教考衔接1 数列中的奇、偶项问题（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦数列奇、偶项问题这一核心知识点，通过真题展示与教材习题溯源引入，系统梳理含(-1)^n、分奇偶项、连续两项和或积等题型，以三种类型例题为学习支架，构建从实例到方法归纳再到应用的完整脉络。 该资料以“真题引领-教材溯源-方法归纳”为主线，通过分类探究培养学生用数学眼光抽象问题特征、用数学思维进行逻辑推理的能力，如分奇偶项讨论通项、并项求和等实例。课中助力教师高效授课，课后学生可通过题型解析与方法总结巩固知识，弥补薄弱环节。

[对应学生用书P37] 一、真题展示 (2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 二、真题溯源 (人教B版选择性必修第三册P15习题5－1B T5) 写出数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式． (人教B版选择性必修第三册P59复习题B组 T7) 已知{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，求S8的值． 三、类法探究 　数列中的奇、偶项问题是把一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列的问题． (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①含有(－1)n的类型； ②含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ③已知条件明确的奇、偶项问题； ④数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)). (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 类型一　通项中含有(－1)n的数列求和 　记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝(n＋1)an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n+1a，求数列{bn}的前2n项和T2n. [解析]　(1)∵2Sn＝(n＋1)an(n∈N＋)， ∴2Sn－1＝nan－1(n≥2)， 两式相减得2an＝(n＋1)an－nan－1， 即(n－1)an＝nan－1， ∴＝(n≥2)，∴－＝0， ∴数列是以1为首项，0为公差的等差数列， ∴＝1＋(n－1)×0＝1，∴an＝n. 当n＝1时，a1＝1满足上式，∴an＝n(n∈N＋). (2)由(1)知bn＝(－1)n+1a＝(－1)n+1n2， ∴b2n－1＋b2n＝(2n－1)2－(2n)2＝－4n＋1， ∴(b2n－1＋b2n)－(b2n－3＋b2n－2)＝－4n＋1－[－4(n－1)＋1]＝－4， 又b1＋b2＝－3， 即数列{b2n＋b2n－1}是以－3为首项，－4为公差的等差数列． ∴T2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝－3n＋×(－4)＝－2n2－n. 含有(－1)n的数列求和时，要综合利用好分组求和、并项求和、裂项相消法求和等方法，求出的前n项和Sn要分奇偶表示．求参数时，要分奇偶，构造关于n的函数，注意取最值时n的值． 类型二　奇、偶项通项不同的数列求和 　{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝26，T3＝12. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Tn. [解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则b1＝a1－4，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－4＝a1＋2d－4， 则 解得d＝3，a1＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1， 所以数列{an}的通项公式是an＝3n－1. (2)由(1)知，bn＝k∈N＋， 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋b5＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋bn) ＝(－2＋4＋10＋…＋3n－8)＋(10＋22＋34＋…＋6n－2) ＝＋＝. 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝－6n－4＝. 所以当n为偶数时，Tn＝； 当n为奇数时，Tn＝. n分奇偶求通项公式，将原有的数列分为2个数列，要分清原数列中的项在新数列中为第几项，或将n转化为2k－1或2k(k∈N＋)表示，求出通项公式．数列是一种特殊的函数，数列问题中经常出现恒成立问题，解题思路与函数的恒成立问题一致，但要注意n的取值． 类型三　连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)) 　设数列{an}为等比数列，且a2＝2，a5＝16，数列{bn}满足b1＝0且bn＋1＋bn＝2n(n∈N＋). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝an·bn，Tn是{cn}的前n项和，求Tn. [解析]　(1)设{an}的公比为q，则a5＝a2q3＝16， 又a2＝2，所以q＝2， 所以an＝a2qn-2＝2n-1， 由bn＋1＋bn＝2n， 可得bn＋bn－1＝2(n－1)(n≥2)， 两式相减，得bn＋1－bn－1＝2(n≥2)， 所以数列{bn}的奇数项是以b1为首项，2为公差的等差数列，即n是奇数时， bn＝b2k－1＝b1＋(k－1)·2＝·2＝n－1， 那么n是偶数时，bn＝2n－bn＋1＝n， 即bn＝ (2)cn＝an·bn＝ 则Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＋…＋anbn ＝0·20＋2·21＋2·22＋4·23＋4·24＋…. 当n是奇数时，设n＝2k－1，则 Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn ＝0·20＋2·21＋2·22＋4·23＋4·24＋…＋(2k－2)·22k-3＋(2k－2)·22k-2 ＝0·20＋[2·21＋4·23＋…＋(2k－2)·22k-3]＋[2·22＋4·24＋…＋(2k－2)·22k-2] ＝3[2·21＋4·23＋…＋(2k－2)·22k-3] ＝3[1·22＋2·24＋3·26＋…＋(k－1)·22k-2]， 记Sk＝1·22＋2·24＋3·26＋…＋(k－1)·22k-2， 那么4Sk＝1·24＋2·26＋3·28＋…＋(k－1)·22k， 则－3Sk＝22＋24＋26＋28＋…＋22k-2－(k－1)·22k ＝－(k－1)·4k ＝·4k－， Tn＝3Sk＝·4k＋ ＝＋·4 ＝＋·2n. 当n是偶数时，Tn＝Tn－1＋anbn ＝＋·2n-1＋n·2n-1 ＝＋·2n-1 ＝＋·2n， 即Tn＝ 对于an＋1＋an＝f(n)的形式，可利用相邻项的两式相减，即寻找间隔两项之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $