3.3勾股定理的简单运用之最短路径问题2025-2026学年苏科版八年级数学上册

3.3勾股定理的简单运用之最短路径问题 一、单选题 1．如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（  ） A． B． C． D． 2．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一根长方体木条放置在一块长方形纸片上，已知，，该木条的较长边与平行，横截面是边长为的正方形．一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 二、填空题 5．如图所示，一只蚂蚁需要从一个长、宽、高分别是，，的长方体的顶点A爬到顶点B，则它从点A开始经过4个侧面到达点B所走的最短路程为 ． 6．在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是 米． 7．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙竖直安放，墙为长方形，，，该管道底面是周长为的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，则需要走的最短路程是 ． 三、解答题 8．为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 研究问题 如图1，一个圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少？ 设计方案 （1）将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系，； （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置； （3）在圆柱的侧面展开图中确定两点之间的最短路线，并计算它的长度． 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)圆柱的侧面展开图是__________； (2)在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线； (3)求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程． 9．综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长． (3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 10．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 11．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 12．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 13．在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 14．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 15．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 16．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 17．已知均为正实数，且求的最小值通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，设． (1)①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此求的最小值； (2)根据上述的方法，直接写出代数式的最小值． 试卷第8页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】如图，过B作于点C，连接， ，， ， 故选：D． 2．D 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：D． 3．B 【详解】解：如图，    将长方体侧面展开，即为所求， 则，， 最短路程． 故选：B． 4．D 【详解】解：如图，过P作于G，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵米，米，点P到的距离是3米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：D． 5．10 【详解】解：根据题意，展开图如下， 则的一条直角边为，另一边为， 根据勾股定理，得， 故答案为：10． 6．26 【详解】解：根据题意，得展开图的矩形长为米，宽为10米， 故， 故答案为：26． 7．15 【详解】解：如图：把圆柱侧面展开，则，， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得：， ∴需要走的最短路程是． 故答案为：15． 8．(1)长方形 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为：长方形， 故答案为：长方形； （2）解：观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接，如图： （3）解：、、 ． 答：蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程为． 9．(1)D (2) (3) 【详解】（1）解：∵过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，且两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是D； （2）解：在图D中，由题意得，， ∴， 同理可得， ∴该金属丝的长为； （3）解：如图所示，作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接， ∴蚂蚁爬行的路程为的值， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为． 10．（1）25；（2）；（3） 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，如图， 由题意得， ， 故这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ，此时蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短，最短路程为的长， ， ∴， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 11．（1）25；（2）；（3） 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 12．（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是（2）不正确，见解析（3）10 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）不正确，理由如下： ①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作点关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 故答案为：10． 13．（1）①，②两点之间，线段最短，（2）作图见解析，（3）作图见解析，最短路径的长为 【详解】解：（1）①在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得，. ②由可知，用到的数学依据为三角形两边的和大于第三边． 故答案为：，三角形两边的和大于第三边． （2）如图所示，点C，D即为所确定的点． ∴此时步道总长度即为所建的最短路线． （3）如图所示，画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短． ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∵点D为边的中点，即， ∴， ∵点A，关于的对称， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即最短路径的长为． 14．(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 15．(1)A (2) (3) 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为． （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． 16．(1)①；② (2) (3) 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 17．(1)①，；②的最小值为 (2)的最小值为20 【详解】（1）解：① 在中，，，由勾股定理得； 在中，，，由勾股定理得． ② 连接交于点E，此时最小． ，则的水平距离为，垂直距离为， 在中，由勾股定理得， 故的最小值为． 故答案为：，； ． （2）解：如图， 构造图形：设，，，，，点E在上，，． 则可表示为． 连接，其水平距离为，垂直距离为， 在中，由勾股定理得， 故代数式的最小值为20． $