点作，交于点，如图所示： ∴，， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明单元综合测试卷 一、单选题 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．若一个三角形中有两个角之和等于第三个角，则这个三角形是（    ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 3．某学校内有三条主干道，分别连接教学楼A、实验楼B、图书馆C，形成了一个如图所示的三角形区域，学校计划在这个三角形区域内修建一个校园超市，要求校园超市到三条主干道的距离都相等，那么这个校园超市应建在的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 4．如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 5．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 7．下列命题中是真命题的是（　　） A．与三角形三个顶点距离相等的点是三条内角平分线的交点 B．若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 C．等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 D．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 8．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，的面积为10，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线，为上任意一点，点为的中点，连接，，则长度的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 10．如图，在中，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，则 ． 12．“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 ． 13．如图，的外角是 ． 14．如图，，平分，于点M，点N是射线上的一个动点，若，则线段长的最小值是 ． 15．如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为 ． 16．如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 三、解答题 17．已知如图，，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 18．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 19．如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 20．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：是等腰三角形． 21．已知：如图，在中，，是的平分线，是边上的中线，是边上的高．求证：． 22．如图，在中，平分交于，交于，过作，垂足为，并交延长线于． (1)求证：； (2)请猜想与的大小关系，并证明你的结论． 23．“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形．如图，，，， (1)如图①求证：； (2)如图②，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 24．在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $