阶段测评4 [范围：6.2]（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

阶段测评(四)[范围：6.2] (时间：50分钟　满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·北京期中)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f(－1)为f(x)的极小值 B．f(x)恰有两个极值点 C．f(－3)为f(x)的极大值 D．f(x)恰有一个极值点 解析　该图象为函数f(x)的导函数的图象． 当f′(x)为0，且左右两侧符号发生变化时，该函数取得极值． 通过图象可以看出，导函数为0的点有两个，分别是在x＝－3和x＝－1处． 在x＝－3时，导函数左右两侧符号相反，左侧为负，函数递减，右侧为正，函数递增， 所以该函数在x＝－3处取得极小值． 而在x＝－1处，导函数左右两侧的符号均为正，所以此处不是函数的极值点． 这说明f(x)恰有一个极值点． 答案　D 2．(2025·湖北武汉期末)已知函数f(x)＝sin2x＋cos x，则f(x)在区间(0，π)上的极大值点为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　由f′(x)＝2sin x cos x－sin x＝sin x·(2cos x－1)， 因为x∈(0，π)，所以由f′(x)＝sin x(2cos x－1)＝0得cos x＝，即x＝， 当x∈时，f′(x)＝sin x(2cos x－1)＞0， 所以f(x)在x∈上单调递增， 当x∈时，f′(x)＝sin x(2cos x－1)＜0， 所以f(x)在x∈上单调递减， 即f(x)在区间(0，π)上的极大值点为，故选B. 答案　B 3．(2025·江西萍乡期中)函数f(x)＝x ln x＋在上的值域是(　　) A． B． C． D． 解析　由f(x)＝x ln x＋求导，得f′(x)＝ln x＋1－(x＞0)， 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝1， 又f＝e－＝，f(e)＝e＋＝，＞1，＞， 所以函数f(x)在上的最大值为， 因此函数f(x)在上的值域是. 答案　C 4．(2025·四川遂宁期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处取得极大值6，则a－b＝(　　) A．－8 B．8 C．－12 D．12 解析　因为f(x)＝ax3＋bx， 所以f′(x)＝3ax2＋b， 所以f′(1)＝3a＋b＝0，f(1)＝a＋b＝6， 解得a＝－3，b＝9， 当a＝－3，b＝9时， f′(x)＝－9x2＋9＝－9(x－1)(x＋1)， 当x＞1或x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜1时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增， 因此x＝1是f(x)的极大值点，故a＝－3，b＝9满足题意，所以a－b＝－12. 答案　C 5．(2025·山东临沂期中)已知函数f(x)＝ex＋ax恰有一个极值点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]∪{－e} B．[0，＋∞)∪{－e} C．(－∞，0) D．[0，＋∞) 解析　由题意可得f′(x)＝ex＋a，当a≥0时，f′(x)＞0在R上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去； 所以必有a＜0，令f′(x)＝0，得x＝ln (－a)， 当x＜ln (－a)时，f′(x)＜0；当x＞ln (－a)时，f′(x)＞0，即恰好有一个极小值点x＝ln (－a)，符合题意，故a的取值范围是(－∞，0). 答案　C 6．(2025·云南昆明期中)已知函数f(x)＝x＋＋3ln x在(0，2－3a)内有最小值，则实数a的取值可以是(　　) A． B． C． D． 解析　函数f(x)＝x＋＋3ln x定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝1－＋＝， 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， 所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，函数f(x)在x＝1处取得极小值，即最小值， 又函数f(x)在(0，2－3a)内有最小值，则1＜2－3a，解得a＜， 所以实数a的取值可以是. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．设函数f(x)的定义域为D，f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)在D上单调，则称函数f(x)为“C函数”．下列函数是“C函数”的有(　　) A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝x3 D．y＝tan x 解析　对于A，y＝ex的定义域为R，y′＝ex，则y′在定义域内单调递增，∴y＝ex是“C函数”； 对于B，y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝，则y′在定义域内单调递减， ∴y＝ln x是“C函数”； 对于C，y＝x3的定义域为R，y′＝3x2，则y′在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝x3不是“C函数”； 对于D，y＝tan x的定义域为 (k∈Z)，y′＝， 令f(x)＝，则f′(x)＝′＝， 当x∈时，f′(x)>0，∴y′单调递增； 当x∈时，f′(x)<0，∴y′单调递减， ∴y＝tanx不是“C函数”．故选AB. 答案　AB 8．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝x ln x，且f＝，则(　　) A．f′＝0 B．f(x)在x＝处取得极大值 C．0<f(1)<1 D．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 解析　∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，xf′(x)－f(x)＝x ln x， 即满足＝， ∵′＝， ∴′＝， ∴可设＝ln2x＋b(b为常数)， ∴f(x)＝x ln2x＋bx， ∵f＝·ln2＋＝，解得b＝， ∴f(x)＝x ln2x＋x， ∴f(1)＝，满足0<f(1)<1，∴C正确； ∵f′(x)＝ln2x＋ln x＋＝(ln x＋1)2≥0，且仅有f′＝0，∴B错误，A、D正确． 答案　ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是______． 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝－1，令f′(x)>0，得0<x<1， 则f(x)的单调递增区间是(0，1). 答案　(0，1) 10．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为________． 解析　由题知，f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex， 因为f(x)的单调递减区间是， 所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1， 所以即 解得m＝－. 答案　－ 11．已知函数f(x)＝x2－4x＋(x－2)cos x－sin x在x＝a处取得最小值m，则m＋a＝________． 解析　因为f′(x)＝2x－4＋cos x－(x－2)·sin x－cos x＝(x－2)(2－sin x)， 且2－sin x>0， 所以当x∈(－∞，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)在x＝2处取最小值f(2)＝－4－sin 2，所以a＝2，m＝－4－sin 2， 所以m＋a＝－2－sin 2. 答案　－2－sin 2 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值． 解析　(1)由f(x)＝(x－k)ex， 得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1. 当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表． x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  －ek-1  所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1]；单调递增区间是[k－1，＋∞). (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0<k－1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek-1； 当k－1≥1，即k≥2时， 函数f(x)在[0，1]上单调递减． 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k； 当1<k<2时，f(x)min＝－ek-1； 当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e. 13．(15分)已知函数f(x)＝ln x＋x2－1，g(x)＝ex－ax－a3. (1)求函数f(x)的零点； (2)若函数g(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解析　(1)函数f(x)＝ln x＋x2－1的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝＋2x>0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(1)＝0， 所以函数f(x)的零点是1. (2)函数g(x)＝ex－ax－a3的定义域为R，求导得g′(x)＝ex－a, 当a≤0时，g′(x)>0，函数g(x)在R上单调递增，无极值； 当a>0时，由g′(x)<0，得x<ln a；由g′(x)>0，得x>ln a，所以函数g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，当x＝ln a时，g(x)取得极小值g(ln a)＝a－a ln a－a3， 依题意，g(ln a)＝a－a ln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0， 由(1)知，f(a)＝a2＋ln a－1在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0， 因此不等式a2＋ln a－1>0的解集为(1，＋∞)， 所以a的取值范围为(1，＋∞). 14．(15分)已知函数f(x)＝2ln x＋－2，其中a>0 . (1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求实数a的值； (2)若函数f(x)≥1在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)依题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝－，因为函数f(x)在x＝1处取得极值， 所以f′(1)＝2－a＝0，解得a＝2， 此时f′(x)＝－＝， 当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在x＝1处取得极值，a＝2符合题意，所以实数a的值是2. (2)∀x∈[1，＋∞)，f(x)≥1⇒2ln x＋－2≥1⇒a≥3x－2x ln x. 令g(x)＝3x－2x ln x，x≥1， 求导得g′(x)＝3－2(1＋ln x)＝1－2ln x， 当1<x<时，g′(x)>0，当x>时，g′(x)<0， 即g(x)在[1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 因此，当x＝时，g(x)取得最大值，g(x)max＝g()＝2，于是得a≥2， 所以实数a的取值范围是[2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $