3.3 勾股定理的简单应用-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

意：3十4=5,3,4,5是勾股数，故C选项符合题意.2+16，解得x二0，即△ABC的腰长为0 3 cm. 2.B解析：，AC2一BC2=AB2,∴.AC2=BC2+AB2, ∠B=90°，3.D4.6.5解析：：AC=5cm,BC=I1.1):ADLCE,·∠D=90.:AD=7,DC=24, 12cm,AB=13cm,AC2+BC2=AB2,.∠C=90°，.斜边 AC2=AD+DC2=625=25.AB=20,BC=15, ∴.AB2+BC=202+152=252=AC2,∴.△ABC是直角三角 AB上的中线长为7AB=号×13=65(cm.5.25或7 形，∠B为直角.(2)66解析：：S1十S△ACE=S△Acn,S2+ 解析：设第三边长为x,则x2=32十4或42=x2+32,.x2=S△A0E=S△A,.S1=S△ACD-S△ACE,S2=S△A一S△AE, 25或x2=7.6.等腰直角解析：由题意得，a-b=0且∴S2-S1=(S△ABc一S△ACE)-(S△AcD一SAACE)=S△Ac一 :十c=0:则a=6且a+=c.△ABC是等腰直Sm=BC·AB-AD·CD-2×15X20-2×7X 角三角形.7.(1)在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=3,CD= 24=150-84=66.12.证明：(1).BD=3,BE=2,DE 4,.BD=√BC2+CD2=√32+42=5.在△ABD中， 5,且2+(5)=9=3，·△BDE是直角三角形， AD2=132,AB2+BD2=122+52,.AD2=AB2十BD2, ∠BED=90°，.EF⊥BC.(2)由(1)得，DE⊥BC, .△ABD是直角三角形，∠ABD=90°.(2)如图，连接AC. ∠B=90°，.AC2=AB2+BC2=202+152=625.又 ∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°.又AB=AC, ∴.∠B=∠C,∴.∠F=∠BDE.又∠BDE=∠FDA, :AD2+CD2=242+72=625,.AC2=AD2+CD2, ∴.∠F=∠FDA,∴.AF=AD,即△ADF是等腰三角形. ∴△ADC是直角三角形，∠D=90°，S四边形AD=S△ABC十 3.3勾股定理的简单应用 5a-号AB·BC+号AD.CD-2X20X15+2X24× 第1课时用勾股定理解决实际问题 7=234. 课堂演练 1.D解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意，得 AC=AB,CE=BD=8m,BE=CD=2m.设旗杆高xm,则 AC=AB=xm,AE=(x-2)m.在Rt△AEC中，由勾股定理 得AE2+CE2=AC2,即(x一2)2+82=x2,解得x=17,.旗 杆的高度为17m. D 课后拓展 8.C解析：：7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广 义勾股数，故①正确：，13=22十3，∴.13是广义勾股数，故② 正确；两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10 是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③错误；两 B (第1题) (第2题) 个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义2.D解析：如图，由题意，得∠ACB=90,BC=3尺，AC十 勾股数，但2X2-4,4不是广义勾股数，故④错误，综上所述，AB=10尺，设折断处离地面x尺，即AC=x尺，则AB= 正确的是①②.9.C解析：∠B=50°，∠C=40°， (10-x)尺.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2= ∠A=180°-∠B-∠C=90,∴.△ABC是直角三角形，故AB,即x2+32=(10-x),解得x=4.55,折断处离地面 A选项不符合题意；：a2=c2-b2,a2十=c,△ABC4.5尺.3.24解析：当吸管垂直于底面放置时，露出杯 是直角三角形，故B选项不符合题意：，a2=5,b2=12,c2= 口外的长度最大，为12一8=4(cm).当吸管底端与D重合，另 13,∴a2十b2=17≠c2,.△ABC不是直角三角形，故C选项一端靠在B处，即如题图放置时，BD最长，露出杯口外的长 符合题意；'∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C= 度最小.连接CD,在Rt△BCD中，由勾股定理得BD= 3 180,∴最大角∠C=1+2+3×180°=90，△ABC是直角√BC+CD=√8+6=10(cm),吸管露在外面的长度 三角形，故D选项不符合题意.10.)证明：CD=16cm,为12-10=2(cm).4.(1)如图，在R△ABC中，：AB BD=12cm,BC=20cm,162+122=400=202,.CD2+7.5m,BC=4.5m,.AC=V/AB2-BC=√/7.52-4.5= BD2=BC2,∴.∠BDC=90°，∴.CD⊥AB.(2)设△ABC的6(m).答：梯子的顶端到地面的距离为6m.(2)如图，由题意 腰长为xcm,即AB=AC=xcm,则AD=(x-12)cm.