第13章 立体几何初步 单元测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第13章　立体几何初步　单元测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列说法:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中说法正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的空间图形的体积为 (　　) A. B. C. D.2π 3.若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是 (　　) A.+ B.1+ C.1+ D.2+ 4.若正方体外接球的体积是π,则正方体的棱长等于 (　　) A.1 B. C. D. 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 6.如果一个正四面体的体积为9 cm3,那么其表面积为 (　　) A.18 cm2 B.18 cm2 C.12 cm2 D.12 cm2 7.如图1,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于 (　　) A. B. C.π D. 图1 图2 8.如图2,用一边长为的正方形硬纸,沿各边中点的连线垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 (　　) A.+ 　B. C.+ D.+ 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.如图3,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列四个命题正确的是(　　) A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于 B.点C到平面ABC1D1的距离为 C.异面直线D1C和BC1所成的角为 D.三棱柱AA1D-BB1C的外接球的半径为 图3 图4 10.沙漏是一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,我们把细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图4,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度和粗细忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,以下结论正确的是 (　　) A.沙漏中的细沙体积为 cm3 B.沙漏的体积是128π cm3 C.细沙全部漏入下部后堆成的圆锥形沙堆的高度约为2.4 cm D.该沙漏的一个沙时大约是1 985秒(π≈3.14) 11.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面正方形的边长为2,侧棱AA1=1,P为上底面A1B1C1D1上的动点,下列四个结论中正确的是 (　　) A.若PD=3,则满足条件的P点有且只有一个 B.若PD=,则点P的轨迹是一段圆弧 C.若PD∥平面ACB1,则DP的长的最小值为2 D.若PD∥平面ACB1,且PD=,则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.如图5,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起到△A'BD的位置,使平面A'BD⊥平面BCD,连接A'C,则在四面体A'BCD的四个面中:①平面A'CD⊥平面A'BD;②平面A'BC⊥平面BCD;③平面A'CD⊥平面A'BC.其中正确的结论有　　　(填序号).  图5 图6 13.如图6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面BB1C1C的中心,F在棱AD上运动.若点P是平面D1EF与正方体的底面ABCD的公共点,则所有满足条件的点P构成的图形的面积为　　　　.  图7 14.如图7,四棱台ABCD-A1B1C1D1上下底面都为正方形且侧棱长都相等,且=.设E,F,G分别是棱AB,BC,C1D1的中点,过E,F,G的平面与AA1交于点H,则的值为　　　　.若四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2,体积为14,则该四棱台外接球的表面积为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图8所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点. 图8 求证:(1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点. 16.(15分)如图9,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱BC上一点. (1)若AB=AC,D为棱BC的中点,求证:平面ADC1⊥平面BCC1B1; (2)若A1B∥平面ADC1,求的值. 图9 17.(15分)在如图10所示的空间图形中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (1)求证:BD⊥平面AED; (2)求二面角F-BD-C的余弦值. 图10 18.(17分)如图11(1),平面四边形ABDC中,∠ABC=∠D=90°,AB=BC=2,CD=1,将△ABC沿BC边折起如图11(2),使　　　　,点M,N分别为AC,AD的中点.  在题目横线上选择下述其中一个条件,然后解答此题:①AD=;②AC为四面体ABDC外接球的直径;③平面ABC⊥平面BCD. (1)判断直线MN与平面ABD的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥A-MNB的体积. 注:若选择不同的条件分别解答,则按第一个解答计分. 　　　 (1)　 (2) 图11 19.(17分)如图12(1),已知正三角形ABC的边长为a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC的中点.现将△ADC沿CD翻折,使平面ADC⊥平面BCD,如图12(2)所示. (1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由. (2)若三棱锥E-DFC的体积为,求a的值. (3)在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由. 　　　　 （1） (2) 图12 第13章 答案解析 1.B　根据基本事实4,知①正确;根据垂直于同一个平面的两条直线平行,可知④正确,易知②③错误. 2.C　 图D 1 如图D 1,过点D作BC的垂线,垂足为H.则由旋转体的定义可知,该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.其中圆柱的底面半径R=AB=1,高 h1=BC=2,其体积V1=πR2h1=π×12×2=2π;圆锥的底面半径r=DH=1,高h2=1,其 体积V2=πr2h2=π×12×1=. 故所求几何体的体积V=V1－V2=2π－=. 3.D　由斜二测直观图的画法规则可知,原平面图形是一个直角梯形,上底长为1,下底长为2×1×cos 45°+1=+1,高为2×1=2,则面积为×(1++1)×2=2+. 4.C　因为正方体外接球的体积是π,所以外接球的半径R=2,则正方体的体对角线的长为4,故正方体的棱长等于. 5.A　∵AA1⊥平面A1B1C1D1,连接A1C1,则∠AC1A1即AC1与平面A1B1C1D1所成的角. 在Rt△AA1C1中,AA1=1,又AB=BC=2,∴A1C1==2,∴AC1===3, ∴sin∠AC1A1==. 6.A　设正四面体的棱长为a cm,则正四面体的底面积为a2 cm2,易求得正四面体的高为a cm,则正四面体的体积为×a2×a=a3=9,解得a=3,所以其表面积为4×a2=18 (cm2). 7.A　在平面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,由AE=2,AA1=,易得∠EAF=,故弧EF的长为×2=.在平面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为1,∠FBG=,所以弧FG的长为×1=.故两段弧长之和为+=. 8.D　由题意可得,蛋巢的底面是边长为1的正方形,则经过4个小三角形的顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1. ∵鸡蛋的体积为,∴鸡蛋的半径为1, ∴鸡蛋的中心(球心)到截面圆的距离为=. ∵垂直折起的4个小直角三角形的高为, ∴鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为+1+=+. 9.ABD　正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.对于A,易知直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1=,故选项A正确;对于B,因为B1C⊥平面ABC1D1,所以点C到平面ABC1D1的距离h为B1C长度的一半,即h=,故选项B正确;对于C,因为BC1∥AD1,所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C,连接AC,则易知△AD1C为等边三角形,故异面直线D1C和BC1所成的角为,故选项C错误;对于D,易知三棱柱AA1D－BB1C的外接球也是正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球,故外接球半径r==,故选项D正确.故选ABD. 10.ACD　对于A,由题意可知,细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比,所以细沙的底面半径r=×4= (cm),所以细沙的体积V=·πr2·=··= (cm3);对于B,沙漏的体积V'=2××π×()2×h=2××π×42×8= (cm3);对于C,设细沙全部漏入下部后堆成的圆锥形沙堆的高度为h1,根据细沙体积不变可知,=π×()2×h1,所以=×h1,所以h1≈2.4 cm;对于D,因为细沙的体积为 cm3,沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,所以该沙漏的一个沙时为≈×50≈1 985(秒).故选ACD. 11.ABD　由题意可得B1D1=2,DB1==3,则P与B1重合时PD=3,此时P点唯一,故A正确;因为PD=∈(1,3),DD1=1,则PD1=,即点P的轨迹是一段圆弧,故B正确;连接DA1,DC1,AC1,可得平面A1DC1∥平面ACB1,则此时点P在A1C1上,则当P为A1C1的中点时,DP有最小值=,故C错误;由C知,平面BPD即为平面BDD1B1,平面BPD截正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆,其半径为=,面积为,故D正确.故选ABD. 12.①②　由于AB⊥BD,则A'B⊥BD,又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,∴A'B⊥平面BCD,故A'B⊥CD,平面A'BC⊥平面BCD,②正确.∵ABCD为平行四边形,∴CD⊥BD,又BD∩A'B=B,∴CD⊥平面A'BD,∴平面A'CD⊥平面A'BD,①正确.假设平面A'CD⊥平面A'BC,∵平面A'BC⊥平面BCD,平面A'CD∩平面BCD=CD,∴CD⊥平面A'BC,又BC⊂平面A'BC,∴CD⊥BC,与AB⊥BD矛盾,∴假设不成立,③不正确. 13.　当F,D重合时,如图D 2所示. 图D 2 图D 3 由正方体性质,知面D1EF即为面DGHD1,与底面交线为DG,且G,H分别为BC,B1C1的中点,此时P在线段DG上. 当F,A重合时,如图D 3所示, 由正方体性质,知面D1EF即为面ABC1D1,与底面交线为AB,此时P在线段AB上. 