培优点20：同构函数【知识梳理+题型突破训练】讲义-2026届高三数学二轮复习专题

该高中数学讲义聚焦高考导数综合题核心工具同构函数，覆盖地位同等、指对跨阶、零点同构三类高频题型，按定义本质场景例题方法的逻辑层次展开，通过考点梳理方法指导真题训练三环节，帮助学生系统构建同构解题框架。 讲义独创四步骤解题法，如地位同等型通过变量识别结构归一构造母函数单调性转化，培养数学眼光与思维，设分层练习适配不同学生，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点20：同构函数】 【知识拓展】 同构函数是导数综合题的核心解题工具，其本质是通过等价变形，将不等式、方程中的复杂结构转化为“同一函数模型”，再利用函数的单调性、最值等性质求解·二轮复习重点突破三类高频同构型 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：地位同等同构型】 【核心归纳】 1.定义：当题干中出现两个地位平等的变量（如；；等），且等式或不等式经整理后，两边具有完全一致的结构时，可判定为地位同等同构型· 2.核心本质：利用“结构同源性”构造单调函数，将双变量问题转化为单变量函数的单调性应用问题· 3.常见场景：双变量不等式恒成立、双变量等式求关系、比较大小等· （2025·四川凉山·一模）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】化简题目条件得，构建函数，因为是正实数，故此函数单调递增，得到，代入，求导分析其最值. 【详解】由， 整理得， 化简得：， 设函数，可知函数在内单调递增， 由可得，即，代入得， 令， 令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 故当 时， 取得最小值，此时 ，最小值为. 故答案为： （2025高二上·黑龙江大庆·专题练习），且，不等式恒成立，则的取值范围为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】设对原不等式进行变形得到，令函数，不等式等价为，即在上单调递减.再利用导数结合单调递减充要条件，得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】设（且），原不等式可变形为： ，整理得，即”， 令函数，，则上述不等式等价于， 即在上单调递减； 又，则在上恒成立， 因（），故等价于. 令，，则， 因且时，故，即在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围为. 故答案为：. （24-25高二下·广东深圳·期末）若、都有，则实数a的取值范围是（    ）经典例题3例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设，则不等式可化为，即 ，可知函数在上单调递增，则恒成立，所以恒成立，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】不妨设，则不等式可化为， 整理得， 则函数在上单调递增， 故恒成立，所以恒成立. 令，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 故，所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【规律方法总结】 1.解题四步骤： ①识别变量地位：判断两个变量是否无主次之分（如题干未限定或）· ②结构变形归一：对等式/不等式两边进行移项、通分、因式分解等变形，目标是使两边呈现“”或“”的结构（为构造的母函数）· ③构造单调母函数：优先构造常见单调函数，如、、等，通过求导验证单调性· ④利用单调性转化：若单调递增，则，；若单调递减，则对应关系反向· 2.典型变形技巧： ①若出现，两边同除以（），变形为，构造· ②若出现，移项变形为，构造· 3.易错点提醒：变形时需注意变量取值范围（如分母不为0、对数真数大于0），避免因变形扩大或缩小定义域· 4.名师点睛：地位同等同构型的关键是“去差异、找共性”，变形的核心目标是让两个变量分别处于相同的函数“框架”内· （2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. （2020·全国I卷·高考真题）若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以 ， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. （2025·四川泸州·模拟预测）若实数满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原方程等价于，令，利用导数求出其最大值为零后可得的值，从而可得正确的选项. 【详解】由题意，得， 令，则有， 又，故， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 又，故，所以， 所以. 故选：D. 【热点题型2：指对跨阶同构型】 【核心归纳】 1.定义：题干中同时出现指数函数（）与对数函数（），形成“指数-直线-对数”三阶结构，无法直接求解，需通过同构转化为二阶结构的题型· 2.核心本质：利用对数恒等式（如、）实现指对互化，将跨阶结构统一为同一母函数的结构· 3.常见场景：含参恒成立求参数范围、指对混合不等式证明、函数最值求解等· （2025·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. （2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（   ）经典例题2例题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】别求得和，得出的单调性，作出函数的图象，得到或，求得，再由指数幂与对数的同构化简，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增； 又由，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 画出函数，和的图象，如图所示， 可得或， 可得， 又由， ①当时， 即，可得，即， 所以，所以. ②又由，可得，即， 所以，所以， 综上可得：. 故选：A. （2025·浙江丽水·一模）若关于的方程恰有四个不同的实根，则（　　）经典例题3例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得或，构造函数，则，结合导数可得函数性质，从而得到与的根的关系，即可得间关系，从而可得与间关系；再借助作差法，结合导数计算可得与关系，即可得解. 【详解】由，则或， 则或，令，则， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 又当时，，， 故当或时，仅有一根，当时，有两根， 又，则最多有两根， 由题意可得与共有四个不同根， 故，设两根分别为、，且， 则两根分别为、，则， 则有或， 若，则、、、， 若，则、、、， 故，， 由，则，即有，故D正确，C错误； ，， 则， 令，则， 则当时，，则在上单调递增， 由，则，即， 即，即有，故A、B错误. 故选：D. 【规律方法总结】 1.核心原则：构造“指对跨阶母函数”，需满足两个条件：①同时包含指数或对数结构；②单调性、最值易求· 2.三大常见母函数及适用场景： ①：适用于“积型”跨阶式（如）· ②：适用于“商型”跨阶式（如）· ③：适用于“和差型”跨阶式（如）· 3.典型同构模式（含变形技巧）： ①积型：（） 同左构造：，令（单调递增），则转化为· 同右构造：，令（时单调递增），则转化为· 取对构造：，令（单调递增），则转化为· ②商型：（） 同左构造：，令（时单调递增），则转化为· 同右构造：，令（时单调递增），则转化为· ③和差型：（） 变形构造：左边，右边变形为，令（单调递增），则不等式转化为· 4.必备变形公式（名师高频推荐）： ①（）；②；③（）；④· 5.解题关键：观察式子中指数与对数的“位置特征”，优先选择“少变形、易构造”的母函数，避免过度变形增加计算量· （2025·全国·模拟预测）若时，，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，令，由已知可得，设，利用导数可得函数在上s单调递增，且有，从而得，，令，，利用导数求出函数的取值范围，即可得答案. 【详解】，即. 设，则. 由，得. 设，则， 所以在上单调递增， 由知，所以， 即，，，所以. 设，，则， 所以在单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. （25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数变形，构造等价函数令，则，求导判断单调性求得仅有两个零点，问题转化为方程和共有4个根，令，利用导数分析单调性和最值求解. 【详解】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：C. （2025·湖南郴州·一模）已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】将题干条件整理变形，可得，构造函数，可得的单调性，进而可得，构造函数，利用导数可得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】由，得， 即， 所以， 设，则， 所以在上单调递增， 又， 所以，即恒成立， 设， 所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以，解得，则实数的最大值为. 故答案为： 【热点题型3：零点同构型】 【核心归纳】 1.定义 若函数的零点满足方程中同时含指数项（）与对数项（），且可通过等价变形将方程转化为或（为常数/参数）的形式，其中为“同构母函数”，、为含的表达式，此类零点问题称为指对同构零点型·核心特征是“指对共存、结构可同源转化”· 2.