教考衔接4 利用导数研究不等式恒(能)成立问题（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦利用导数研究不等式恒成立问题这一核心知识点，通过2024年全国甲卷真题引入，关联教材习题溯源，再系统探究分离参数法、最值法、同构法三类解题方法，构建“真题-教材-方法”递进式学习支架。 该资料特色在于真题与教材紧密衔接，分类探究深化理解，通过构造函数、分析单调性培养数学思维中的逻辑推理能力，借助同构法转化含e^x与lnx的不等式体现数学语言的模型意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固方法、查漏补缺。

[对应学生用书P84] 一、真题展示 　(2024·全国甲卷)已知函数f(x)＝(1－ax)ln (1＋x)－x. (1)当a＝－2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围． 二、真题溯源 　(人教B版选择性必修第三册P113复习题B组T5) 已知a>0且f(x)＝ax＋＋2－2a，若f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 三、类法探究 　利用导数研究不等式恒(能)成立问题，是近年来高考命题的热点，难度较大，思维能力要求高，考查函数思想和转化与化归思想，重点考查逻辑推理能力，综合分析解决问题的能力．利用导数解决不等式恒成立问题的常用方法有：分离参数法、最值法、同构法等，不论哪种方法，其核心步骤却是巧妙构造函数，通过函数模型的单调性、最值等解决问题． 类型一　“分离参数法”解决不等式恒成立问题 　(2025·江苏苏州期中)已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)当a＝1时，求f(x)的最小值； (2)若f(x)≥x2对x∈(0，＋∞)总成立，求实数a的取值范围． [解析]　(1)a＝1时，因为f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1， 所以当x<0时，f′(x)<0， 当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0. (2)因为x>0，所以f(x)≥x2等价于a≤，令g(x)＝， 则g′(x)＝， 由(1)得x>0时，f(x)＝ex－x－1>0， 所以当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝e－2， 所以a≤e－2. 即实数a的取值范围为(－∞，e－2]. “分离参数法”解决不等式恒成立问题 “分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方法，其基本过程如下： (1)已知含参数λ的不等式f(λx)≥0恒成立． (2)将不等式转化为g(λ)≥h(x)，即将参数λ与变量x分离，可以将λ单独分离到不等式的一边也可以将只含有λ的一个代数式分离到不等式的一边． (3)求函数h(x)的最值或值域．求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)的形式而确定，可以用导数法、均值不等式法、换元法、单调性法等等． (4)得出结论．若h(x)的最大值为M，则g(λ)≥M；若h(x)不存在最大值，其值域为(m，M)时，g(λ)≥M. 类型二　“最值法”解决不等式恒成立问题 　(2025·山东潍坊期末)已知函数f(x)＝(x－1)(ex－ax－a). (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若x≥0时，f(x)≥－a，求a的取值范围． [解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝(x－1)ex，f(0)＝－1， 则f′(x)＝xex，f′(0)＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－1. (2)由f(x)＝(x－1)(ex－ax－a)，得f′(x)＝x(ex－2a). 当x≥0时，ex≥1，所以当2a≤1，即a≤时，f′(x)≥0，f(x)单调递增， 所以f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a－1. 令a－1≥－a，得a≥，所以a＝. 当2a>1，即a>时，若x∈(0，ln 2a)，则f′(x)<0，f(x)单调递减； 若x∈(ln 2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值为f(ln 2a)＝－a(ln 2a－1)2. 令－a(ln 2a－1)2≥－a⇒(ln 2a－1)2≤1⇒－1<ln 2a－1≤1， 解得<a≤. 综上，a的取值范围为. “最值法”解决不等式恒成立问题 在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式整理成f(x，a)>0或f(x，a)≥0的形式，然后从研究函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值，直接用参数表示函数的最值，然后根据题意，建立关于参数的不等式，解不等式即得参数的取值范围． (1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则f(x，a)>0恒成立⇔g(a)>0，f(x，a)≥0恒成立⇔g(a)≥0. (2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则f(x，a)<0恒成立⇔g(a)<0，f(x，a)≤0恒成立⇔g(a)≤0. 类型三　“同构法”解决不等式恒成立问题 　已知函数f(x)＝aex-1－ln x＋ln a. (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围． [解析]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex-1－. (1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x＋2. 直线y＝(e－1)x＋2在x轴、y轴上的截距分别为，2.因此所求三角形的面积为. (2)由题意a>0，当0<a<1时， f(1)＝a＋ln a<1. 当a＝1时，f(x)＝ex-1－ln x， f′(x)＝ex-1－. 当x∈(0，1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1. 当a>1时， f(x)＝aex-1－ln x＋ln a≥ex-1－ln x≥1. 综上，a的取值范围是[1，＋∞). “同构法”解决不等式恒成立问题 在不等式恒成立求参数的取值范围问题中，如果不等式中同时含有ex和ln x两种形式的函数，可以考虑将不等式进行合理的转化、变形、拼凑，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题，从而解决问题，这种解题方法通常称之为“同构”，同构的三种基本模式如下： (1)积型：aea≤b ln b 同构方式 (2)商型：< 同构方式 (3)和差型：ea±a>b±ln b 同构方式 学科网（北京）股份有限公司 $