在得BF=1.5m,∴CF=BC+BF=4.5+1.5=6(m),.由勾股 Rt△ACD中，由勾股定理得AC2=AD2+CD,∴x2=(x-定理得CE=√EF-FC=√7.5-6=4.5(m),AE= 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) …24 AC一CE=6-4.5=1.5(m).答：梯子顶端向下滑动1.5m. 图3 9.如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,由题意可 C←—4.5BF 得，BC=13m,DC=12m,∴.BD=√132-12=5(m),即 5.如图，连接AE、AF.根据题意可知，AB=14m,AE=50m, ∠ABE=90°，△AEF是等腰三角形，∴.EF=2BE.在 AD=9m,则AC=√JAD2+CD=√92+12=15(m),故 AC+AB=15+4=19(m),答：这棵树原来的高度为19m. Rt△ABE中，由勾股定理得BE=√AE2-AB2= 甲树 √/502-14平=48(m),.EF=2BE=96m,故会给这栋居民 乙 树 楼带来噪声污染的时长为t=96÷15=6,4(s),答：会给这栋居 民楼带来6.4s的噪声污染. F C N 0 马路 D A 课后拓展 10.如图，作点B关于MN的对称点B',连接AB交A1B,于 6.C解析：设OA=OB=xm.由题意，得BC=DE=3m, 点P,则B'B1=BB1=4km,AP+BP=AP+B'P=AB', .P即为到A、B距离之和最小的点，过点A作AE⊥BB'于 CD=BE=1.5m,∴.AC=CD-AD=1.5-0.5=1(m),OC= OA-AC=(x-1)m.在Rt△OCB中，由勾股定理得OC十 点E,则B1E=AA,=2km,AE=A,B1=8km,B'E= BC2=OB2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5,则秋千的长度是 B1E十B'B,=2十4=6(km).在Rt△AEB'中，由勾股定理得 5m.7.70解析：如图，由题意可知，CE=170m. AB'=√AE2+BE=√82+6=10(km)..这个最小距离 之和是10km. ∠CDE=90°，CD=80m,∴.DE=√CE-CD2= /170-802=150(m).又.CD=80m,AC=100m,.AD W√/AC2-CD2=/1002-802=60(m),∴.AE=AD+DE= B,N 60十150=210(m),.t=210÷3=70(s),即公交车至少保持 70s不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声 B 影响 第2课时用勾股定理解决数学问题 D E B 课堂演练 1.B解析：如图，点B表示的数是一3，点C表示的数是0，点 D表示的数是1，∴.BC=0一（一3）=3，BD=AB=1 8.61解析：如图1，AM=AB2+BM=4+(5+2)2=65;(一3)=4.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= 如图2，AM=AC2十CM=(4十5)2+22=85：如图3，√AB2-BC=√4-32=√7，由作图痕迹可知，AC=CM= AM=52+(2+4)2=61.综上可知，蚂蚁从点A出发沿长方 √7，：点C表示的数是0，∴点M表示的数是7. 体的表面爬行到M的最短路程的平方是61. B D M -3-2-10c1 2.C解析：设Rt△ABC的三边AB、CA、BC的长分别为c、 6a则=4+6，：s,=日a=日×5x-2gs B 1 1 图1 图2 8a2,S2= 8w,s+5:=ga2+gh=g 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·25 S,∴S,+S:+S,=25,=2×25m-25x.3.C解析：由三则CD=（14-x)里.在Rt△ABD中，AD2=13-x,在 84· Rt△ADC中，AD2=152-(14-x)2,,132-x2=152- 角形三边关系，得a十b>c,故A选项不符合题意；a<c, (14-x)2,解得x=5.在Rt△ABD中，AD=√132-5= b<c,.a十b<2c,故B选项不符合题意；，a十b>c,a、b、c 是正数，∴.(a)2+(Wb)2>(W)2,∴(a)2+(Wb)2+2ab> 12(里)Sa=2BC·AD=号X14X12=84(平方里)， ()2,∴.(a+√D)2>(E)2,.√a+√b>,故C选项符合 8.5-1解析：由题意，得AB=2.:BC=1,∴AC= 题意；由勾股定理得a2十b2=c2,故D选项不符合题意. √AB2+BC2=√22+1'=√5.：BC=CD=1,∴.AD= 4.18解析：小淇拉住第6个结，.小淇和小惠之间有5个 AC-CD=5-1,AE=AD=5-1.又：点A表示的数 单位长度，绳子剩余25个单位长度，设小婷与小淇之间有x 个单位长度，则小婷和小惠之间有(25-x)个单位长度根据为0心点E表示的实数是，5-1.9.20解析：ACL 题意，得5+x2=(25-x),解得x=12,12+6=18.小婷BDAB+CD=0A+0B+0D+0C=AD+BC 4+22=20.10.17解析：由题意，得a2+1442=1452, 同学应该拉住第18个结.5.如图，过点A作AE⊥BC于点 E.:AD是边BC上的中线，BC=10cmCD=5cm.:3+a2=1453-144=289.a=17.11.(1)能理由如下：当 4华=5，即AD2十AC2=CD2,△ACD是直角三角形，m=2,n=1时a=5,b=4,c=3.:32+4=53,abc的值 能作为直角三角形三边的长.(2)m2十n22mnm2一n2 ∠DAC=90,Sae=号AD·AC=2CD·AEAE=8)是理向如下，0=(m+n)=m+2nn十，62 1 002c-34-长sam=c·A业=号×10X (2mm)2=4m2n2,c2=(m2-n2)2=m-2m2n2+n,.b2+ CD c2=m4-2n2n2+n4+4m2n2=m±+2m2n2+n4,.a2 12 5 =12(cm2). b2十c2,.以a、b、c为边长的三角形一定为直角三角形。 专题5勾股定理 1.(1)如图1所示.=解析：如图，△ABD和△ACE都 是等边三角形，∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE= 60°，∴.∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD= 课后拓展 AD=AB, 6.A解析：如图，设空白部分的面积分别为a、b、c,则S:= ∠EAB.在△CAD和△EAB中， ∠CAD=∠EAB, AC2-a,S2=AC2+BC2-(a+6+c),S:+S:=BC2-c, AC-AE, .四边形ABEF、四边形ACPQ都是正方形，∴.∠F= .△CAD≌△EAB(SAS),.BE=DC.(2)BE=DC.理由 ∠GAB=∠ACP=90°，AF=AB,·∠ABG十∠AGB=如下：四边形ABFD和ACGE均为正方形，·AD=AB, ∠AGB+∠CAG,∴∠CAG=∠ABG,即∠FAD=∠ABG.在 AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，.∠CAD=∠EAB.在 ∠F=∠BAG, AD=AB. △AFD和△BAG中， AF=BA. .△AFD≌△CAD和△EAB中， ∠CAD=∠EAB,∴.△CAD≌△EAB ∠FAD=∠ABG, AC=AE, △BAG(ASA),SAAD=S△G,∴.S2=b,S,十S2十S3十(SAS),BE=DC.(3)如图2，过点A作等腰直角三角形 S=AC2-a+6+BC2-c=AC2+BC2-(a+c)+6= ABD,∠BAD=90°，连接CD,则AD=AB=100m,∠ABD AC2+BC2-(AC2+BC2-26)+6=36.AC=2,BC=4. 45,.BD=1002m.由(2)可知，BE=DC.∠ABC=45°， ·3b=3X2ACBC=3X2×2X4=12,即S+S:+S:+∠DBC=∠ABD+∠ABC=90,在R△DBC中，由勾股定理 S1=12. 得CD=√/1002+(100W2)2=100W3(m),则BE=CD-1003m. M D 图1 图 (第6题) (第7题) 7.C解析：如图，过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x里，2.I)①CD=2AB等边②在直角三角形中，如果一个锐 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·26·课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版)))》 3.3勾股定理的简单应用 第1课时用勾股定理解决实际问题 课堂演练 1.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离 旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计） () A.10m B.6m C.15m D.17m 2m (第1题) (第2题) (第3题) 2.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它 的意思是：一根竹子原高一丈(10尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离 地面 A.4尺 B.3.6尺 C.4.5尺 D.4.55尺 3.如图，有一个透明的圆柱状的玻璃杯，测得其内径CD=6cm,高BC=8cm.现有一支长 12cm的吸管随意放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最小 为 cm,最大为 cm. 4.如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m. (1)求梯子的顶端到地面的距离. (2)由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m,则梯子顶端向下滑动多少米？ 4.5 5.如图，点A处的居民楼与马路相距14m,当居民楼与马路上行驶的汽车距离小于50m时就 会受到噪声污染.如果汽车以15m/s的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的 噪声污染？ B D 马路 74》 第3章勾股定理 课后拓展 6.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5m,将它往前推3m时，踏板离地1.5m,此时秋 千的绳索是拉直的，则秋千的长度是 ( A.3 m B.4m C.5m D.6m 0 D A0.5 1.5 D (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C,点C到公路AB的距离CD为80m,AC为 100m,BC为300m.