核心本质 通过指对互化（利用对数恒等式、等）、代数配凑等变形，剥离零点方程中的“非同源结构”，提炼出相同的函数框架（母函数），将复杂的指对跨阶零点问题，转化为母函数的单调性、值域、零点唯一性等基础问题，实现“化繁为简、化未知为已知”· 3.适用场景 ①含参指对混合方程零点存在性问题（如“方程有零点，求参数范围”）； ②指对零点方程中参数值求解（如“已知方程有特定零点，求参数”）； ③零点相关表达式值的求解（如“已知零点满足某条件，求含零点式子的值”）； ④指对混合方程零点唯一性问题（如“方程有唯一零点，求参数”）· 4.核心前提 ①变形等价性：同构变形过程中需保证定义域不变（如对数真数>0、分母≠0），避免因变形扩大/缩小定义域导致零点漏判； ②母函数可解性：构造的母函数需具备单调性明确、极值/值域易求、零点特征清晰等特点，优先选择常见基础函数· （23-24高二下山东菏泽期中）已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数的零点转化成方程的根，构造函数，再通过同构，构造函数，利用单调性求出的值域，进而得出的值域，从而求出结果. 【详解】因为，由，得到，所以， 令，令，则在区间上恒成立， 即函数在区间上单调递增，又时，，时，，即， 所以，所以，当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，且当时，，当时，， 又因函数有两个不同的零点，所以，即. 故选：.C 【规律方法总结】 1.核心变形技巧（指对互化与同源配凑） 指对同构的关键是“找到同源结构”，常用变形方向围绕“指数化对数、对数化指数”展开，核心技巧如下： ①对数恒等式转化（核心工具）： 对数化指数：，可将对数项转化为指数项的自变量，如； 指数化对数：，可将指数项转化为对数项的自变量，如； 复合转化：、，实现“指对项合并为单一指数/对数结构”· ②同源配凑变形（常用模式）： 模式1：，配凑出的同源结构； 模式2：，配凑出与的关联结构； 模式3：，配凑出的同源结构· 2.常用母函数选择与适用场景 母函数的选择直接决定解题效率，需根据变形后的同源结构匹配，以下是指对同构零点型的高频母函数及适用场景： ①： 适用场景：含、的同源结构，如方程； 核心性质：在单调递减，单调递增，最小值为，零点唯一（无零点，可用于判断方程解的存在性）· ②： 适用场景：含、的同源结构，如方程； 核心性质：在单调递减，单调递增，最小值为，当时单调递增且无零点，时存在唯一负零点· ③： 适用场景：含、的同源结构，如方程； 核心性质：在上单调递增（导数恒成立），零点唯一，可直接通过“”转化方程· ④（）： 适用场景：含、（可转化为）的同源结构，如方程； 核心性质：在单调递增，单调递减，最大值为，可用于判断含参方程零点个数· 3.通用解题步骤 针对指对同构零点型问题，可遵循“识别结构→等价变形→构造母函数→利用性质求解”四步流程，具体拆解如下： ①识别结构：判断方程是否含“与共存”的特征，明确问题目标（求参数范围/表达式值/零点唯一性）； ②等价变形：利用对数恒等式、配凑法，将方程转化为“”或“”的形式，确保变形过程等价（定义域不变）； ③构造母函数：根据变形后的同源结构，选择高频母函数（如、），分析母函数的单调性、极值、值域、零点特征； ④利用性质求解： 若为：因母函数单调，直接得，转化为简单方程求解； 若为：通过母函数的值域确定的取值范围（方程有零点的条件），或根据母函数单调性确定零点唯一性； 若含参数：将参数分离到方程一侧，转化为“母函数值域=参数范围”的问题，规避参数对单调性分析的干扰· 4.易错点提醒与避坑技巧 ①变形不等价风险：如将变形为时，需注意（对数定义域），且不是原方程零点，避免定义域扩大； ②母函数选择不当：优先选择单调母函数（如），可直接转化“”，减少复杂分析；若选择非单调母函数，需额外判断定义域分段； ③忽略隐零点代换：当方程变形后出现“”“”等隐零点条件时，需及时代换化简表达式（如），避免复杂运算； ④参数分离边界：当参数分离后分母可能为0时，需单独讨论分母为0的情况（如时的特殊值），避免漏解· 5.名师点睛 指对同构零点型的核心是“找共性、凑同源”，解题时无需纠结复杂的指对运算，重点关注“哪些结构可以转化为同一函数框架”·建议熟记高频母函数的性质（单调性、极值）和典型变形模式（如），通过多练同类题型形成“见式知构”的敏感度·对于含参问题，优先采用“参数分离+母函数值域”的思路，可大幅降低解题难度· （2025高三全国专题练习）已知是函数的零点，则 ．小试牛刀1 【答案】2 【分析】根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解. 【详解】根据题意可得， 整理可得， 可得当，即成立， 又， 代入可得. 故答案为：. （2025高三全国专题练习）已知，若关于x的方程有两个不同的实数解，求a的取值范围．