5.4 数列的应用（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦数列的应用核心知识点，系统梳理将实际问题转化为等差数列（如单利、等额本金还款）、等比数列（如复利、等额本息还款）及递推数列模型的方法，通过导学问题区分概念，结合分期还款、乘数效应等实例构建学习支架。 资料以生活问题（如购房贷款、存款利息）为情境，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过建立数列模型培养数学建模，例题解析逻辑推理清晰，强化数学运算。课中辅助教师讲解实际应用，课后练习题帮助学生巩固，查漏补缺。

5．4　数列的应用 学业标准 素养目标 1．能将实际问题转化为等差数列、等比数列模型．(重点、难点) 2．能综合运用等差、等比数列的知识解决有关分期还款和政府支出的“乘数”效应等问题．(重点、难点) 1．通过将实际问题转化为等差数列、等比数列模型，主要培养数学建模核心素养； 2．通过应用数列的知识解决相关实际问题，培养逻辑推理、数学运算核心素养． [对应学生用书P39] 导学　数列的实际应用 　分期付款与分期还款有区别吗？有的话区别是什么？ [提示]　有区别，区别在于“款”所购买的物品或服务，在款项没到达前，你是否占有了该物品或服务．没占有，就是“分期付款”，占有了，就是“分期还款”． 　与增长量和降低量有关的问题一般对应什么数列？与增长率和降低率有关的问题呢？ [提示]　与增长量和降低量有关的问题一般对应等差数列，与增长率和降低率有关的问题一般对应等比数列． 　单利问题和复利问题分别对应什么数列？ [提示]　单利问题：设本金为p，期利率为r，则n期后本利和Sn＝p(1＋nr)，对应的是等差数列；复利问题：设本金为p，期利率为r，则n期后本利和Sn＝p(1＋r)n，对应的是等比数列． ◎结论形成 1．分期还款 指将有多次还款，偿还的__本金__和利息被分摊到每期的还款中．常见的分期还款方式有__等额本金还款法__和__等额本息还款法__． (1)等额本金还款法：指将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期还款金额由每一期的本金和利息两部分组成． 每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率． (2)等额本息还款法：指将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，每一期所还钱数相等． 每期还款金额＝ 2．乘数效应 是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度． 3．数列应用题常见模型 (1)单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝__a(1＋xr)__． (2)复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝__a(1＋r)x__． (3)产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝__N(1＋p)x__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息.(　　) (2)定期自动转存模型是等差数列．(　　) (3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．(　　) (4)常见的分期还款方式有等额本息还款和等额本金还款两种．(　　) 解析　(1)不正确，本息指本金与利息的和； (2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列； (3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计； (4)正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小李年初向银行贷款m万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始还款，分10次等额还清，每年1次，问每年应还(　　) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 解析　设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝m(1＋p)10，＝m(1＋p)10，x＝.故选B. 答案　B 3．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(　　) A．10 000×1.0363　　 B．10 000×1.0364 C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366 解析　由复利公式得 S＝10 000×(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365. 答案　C 4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，每年到期时自动转存为一年定期，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0.001) 解析　10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元). 答案　6.246 [对应学生用书P40] 题型一　等差数列模型的应用 　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ [解析]　因购房时付150万元， 则欠款1 000万元，依题意分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}． 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， … 所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋). 所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列． 所以a10＝60－9×＝55.5. 所以第10个月应付55.5(万元). a20＝60－19×＝50.5. 所以S20＝×(a1＋a20)×20 ＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元). 与等差数列有关的实际应用题，首先要抓住反映等差数列的特征(每个量比上一个量增加或减少相同的常数)，构成等差数列模型，其次要弄清数列的首项、公差、项数等，要分清是数列通项问题还是求和问题． [触类旁通] 1．(2024·广东佛山高二月考)某剧场有40排座位，第一排有20个座位，以后每排都比前一排多2个座位． (1)求该剧场的座位数； (2)若该剧场票价如下：第一排至第10排(含第10排)每张200元，第11排至第30排(含第30排)每张150元，其他每张100元，求该剧场满座时，每场演出的总收入． 解析　(1)依题意，剧场座位数从第一排起的各排座位数构成等差数列{an}(n≤40，n∈N＋)，首项a1＝20，公差d＝2， 设数列{an}的前n项和为Sn， 则S40＝40a1＋d＝40×20＋40×39＝2 360， 所以该剧场的座位数为2 360. (2)由(1)知， S10＝10a1＋d＝10×20＋10×9＝290， S30＝30a1＋d＝30×20＋30×29＝1 470， 剧场满座时，每场演出的总收入 W＝200S10＋150(S30－S10)＋100(S40－S30) ＝200×290＋150(1 470－290)＋100(2 360－1 470) ＝324 000(元)， 所以剧场满座时，每场演出的总收入为324 000元． 题型二　等比数列模型的应用 　商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2022年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款． (1)若公寓收费标准定为每生每年800元，到哪一年可偿还建行全部贷款？ (2)若公寓管理处要在2030年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元)？(参考数据：lg 1.734 3＝0.239 1，lg 1.05＝0.021 2，1.058＝1.477 4) [解析]　依题意，公寓2022年底建成，2023年开始使用． (1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800＝800 000＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元． 依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n-1]≥500(1＋5%)n+1. 化简得62(1.05n－1)≥25×1.05n+1. ∴1.05n≥1.7343. 两边取对数整理得 n≥＝＝11.28. ∴取n＝12(年). ∴到2034年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x元，因到2030年底公寓共使用了8年， 依题意有[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9. 化简得(0.1x－18)≥500×1.059. ∴x≥10 ＝10 ＝10×(18＋81.2)＝992(元). 故每生每年的最低收费标准为992元． 银行的单利问题和复利问题，要理解清楚单利是一个等差数列问题，复利是一个等比数列问题. [触类旁通] 2．(2024·浙江金华高二期末)在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元；公司B：第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作n年，第n年的月工资分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？(1.0510≈1.6). 解析　(1)选择在公司A连续工作n年，第一年月工资3 000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元， 则他第n年的月工资为3 000＋(n－1)×300＝300n＋2 700(元)(n∈N＋)； 选择在公司B连续工作n年，第一年月工资3 720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%， 则他第n年的月工资为 3 720×(1＋0.05)n-1(元)(n∈N＋). (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司A、公司B得到的报酬分别为 公司A：12×[3 000＋(3 000＋1×300)＋…＋(3 000＋9×300)]＝12×3 000×10＋12×300×＝522 000(元). 公司B：12×3 720×(1＋1.051＋1.052＋…＋1.059)＝12×3 720×≈535 680(元)， 因为535 680>522 000，故从公司B得到的报酬较多． 题型三　递推数列模型的应用 　某轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳的房租和所得税为该月所得金额(包括利润)的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元(精确到0.1元)? [解析]　第一个月月底余a1＝(1＋20%)×10 000－(1＋20%)×10 000×10%－300＝10 500元， 设第n个月月底余an元，第n＋1个月月底余an＋1元， 则an＋1＝an(1＋20%)－an(1＋20%)×10%－300＝1.08an－300(n≥1)， 从而有an＋1－3 750＝1.08(an－3 750)， 设bn＝an－3 750，则b1＝6 750， ∴{bn}是等比数列，bn＝b1×1.08n-1＝6 750×1.08n-1， ∴an＝6 750×1.08n-1＋3 750， ∴该年年底，该私营企业主有a12＝6 750×1.0811＋3 750≈19 488.6元， 还清银行贷款后纯收入为a12－10 000(1＋5%)≈8 988.6元． [素养聚焦]　本题通过数列在日常经济生活中的应用，提升数学建模和数学运算核心素养． 如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．可先从特殊的情形入手，再寻找一般的递推关系． [触类旁通] 3．某地今年年初居民住房面积为a m2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰. (1)如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？ (2)依照(1)的拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房？ 注：下列数据供计算时参考： 1.19≈2.36 1.004 99≈1.04 1.110≈2.6 1.004 910≈1.05 1.111≈2.85 1.004 911≈1.06 解析　(1)设今年人口为b人，则10年后人口为b(1＋4.9‰)10≈1.05b. 1年后的住房面积为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x， 2年后的住房面积为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)， 3年后的住房面积为(1.12a－1.1x－x)×(1＋10%)－x＝1.13a－x(1＋1.1＋1.12)， …… 10年后的住房面积为a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)≈2.6a－x× ≈2.6a－16x. 所以＝2×. 解得x≈. (2)拆除全部旧房共需a÷＝16(年). [缜密思维提能区]　规范答题 等差、等比数列模型的综合应用 [典例]　(15分)假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： 方案一　每年年末加1 000元； 方案二　每半年结束时加300元．请你选择： (1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ (2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？ [审题指导]　—————— [规范解答]　设方案一第n年年末加薪an， 因为每年年末加薪1 000元， 则an＝1 000n； 设方案二第n个半年加薪bn， 因为每半年加薪300元， 则bn＝300n.(4分) (1)在该公司干10年(20个半年). 方案一：共加薪S10＝a1＋a2＋…＋a10＝55 000(元)； (6分) 方案二：共加薪T20＝b1＋b2＋…＋b20＝20×300＋×300＝63 000(元).(8分) (2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1 000×n＋×1 000＝500n2＋500n，(11分) T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2n×300＋×300＝600n2＋300n.(13分) 令T2n≥Sn， 即600n2＋300n≥500n2＋500n， 解得n≥2， 当n＝2时等号成立． 所以，如果干3年以上(包括3年)应选择第二个方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一个方案．(15分) 知识落实 技法强化 (1)等差数列模型的应用． (2)等比数列模型的应用． (3)递推数列模型的应用． 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即可以通过建立相应的数列模型来解决．在解应用题时，判断是否是数列问题，一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律． 学科网（北京）股份有限公司 $