一辆公交车以3m/s的速度从A处向B处缓慢行驶.如果公交车鸣笛 声会使以公交车为中心170m范围内受到噪声影响，那么公交车至少保持 s不鸣笛 才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响 8.如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4、5、2，蚂蚁从点A出发沿长方体的表面爬 行到M的最短路程的平方是 9.由于大风，山坡上的一棵树甲从点A处被拦腰折断，如图所示，其树顶恰好落在另一棵树乙 的根部C处.已知AB=4m,BC=13m,两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12m,请你运 用所学的知识求这棵树原来的高度. 甲树 乙 10.如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为 AA1=2km,BB1=4km,A1B1=8km.现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P,使A、 B两个村庄到P的距离之和最小，则这个最小距离之和是多少千米？ B M B N 《75 课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版)>)>)》》 第2课时用勾股定理解决数学问题 课堂演练 1.如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是 ( A.√7-1 B.√7 C.√7+1 D.5 C S 2101 (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AB=5,以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为S1、S2、S3,则S1+S2+S3的值为 D. 5π A.25π B.9π 3.在三边长分别为a、b、c(a<b<c)的直角三角形中，下列数量关系不成立的是 ) A.a+b>c B.a+b<2c C.√a+b< D.a2+b2=c2 4.小惠同学用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段，她一只手同时握住第1个结和 第31个结，小淇同学拉住第6个结，这时小婷同学应该拉住第 个结，拉紧绳子后才 会得到一个以第6个结为直角顶点的直角三角形. 5.已知AD是边BC上的中线，如果BC=10cm,AC=4cm,AD=3cm,求△ABC的面积. 课后拓展 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=4.分别以 M AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、 S2 BCMN,四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4,则S1十 S2十S3+S4等于 A.12 B.14 C.16 D.18 76》 第3章勾股定理 7.(2023·南京)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三 斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”大意为：在 △ABC中，AB=13里，BC=14里，AC=15里，则△ABC的面积是（注：里为古代长度单 位，1里=500m) () A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里 8.如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B,且BC=1,连接AC,在AC 上截取CD=BC.以A为圆心、AD的长为半径画弧，交线段AB于点E,则点E表示的实数 是 E (第8题) (第9题) 9.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线 AC、BD交于点O.若AD=4,BC=2,则AB2+CD2的值为 10.观察下列勾股数组：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；…若a,144,145是其中的 一组勾股数，则根据你发现的规律，a= 11.勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦 五”的记载如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作“整数直角三 角形”；这三个正整数叫作一组“勾股数”.在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出 了下表： 2 3 3 1 1 2 3 a 22+12 32+12 32+22 42+32 b 4 6 12 24 22-12 32-12 32-22 42-32 其中m、n为正整数，且m>n. (1)观察表格，当m=2,n=1时，对应的a、b、c的值能否作为直角三角形三边的长？说明 你的理由. (2)探究a、b、c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ,b= C= (3)以a、b、c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请 举出反例. 《77