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据给定条件变形等式，并利用同构思想构造函数，再利用导数结合零点存在性定理求出范围. 【详解】函数的定义域为， 方程 ， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，于是，则， 由关于x的方程有两个不同的实数解， 得方程有两个不同的实数解，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数解 所以a的取值范围为． 【多选题】（2023湖北二模）已知函数．以下说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．若在处取得极值，则函数在上单调递增 B．若恒成立，则 C．若仅有两个零点，则 D．若仅有1个零点，则 【答案】AB 【分析】求出函数的导数，求出a值，再探讨单调性判断A；变形给定不等式，利用同构思想等价转化，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值判断B；利用选项B中构造的函数，探讨函数的值域，进而求出a值或范围判断CD作答. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，因为在处取得极值，则，解得， ，因为函数在上都单调递增，则在上单调递增， 当时，，当时，，因此是函数的极小值点，且在上单调递增，A正确； 对于B，， 成立，令，显然函数在R上都是增函数， 于是在R上单调递增，即有，成立， 因此，成立， 令，求导得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 则当时，，从而，解得， 所以当恒成立时，，B正确； 对于C，函数仅有两个零点，等价于方程 有两个不等根， 由选项B知，方程有两个不等根， 由选项B知，函数的图象与直线有两个公共点， 而函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，函数的取值集合是，函数的取值集合是， 因此函数在的取值集合是， 当时，令，，即函数在上单调递减， ，即当时，，因此， 而函数在上单调递减，其取值集合是，无最小值， 因此函数在上的取值集合是， 从而函数在的值域是，在上的值域是， 于是要有两个不等根，当且仅当，解得，C错误； 对于D，函数仅有1个零点，由选项C知，当且仅当，解得，D错误. 故选：AB 【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·福建·期中）已知点为函数和图象的交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先根据点在函数上得出等式，再同构设新函数，再求导函数得出函数的单调性进而得出等式的值. 【详解】因为点为函数和图象的交点， 所以，即的根为. 因为，所以，故，且为方程的根. 令，则，所以在上单调递增. 又，所以，即，所以. 故选：D. 2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）正实数，满足和（其中是自然对数的底数），则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】首先由得出和，然后由得出，最后构造函数，证明其单调性可得到即可得出答案. 【详解】由题意， ①， ②，显然， 联立①②可得③， 考察函数，则， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 结合③式可得， 所以. 故选：D 3．（25-26高三上·甘肃·月考）已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，设和，化简得到，令，得到，设，求得，得到在上单调递增，求得，代入，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由， 即 设，可得，且，可得， 再令，则，可得， 即， 令，则， 所以，其中， 设，可得，所以在上单调递增， 由，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值. 故选：B. 4．（25-26高三上·广东惠州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 二、多选题 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则函数有且只有1个零点 B．若不等式恒成立，则的取值范围是 C．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是 D．若，则不等式恒成立 【答案】ABD 【分析】分类讨论，根据函数单调性及零点存在定理判断A，由单调性转化为恒成立，构造函数，利用导数求最大值即可判断B，由不等式恒成立可知函数极值，求出，再利用导数检验，即可判断C， 构造函数，利用导数求出最小值，由最小值大于0即可判断D. 【详解】对于A选项：当时，，有唯一零点， 当，则，在上单调递减，且，由零点存在定理知有且只有一个零点， 所以，则函数有且只有1个零点，A选项正确； 对于B选项：由恒成立，即恒成立，即恒成立， 设，则恒成立，由一次函数及对数函数单调性可知单调递增， 所以恒成立，即恒成立，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以时，有最大值，所以选项正确； 对于C选项：因为，不等式对任意的恒成立，所以对任意的恒成立， 所以为极值点，故，又，所以，解得， 此时，当时，， 所以在单调递增，当时，，在单调递减， 从而，综上，，故C选项错误； 对于D选项：令，所以，令，所以， 从而在上单调递增，，， 所以存在，使得，得且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，所以，D选项正确， 故选：ABD. 6．（2025·安徽合肥·一模）已知分别为与的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解法一：根据对称性转化判断B，C，再化简计算判断A，应用导数得出单调性判断D.解法二：利用函数同构得出B，化简判断A，C，根据单调性计算判断D. 【详解】解法一：设直线与曲线分别交于点与点， 因为直线垂直于直线与互为反函数， 则点与点关于直线对称， 所以，于是并且，故B错误，C正确； ，即，故A正确； 因为在单调递增，且， 故，令， 则，所以在单调递减， 所以，即，即，所以D正确. 故选:ACD. 解法二：利用函数同构，直接得到，， 得，得到.B错误； 对于，A正确； 对于，C正确； 对于，在上递减，得，，D正确. 故选:ACD. 7．（2025高二·全国·专题练习）若，使得，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．存在 D．，使得当时，的值随着的增大而增大 【答案】ACD 【分析】先由对数的运算性质变形得到，再由单调性得到与的图象变化趋势，然后分，，，四种情况结合单调性讨论可判断ABC；取结合单调性可得D. 【详解】由题意，故， 因为，故，且时，如下图，与都是先减后增，且同时取得极小值1； 在递减区间时，图像更为陡；在递增区间时，图像更为陡； 因为． ①若，即，则，此时， 因为函数在上单调递减，则； ②若，即， 由于函数在上递减，在上递增，则存在，使得， 此时，存在，使得，此时； ③若，即，则只有唯一解，此时，即； ④若，即，由于函数在上递减，在上递增，则存在使得， 此时，存在使得，此时，故A对，B错，C对； 取，因为函数在上单调递增，且，则， 由可得，则， 因为函数在上单调递增，且，故随着的增大而增大，D对． 故选：ACD． 三、填空题 8．（25-26高一上·湖北·月考）已知正实数满足 则 的最小值为 . 【答案】 【分析】利用双变量同构函数思想，构造函数，从而把问题转化为研究函数单调性可得，最后利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为正实数，， 所以两边同除以得： 整理得：， 构造，由于 则原不等式等价于， 因为，所以， 即是上的单调递增函数， 所以， 则，取等号条件是， 故答案为： 9．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，求的值 ． 【答案】 【分析】构造函数，求导，判断单调性，结合条件得出，然后可求的值． 【详解】因为实数满足， 所以，， 令，则，即， 令, 所以在单调递增，而， ， ． 故答案为：． 10．（25-26高一上·江西南昌·月考）设为正实数，若实数是关于的方程的解，则 【答案】0 【分析】根据题意，化简得，令，求得为增函数，转化为，得到，进而得到，求得，即可求解. 【详解】由方程，变形可得， 即， 令，则，所以为单调递增函数， 因为，可得，可得，即， 又因为实数是关于的方程的解， 可得，可得，所以0. 故答案为：0 11．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】将函数变形得，然后构造新函数，求导判断单调性求出最小值即可. 【详解】将函数变形得，， 令，求导得，因为， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值为1，所以. 令，求导得， 所以在上单调递增， 所以，即，所以的最小值为. 故答案为：. 12．（2024高三·全国·专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先化简，再同构设函数，再结合函数的单调性得出所以，进而得出，根据单调性即可得出最大值. 【详解】由，得， 即，所以，， 令，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 由可得，所以， 令，所以， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，再结结合函数单调性解题. 13．（2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由，得，构造函数 ，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到a的取大值. 【详解】由，得， 则，即 ， 有，令 ， 所以，令， 当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为. 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）若关于x不等式在上恒成立，则实数a的最大值是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意，变形得，即等价于， 令，因为，所以在上单调递增， 所以， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，转化为，令，利用导数求得在上递增，在上递减，设，只需，构造，求得在上为增函数，得到，即，进而证得. 【详解】由（），可得， 构造函数，即，且， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为时，，不妨设，则必有， 要证，即证， 因为在上单调递减，只需证， 又因为，所以只需证明 构造函数， 可得 当时，，所以在上为递增函数， 所以，即当时，， 由，可得，结合，可得， 又由，且在上单调递减，所以，所以. 16．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，函数. (1)求的单调区间； (2)已知与有相同的最大值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：. 【答案】(1)答案见详解 (2)（ⅰ）1 （ⅱ）证明见详解 【分析】（1）求函数定义域，求导数，即可求得函数的单调区间； （2）（ⅰ）由（1）求得函数的最大值.求函数的定义域和导数，由导数求得函数单调区间，求得函数的最大值，然后建立方程解得； （ⅱ）构造函数和函数，由（ⅰ）得到函数的单调区间.构造函数，由得到函数的单调性，然后得到的大小关系，即可求得函数的最大值，然后得到函数的关系，画出函数大致图像，得到交点.然后方程求得方程的解得关系，即可证明结论. 【详解】（1）函数的定义域为， ，令，即，则， ∴时，，函数单调递增， ∴时，，函数单调递减， （2）（ⅰ）由（1）可知函数， 函数的定义域为，， 当时，∵，∴，∴，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴， 由题意得，即， 令函数，， ，所以函数在上单调递减，所以函数存在唯一的零点， 即. （ⅱ）∴，， 令， 令，且，则 由（ⅰ）可知在上单调递减，在上单调递增， 令，则， 当时，，函数单调递减，则， ∴，此时 当时，，函数单调递增，则， ∴，此时 ∴，当且仅当取等号， 所以函数， 作函数的大致图像如下 由图可知是方程的两根，是方程的两根， ∴， 令，，则， 令函数，则，当时，，函数单调递减， ∴，即，则， ∴，∴， 同理可得，， 即，∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点20：同构函数】 【知识拓展】 同构函数是导数综合题的核心解题工具，其本质是通过等价变形，将不等式、方程中的复杂结构转化为“同一函数模型”，再利用函数的单调性、最值等性质求解·二轮复习重点突破三类高频同构型 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：地位同等同构型】 【核心归纳】 1.定义：当题干中出现两个地位平等的变量（如；；等），且等式或不等式经整理后，两边具有完全一致的结构时，可判定为地位同等同构型· 2.核心本质：利用“结构同源性”构造单调函数，将双变量问题转化为单变量函数的单调性应用问题· 3.常见场景：双变量不等式恒成立、双变量等式求关系、比较大小等· （2025·四川凉山·一模）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．经典例题1例题 （2025高二上·黑龙江大庆·专题练习），且，不等式恒成立，则的取值范围为 .经典例题2例题 （24-25高二下·广东深圳·期末）若、都有，则实数a的取值范围是（    ）经典例题3例题 A． B． C． D． 【规律方法总结】 1.解题四步骤： ①识别变量地位：判断两个变量是否无主次之分（如题干未限定或）· ②结构变形归一：对等式/不等式两边进行移项、通分、因式分解等变形，目标是使两边呈现“”或“”的结构（为构造的母函数）· ③构造单调母函数：优先构造常见单调函数，如、、等，通过求导验证单调性· ④利用单调性转化：若单调递增，则，；若单调递减，则对应关系反向· 2.典型变形技巧： ①若出现，两边同除以（），变形为，构造· ②若出现，移项变形为，构造· 3.易错点提醒：变形时需注意变量取值范围（如分母不为0、对数真数大于0），避免因变形扩大或缩小定义域· 4.名师点睛：地位同等同构型的关键是“去差异、找共性”，变形的核心目标是让两个变量分别处于相同的函数“框架”内· （2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2020·全国I卷·高考真题）若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·四川泸州·模拟预测）若实数满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【热点题型2：指对跨阶同构型】 【核心归纳】 1.定义：题干中同时出现指数函数（）与对数函数（），形成“指数-直线-对数”三阶结构，无法直接求解，需通过同构转化为二阶结构的题型· 2.核心本质：利用对数恒等式（如、）实现指对互化，将跨阶结构统一为同一母函数的结构· 3.常见场景：含参恒成立求参数范围、指对混合不等式证明、函数最值求解等· （2025·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·四川南充·一模）已知函数，若直线与两条曲线和共有四个不同的交点、、、，且，则的值为（   ）经典例题2例题 A．1 B．2 C．3 D．4 （2025·浙江丽水·一模）若关于的方程恰有四个不同的实根，则（　　）经典例题3例题 A． B． C． D． 【规律方法总结】 1.核心原则：构造“指对跨阶母函数”，需满足两个条件：①同时包含指数或对数结构；②单调性、最值易求· 2.三大常见母函数及适用场景： ①：适用于“积型”跨阶式（如）· ②：适用于“商型”跨阶式（如）· ③：适用于“和差型”跨阶式（如）· 3.典型同构模式（含变形技巧）： ①积型：（） 同左构造：，令（单调递增），则转化为· 同右构造：，令（时单调递增），则转化为· 取对构造：，令（单调递增），则转化为· ②商型：（） 同左构造：，令（时单调递增），则转化为· 同右构造：，令（时单调递增），则转化为· ③和差型：（） 变形构造：左边，右边变形为，令（单调递增），则不等式转化为· 4.必备变形公式（名师高频推荐）： ①（）；②；③（）；④· 5.解题关键：观察式子中指数与对数的“位置特征”，优先选择“少变形、易构造”的母函数，避免过度变形增加计算量· （2025·全国·模拟预测）若时，，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·湖南郴州·一模）已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 .小试牛刀3 【热点题型3：零点同构型】 【核心归纳】 1.定义 若函数的零点满足方程中同时含指数项（）与对数项（），且可通过等价变形将方程转化为或（为常数/参数）的形式，其中为“同构母函数”，、为含的表达式，此类零点问题称为指对同构零点型·核心特征是“指对共存、结构可同源转化”· 2.核心本质 通过指对互化（利用对数恒等式、等）、代数配凑等变形，剥离零点方程中的“非同源结构”，提炼出相同的函数框架（母函数），将复杂的指对跨阶零点问题，转化为母函数的单调性、值域、零点唯一性等基础问题，实现“化繁为简、化未知为已知”· 3.适用场景 ①含参指对混合方程零点存在性问题（如“方程有零点，求参数范围”）； ②指对零点方程中参数值求解（如“已知方程有特定零点，求参数”）； ③零点相关表达式值的求解（如“已知零点满足某条件，求含零点式子的值”）； ④指对混合方程零点唯一性问题（如“方程有唯一零点，求参数”）· 4.核心前提 ①变形等价性：同构变形过程中需保证定义域不变（如对数真数>0、分母≠0），避免因变形扩大/缩小定义域导致零点漏判； ②母函数可解性：构造的母函数需具备单调性明确、极值/值域易求、零点特征清晰等特点，优先选择常见基础函数· （23-24高二下山东菏泽期中）已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【规律方法总结】 1.核心变形技巧（指对互化与同源配凑） 指对同构的关键是“找到同源结构”，常用变形方向围绕“指数化对数、对数化指数”展开，核心技巧如下： ①对数恒等式转化（核心工具）： 对数化指数：，可将对数项转化为指数项的自变量，如； 指数化对数：，可将指数项转化为对数项的自变量，如； 复合转化：、，实现“指对项合并为单一指数/对数结构”· ②同源配凑变形（常用模式）： 模式1：，配凑出的同源结构； 模式2：，配凑出与的关联结构； 模式3：，配凑出的同源结构· 2.常用母函数选择与适用场景 母函数的选择直接决定解题效率，需根据变形后的同源结构匹配，以下是指对同构零点型的高频母函数及适用场景： ①： 适用场景：含、的同源结构，如方程； 核心性质：在单调递减，单调递增，最小值为，零点唯一（无零点，可用于判断方程解的存在性）· ②： 适用场景：含、的同源结构，如方程； 核心性质：在单调递减，单调递增，最小值为，当时单调递增且无零点，时存在唯一负零点· ③： 适用场景：含、的同源结构，如方程； 核心性质：在上单调递增（导数恒成立），零点唯一，可直接通过“”转化方程· ④（）： 适用场景：含、（可转化为）的同源结构，如方程； 核心性质：在单调递增，单调递减，最大值为，可用于判断含参方程零点个数· 3.通用解题步骤 针对指对同构零点型问题，可遵循“识别结构→等价变形→构造母函数→利用性质求解”四步流程，具体拆解如下： ①识别结构：判断方程是否含“与共存”的特征，明确问题目标（求参数范围/表达式值/零点唯一性）； ②等价变形：利用对数恒等式、配凑法，将方程转化为“”或“”的形式，确保变形过程等价（定义域不变）； ③构造母函数：根据变形后的同源结构，选择高频母函数（如、），分析母函数的单调性、极值、值域、零点特征； ④利用性质求解： 若为：因母函数单调，直接得，转化为简单方程求解； 若为：通过母函数的值域确定的取值范围（方程有零点的条件），或根据母函数单调性确定零点唯一性； 若含参数：将参数分离到方程一侧，转化为“母函数值域=参数范围”的问题，规避参数对单调性分析的干扰· 4.易错点提醒与避坑技巧 ①变形不等价风险：如将变形为时，需注意（对数定义域），且不是原方程零点，避免定义域扩大； ②母函数选择不当：优先选择单调母函数（如），可直接转化“”，减少复杂分析；若选择非单调母函数，需额外判断定义域分段； ③忽略隐零点代换：当方程变形后出现“”“”等隐零点条件时，需及时代换化简表达式（如），避免复杂运算； ④参数分离边界：当参数分离后分母可能为0时，需单独讨论分母为0的情况（如时的特殊值），避免漏解· 5.名师点睛 指对同构零点型的核心是“找共性、凑同源”，解题时无需纠结复杂的指对运算，重点关注“哪些结构可以转化为同一函数框架”·建议熟记高频母函数的性质（单调性、极值）和典型变形模式（如），通过多练同类题型形成“见式知构”的敏感度·对于含参问题，优先采用“参数分离+母函数值域”的思路，可大幅降低解题难度· （2025高三全国专题练习）已知是函数的零点，则 ．小试牛刀1 （2025高三全国专题练习）已知，若关于x的方程有两个不同的实数解，求a的取值范围．小试牛刀2 【多选题】（2023湖北二模）已知函数．以下说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．若在处取得极值，则函数在上单调递增 B．若恒成立，则 C．若仅有两个零点，则 D．若仅有1个零点，则 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·福建·期中）已知点为函数和图象的交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）正实数，满足和（其中是自然对数的底数），则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（25-26高三上·甘肃·月考）已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东惠州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则函数有且只有1个零点 B．若不等式恒成立，则的取值范围是 C．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是 D．若，则不等式恒成立 6．（2025·安徽合肥·一模）已知分别为与的零点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二·全国·专题练习）若，使得，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．存在 D．，使得当时，的值随着的增大而增大 三、填空题 8．（25-26高一上·湖北·月考）已知正实数满足 则 的最小值为 . 9．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，求的值 ． 10．（25-26高一上·江西南昌·月考）设为正实数，若实数是关于的方程的解，则 11．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 . 12．（2024高三·全国·专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为 . 13．（2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 . 14．（2025高三·全国·专题练习）若关于x不等式在上恒成立，则实数a的最大值是 ． 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 16．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，函数. (1)求的单调区间； (2)已知与有相同的最大值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $