5.3.1 第1课时 等比数列的定义（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学等比数列的定义及通项公式，通过观察实例归纳共同特点引出定义，再以归纳法和累乘法推导通项公式，结合单调性分析及实际应用问题，构建完整知识支架。 资料通过导学问题引导学生抽象定义培养数学抽象素养，多方法推导公式提升逻辑推理能力，融入车辆贬值、十二平均律等实例强化应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

5．3　等比数列 5．3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 学业标准 素养目标 1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的判断与证明方法．(重点) 2．了解等比数列与指数函数的关系．(难点) 3．会归纳等比数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题．(重点、难点) 1．借助等比数列概念的学习，培养数学抽象核心素养． 2．借助等比数列通项公式的推导，提升逻辑推理核心素养． 3．通过等比数列通项公式的运用，提升数学运算、逻辑推理核心素养． [对应学生用书P23] 导学1　等比数列的定义 　阅读课本第29页，数列①②③有什么共同特点？ [提示]　每一项与它前一项的比等于同一常数． 　能不能归纳出这三个数列的通项公式？ [提示]　①an＝2n-1；②an＝； ③an＝1 000×1.03n. ◎结论形成 　等比数列的定义 如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之__比__都等于同一个常数q，即__＝q__恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的__公比__． [微点睛]　对等比数列定义的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征). (3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比，不要把分子与分母颠倒． (4)等比数列中的任何一项均不能为零． 导学2　等比数列的通项公式 　如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列{an}的通项公式吗？ [提示]　根据等比数列的定义知：a1＝a1q0，a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，一般地，有an＝a1qn-1. 　除了利用归纳法，你还有其他的方法推导等比数列的通项公式吗？ [提示]　根据等比数列的定义得：＝q，＝q，＝q，…，＝q(n＞1). 将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘， 得···…·＝qn-1， 化简得＝qn-1，即an＝a1qn-1. 当n＝1时，上面的等式也成立． ∴an＝a1qn-1(n∈N＋). ◎结论形成 1．等比数列的通项公式 如果等比数列{an}的首项是a1，公比为q，则等比数列的通项公式为__an＝a1qn-1__． 2．等比数列的单调性 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＜0 a1＞0 __递增__数列 __递减__数列 __常__数列 摆动 数列 a1＜0 __递减__数列 __递增__数列 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于常数，这个数列一定是等比数列．(　　) (2)当等比数列的公比q＞1时，一定是递增数列．(　　) (3)等比数列{an}中，a1，a4，a7，a10，…仍然是等比数列．(　　) (4)数列(ξ－1)，(ξ－2)2，(ξ－1)3，…是等比数列．(　　) 解析　(1)应等于同一个常数． (2)当数列的公比q＞1时，若a1＜0，则是递减数列． (3)a1，a4，a7，a10，…是以a1为首项，q3为公比的等比数列． (4)由于ξ－1可能为0，所以此数列不是等比数列． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　) A．a≠1　　　　 　　 B．a≠0或a≠1 C．a≠0 D．a≠0且a≠1 解析　等比数列中不能有为0的项，故a≠0且a≠1.又∵＝1－a＝q，q≠0，也需a≠1.综上，a≠0且a≠1. 答案　D 3．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3＝(　　) A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 解析　由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2， 所以a3＝＝32. 答案　C 4．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n，3an＋1－an＝0，则an＝________． 解析　∵3an＋1－an＝0，∴＝，因此{an}是以为公比的等比数列，又a1＝2，所以an＝2×. 答案　2× [对应学生用书P24] 题型一　等比数列的通项公式及应用　(一题多解) 　[教材例2提升]在等比数列{an}中， (1)a1＝3，a3＝27，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [解析]　(1)a3＝a1·q2， 所以27＝3·q2，所以q＝±3. an＝3·3n-1或an＝3·(－3)n-1； 即an＝3n或an＝－(－3)n. (2)方法一　因为 由得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32·＝1， 即26-n＝20，所以n＝6. 方法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn-1＝1，知n＝6. a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，方法一是常规解法，先求a1，q，再求an，方法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法． [触类旁通] 1．在等比数列{an}中，公比为q. (1)若a1＝－2，q＝－，求通项公式an； (2)若a1＝－5，a4＝40，求q并写出通项公式an； (3)若a1＝2，q＝，an＝，求项数n. 解析　(1)因为a1＝－2，q＝－，所以an＝a1qn-1＝－2×n-1. (2)由题知，a4＝a1q3＝－5q3＝40，解得q＝－2， 所以an＝a1qn-1＝－5×(－2)n-1. (3)由题可知，an＝a1qn-1＝2×n-1＝，即n-1＝＝4， 所以n－1＝4，所以n＝5. 题型二　等比数列的判定　(一题多变) 　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋). (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． [解析]　(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， 所以a1＝－，又S2＝(a2－1)， 即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. (2)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－，又a1＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． [母题变式] 1．(变条件、变结论)将本例条件“Sn＝(an－1)(n∈N＋)”改为“a1＝1，a＝2a＋anan＋1”，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式． 证明　由已知得a－anan＋1－2a＝0， 所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0. 所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0， (1)当an＋1－2an＝0时，＝2.又a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 所以an＝2n-1. (2)当an＋1＋an＝0时，＝－1，又a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列， 所以an＝1×(－1)n-1＝(－1)n-1. 综上，数列{an}是等比数列，且an＝2n-1或an＝(－1)n-1. 2．(变条件、变结论)将本例的条件改为“a1＝，且an＋1＝an＋”，求证数列是等比数列． 证明　因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝an＋－＝， 又a1－＝≠0，所以＝， 所以是首项为，公比为的等比数列． [素养聚焦]　本题主要考查等比数列的判定，突出考查逻辑推理和数学运算核心素养． 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可． [触类旁通] 2．已知数列{an}的首项为3，且满足an＋1＋an＝3·2n. (1)求证：{an－2n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等比数列． 解析　(1)证明　由an＋1＋an＝3·2n，an＋1＝3·2n－an， 得an＋1－2n+1＝3·2n－an－2n+1＝－(an－2n)，又a1－2＝1≠0， 所以{an－2n}是以1为首项，－1为公比的等比数列． (2)由(1)得an－2n＝1×(－1)n-1， an＝2n＋(－1)n-1， 所以a1＝3，a2＝3，a3＝9，a≠a1a3， 所以数列{an}不是等比数列． 题型三　等比数列的实际应用 　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(精确到0.1) [解析]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)， a3＝13.5×(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9. 所以an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1， 所以n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元． 等比数列实际应用的求解步骤 (1)构建等比数列模型． (2)明确a1，q，n，an等基本量． (3)利用an＝a1qn-1求解． (4)还原为实际问题． [触类旁通] 3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于同一个常数．若第一个单音的频率为f，第三个单音的频率为f，则第十个单音的频率为(　　) A．2f　　　　　　　 B．f C．f D．f 解析　根据题意，设单音的频率组成等比数列{an}，设其公比为q(q＞0)， 则有a1＝f，a3＝f，则q2＝，解可得q＝， 第十个单音的频率a10＝a1q9＝()9f＝f，故选B. 答案　B [缜密思维提能区]　规范答题 等比数列的判定与通项公式的应用 [典例]　(13分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝4an＋2n+1(n∈N＋). (1)令bn＝＋1，求证：数列{bn}为等比数列． (2)求数列{an}的通项公式． (3)求满足an≥240的最小正整数n. [审题指导]　根据第一问可知需构造数列bn＝＋1，利用定义证明即可，进而求出an，第(3)问也迎刃而解． [规范解答]　 (1)证明　因为an＋1＝4an＋2n+1， 所以＝2·＋1， 所以＋1＝2，(4分) 即bn＋1＝2bn，又b1＝＋1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．(6分) (2)由(1)可得bn＝2n，an＝4n－2n.(8分) (3)由4n－2n≥240， 即4n－2n－240≥0， 解得2n≥16(2n≤－15舍去)， (11分) 解得n≥4， 所以满足an≥240的最小正整数n为4. (13分) 知识落实 技法强化 (1)等比数列的定义． (2)等比数列的通项公式． (1)方程思想：等比数列的基本量a1，q. (2)等比数列的每一项都不等于零，判断等比数列时要特别注意，如若an＋1＝2an，则{an}未必是等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $