6.1.2 导数及其几何意义（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦导数的概念与几何意义核心知识点，从平均变化率过渡到瞬时变化率，通过质点运动方程实例引入瞬时速度，抽象出函数导数定义，再结合割线到切线的动态转化理解几何意义，构建从概念到切线方程求解的完整学习支架。 资料以问题驱动概念形成，如“质点运动求瞬时速度”培养数学抽象，“割线逼近切线”过程发展直观想象，例题变式（如过原点切线方程求解）提升逻辑推理与数学运算能力。课中辅助教师引导探究，课后通过易错案例和练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

6．1.2　导数及其几何意义 学业标准 素养目标 1．了解函数导数的概念，会求函数在某一点处的导数．(难点) 2．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点) 1．通过导数几何意义的学习，培养数学抽象、直观想象核心素养． 2．借助求曲线的切线方程，提升逻辑推理、数学运算核心素养． [对应学生用书P57] 导学1　瞬时变化率与导数 　一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度． [提示]　＝＝－6－3Δt. 　当Δt趋近于0时问题1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ [提示]　当Δt趋近于0时，趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度． ◎结论形成 1．物体运动的瞬时速度 设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当__Δt趋近于0__时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于一个常数，这个常数称为t0时刻的__瞬时速度__． 2．函数的瞬时变化率与导数 (1)定义 设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0附近改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在点x0处的__瞬时变化率__．此时，也称 f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k，也可以表示为f′(x0)＝ . (2)瞬时变化率f′(x0)的实际意义：当自变量在x＝x0处改变量Δx很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx. 导学2　导数的几何意义 　如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？ [提示]　l1不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线． 　设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割线AB如何变化呢？割线AB的斜率kAB与在点A处的切线AD的斜率k之间有什么关系？ [提示]　当点B沿曲线趋近于A时，割线AB趋近于确定的位置，且kAB无限趋近于切线AD的斜率k. ◎结论形成 1．割线、切线的意义 (1)割线：设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线__PP0__为曲线S的割线． (2)切线：如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于__通过P0的一条直线l__，则称直线l为曲线S在点P0处的切线． 2．导数的几何意义 (1)几何意义 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)为__曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率__． (2)曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)切线的方程为y－f(x0)＝__f′(x0)(x－x0)__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．(　　) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．(　　) (3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(　　) (4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．(　　) 解析　(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值． (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值． (3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． (4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法不正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 解析　结合平均变化率与瞬时变化率可知选项A、B、D都不正确． 答案　ABD 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在　　　　　 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 解析　f′(x0)＝0，即曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线斜率为0，所以切线与x轴平行或重合，故选B. 答案　B 4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________． 解析　点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上， ∴f(5)＝－5＋8＝3. 且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2. 答案　2 [对应学生用书P59] 题型一　求瞬时速度　(一题多变) 　如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s＝2(1＋t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求此物体在1.2 s末的瞬时速度． [解析]　Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt＋2(Δt)2， ＝ (4.8＋2Δt)＝4.8，即s′(1.2)＝4.8，故物体在1.2 s末的瞬时速度为4.8 m/s. [母题变式] 1．(变结论)试求该物体在t0时的瞬时速度． 解析　因为Δs＝2[1＋(t0＋Δt)2]－2(1＋t)＝4Δt·t0＋2(Δt)2， 所以s′(t0)＝ ＝ (4t0＋2Δt)＝4t0， 所以此物体在t0时的瞬时速度为4t0 m/s. 2．(变结论)物体在哪一时刻的瞬时速度为12 m/s? 解析　因为s′(t0)＝ ＝ (4t0＋2Δt)＝4t0，所以由4t0＝12，得t0＝3，所以此物体在3 s时的瞬时速度为12 m/s. [素养聚焦]　本题主要考查瞬时速度的求法，培养数学抽象和数学运算核心素养． 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变量Δs，再求出平均速度＝，最后计算当Δt趋向于0时，趋向于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度． [触类旁通] 1．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 解析　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数s(t)在t＝2处的瞬时变化率． ∵质点M在t＝2附近的平均变化率为 ＝＝＝4a＋aΔt， ∴ ＝4a＝8，即a＝2. 题型二　求函数在某点处的导数 　[教材例2提升]将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，求函数f(x)在x＝2和x＝6处的导数，并解释它们的实际意义． [解析]　∵Δf＝f(2＋Δx)－f(2)＝(Δx)2－3Δx， ∴＝Δx－3，当Δx→0时，→－3， 故f′(2)＝－3. 同理可得f′(6)＝5. f′(2)＝－3表示在第2 h时，原油温度以3 ℃/h的速度下降； f′(6)＝5表示在第6 h时，原油温度以5 ℃/h的速度上升． 利用导数的定义求函数在点x0处的导数的步骤 [触类旁通] 2．求函数f(x)＝4x2＋6在x＝1处的导数． 解析　∵Δf＝f(1＋Δx)－f(1)＝4(1＋Δx)2＋6－4－6＝8Δx＋4(Δx)2， ∴＝8＋4Δx， ∴f′(1)＝ ＝ (8＋4Δx)＝8. 题型三　求曲线的切线方程 　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1，1)的切线方程． [解析]　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1). f′(1)＝ ＝ ＝[3＋3Δx＋Δx2]＝3.∴k＝f′(1)＝3. ∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知f′(x0)＝3x，由题意可知kPQ＝f′(x0)， 即＝3x，又y0＝x，所以＝3x， 即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0. 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0). (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． [触类旁通] 3．在曲线y＝x2上过哪一点的切线： (1)平行于直线y＝4x－5? (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0? (3)倾斜角为135°？ 解析　设P(x0，y0)是满足条件的点，则f′(x0)＝ ＝ ＝2x0. (1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． (3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P 是满足条件的点． [缜密思维提能区]　易错案例 求曲线的切线方程 [典例]　已知抛物线y＝x2＋x＋1，求该抛物线过原点的切线方程． [错解]　切点即为原点(0，0)， f′(0)＝ ＝ (1＋Δx)＝1，故斜率为1. 得切线方程为y＝x，即x－y＝0. [正解]　设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ ＝ (2x0＋1＋Δx)＝2x0＋1， 所以斜率k＝2x0＋1， 故所求的切线方程为y－y0＝(2x0＋1)(x－x0)， 将(0，0)及y0＝x＋x0＋1代入上式得 －(x＋x0＋1)＝－x0(2x0＋1)， 解得x0＝1或x0＝－1，所以k＝3或k＝－1， 所以切线方程为y＝3x或y＝－x， 即3x－y＝0或x＋y＝0. [纠错心得]　求切线方程时，一定要看清楚求的是曲线上某点处的切线方程，还是过某点的切线方程，求过某点处的切线方程时，这个点不一定是切点，需要设切点． 知识落实 技法强化 (1)瞬时变化率与导数． (2)导数的几何意义． (1)函数在某点处的导数即在该点处的瞬时变化率，它反映了函数在该点处的变化状态．如以时间为自变量的位移函数的导数表示某时刻物体的运动速度，即v＝s′(t). (2)函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． 学科网（北京）股份有限公司 $