综上,F从D到A的过程中,梯形ABGD即为P构成的图形,又正方体的棱长为1,所以所求图形的面积为×(+1)×1=. 14.　　 如图D 4,连接FE,并延长交DA延长线于M,设A1D1的中点为P,连接GP,AC,A1C1,则PG∥A1C1,而由题意可知A1C1∥AC,又EF∥AC,故PG∥EF,故P∈平面EFG,而M∈平面EFG,故连接PM,交AA1于H,H点即为过E,F,G的平面与AA1的交点. 图D 4 设Q为AD中点,连接FQ,则FQ∥AB,FQ=AB,因为E为AB中点,故AE=AB=FQ,故AM=AQ=AD,因为A1P∥AD,所以A1P∥AM,则===,所以=. 设四棱台上底面棱长为a,则下底面棱长为2a,连接AC1, 由四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为2,体积为14,可得(a2+4a2+)×2=14,解得a=.所以A1C1=,AC=2,所以CC1==,则AC1==,故得A+C－AC2=+－24<0,即∠AC1C>90°,由棱台的性质,可知外接球球心位于对角面AA1C1C所在平面上,故由此可知外接球球心在棱台的外部,即底面ABCD的外部. 设球心到面ABCD的距离为h1,则到面A1B1C1D1的距离为h1+2,且是外接球半径R,则R2=6+,R2=()2+(h1+2)2,解得R2=, 故外接球的表面积为4πR2=. 15.(1)如图D 5,连接EF,CD1,BA1. 图D 5 因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1. 又BA1∥CD1,所以EF∥CD1, 所以E,C,D1,F四点共面. (2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,如图D 13－5所示. 由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA,所以CE,D1F,DA三线共点. 16.(1)因为AB=AC,D为棱BC的中点,所以AD⊥BC. 因为几何体ABC－A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC. 因为AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD. 因为BC∩BB1=B,BC⊂平面BCC1B1,BB1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1, 又AD⊂平面ADC1,所以平面ADC1⊥平面BCC1B1. (2)连接A1C交AC1于点O,连接OD,易知O为AC1的中点,O为A1C的中点. 因为A1B∥平面ADC1,A1B⊂平面A1BC,平面ADC1∩平面A1BC=OD,所以A1B∥OD. 因为O为A1C的中点,所以D为BC的中点,所以=1. 17.(1)因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD=120°. 因为CB=CD,所以∠CDB=30°,因此∠ADB=90°,即AD⊥BD, 又AE⊥BD,且AE∩AD=A,所以BD⊥平面AED. (2)取BD的中点G,连接CG,FG. 由于CB=CD,所以CG⊥BD. 又FC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以FC⊥BD. 又FC∩CG=C,所以BD⊥平面FCG,所以BD⊥FG.所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角. 在等腰三角形BCD中,由于∠BCD=120°,所以CG=CB,又CB=CF,所以GF==CG, 故cos∠FGC=. 因此二面角F－BD－C的余弦值为. 18.(1)MN⊥平面ABD,理由如下. 若选①,在Rt△BCD中,BC=2,CD=1,则BD=; 在ABD中,又AB=2,∴AB2+BD2=AD2, 则AB⊥BD. 又AB⊥BC,BC∩BD=B,∴AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,又CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD. 又M,N分别为AC,AD的中点,∴MN∥CD, 则MN⊥平面ABD. 若选②,则∠ADC=90°,CD⊥AD, 又CD⊥BD,AD∩BD=D,∴CD⊥平面ABD. ∵M,N分别为AC,AD的中点,∴MN∥CD, 则MN⊥平面ABD. 若选③,∵平面ABC∩平面BCD=BC,AB⊥BC, ∴AB⊥平面BCD,则AB⊥CD, 又CD⊥BD,AB∩BD=B,∴CD⊥平面ABD. ∵M,N分别为AC,AD的中点,∴MN∥CD,则MN⊥平面ABD. (2)由(1)知,MN⊥平面ABD,△ABD为直角三角形, S△ANB=S△ADB=,MN=CD=, 故三棱锥A－MNB的体积VA－MNB=VM－ANB=××=. 19.(1)AB∥平面DEF,理由如下. 在△ABC中,因为E,F分别是AC,BC的中点,所以EF∥AB. 又AB⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AB∥平面DEF. (2)由题意,知AD⊥CD,又平面ADC⊥平面BCD,平面ADC∩平面BCD=CD,所以AD⊥平面BCD. 图D 6 如图D 6,取CD的中点M,连接EM,则EM∥AD,所以EM⊥平面BCD,且EM=. 因为三棱锥E－DFC的体积为,所以××=,解得a=2. (3)线段AC上存在一点P,使BP⊥DF.理由如下. 易知△BDF为正三角形,过B作BK⊥DF交DC于点K,连接KF,过K作PK∥DA交AC于点P,连接BP,则点P即所求,如图D 6所示. 因为AD⊥平面BCD,PK∥DA,所以PK⊥平面BCD,所以PK⊥DF. 又BK⊥DF,PK∩BK=K,所以DF⊥平面PKB,所以DF⊥PB. 又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,所以DK=KF=KC. 故==,从而=. 学科网（北京）股份有限公司 $