教考衔接3 导数中函数构造问题（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“导数及其应用”，核心围绕导数中函数构造问题展开。课堂导入从导数的定义、求导法则等已有知识切入，通过问题链引导学生发现函数构造的必要性，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于突出教考衔接，结合数学思维（逻辑推理、问题分析）与数学语言（符号表达、模型构建），通过典型例题展示构造函数解决导数问题的方法。学生能提升解题能力，教师可借助此资料增强教学针对性，提高课堂效率。

教考衔接3　导数中函数构造问题 第六章　导数及其应用 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 第六章　导数及其应用 1 谢谢观看 第六章　导数及其应用 1 一、真题展示 (1)(全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b　　　　　　 B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 二、真题溯源 (人教B版选择性必修第三册P114复习题C组 T2) 若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，判断3f(1)与f(3)的大小． 三、类法探究 近年的数学试题中，很多涉及导数问题的解答常需要构造新函数，即联系已知条件和结论，构造辅助函数，若题目中遇到有关不等式、方程及最值类问题，则可构造函数，并确定自变量的范围，通过研究函数的单调性、最值等，可使问题变得清晰明了．构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所求解的不等式或方程；二是根据求导的基本法则．常见的函数构造有具体函数和抽象函数两种． 类型一　具体函数的构造 　已知a＝3πln 2，b＝2πln 3，c＝6ln π，则下列结论正确的是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a [解析]　令f(x)＝，则f′(x)＝， ∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， ∴f(3)>f(π)>f(4)， 即>>. 由>得πln 3>3ln π， ∴2πln 3>6ln π，即b>c； 由>得4ln π>πln 4， ∴6ln π>πln 4＝3πln 2，即c>a. 综上所述，b>c>a.故选D. [答案]　D 根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点，构造具体的函数解析式，利用导数研究函数的性质从而解决问题． 类型二　抽象函数的构造 角度1　利用f(x)与xn构造 　(2024·山东聊城高二月考)已知f′(x)是定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数，且xf′(x)－f(x)<0，则a＝f(2)，b＝f(e)，c＝f(3)的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>a>c [解析]　令h(x)＝， 则h′(x)＝<0， 故h(x)在(0，＋∞)上为减函数， 所以>>，即a>b>c. [答案]　A 利用f(x)与xn构造函数的技巧 (1)对于xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝xf(x). (2)对于xf′(x)－f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝. (3)对于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝xnf(x). (4)对于xf′(x)－nf(x)>0(或x<0)，可构造函数F(x)＝. 角度2　利用f(x)与ex构造 　已知f(x)为定义在R上的可导函数，且满足f(x)＞f′(x)，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有(　　) A．eaf(a)＞ebf(b) B．eaf(a)＜ebf(b) C．eaf(b)＜ebf(a) D．eaf(b)＞ebf(a) [解析]　构造函数g(x)＝，(x∈R)，则g′(x)＝， 因为f(x)＞f′(x)，故g′(x)＜0，g(x)在R上为减函数． 又a＜b，则＞，故eaf(b)＜ebf(a). [答案]　C 利用f(x)与ex(或enx)构造函数的技巧 (1)对于f′(x)＋f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝exf(x). (2)对于f′(x)－f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝. (3)对于f′(x)＋2f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝e2xf(x). (4)对于f′(x)－2f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝. 角度3　利用f(x)与sin x(或cos x)构造 　定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)＜－tan x·f(x)恒成立，则(　　) A．f＞f B．f＞f C．f＞f D．f＜f [解析]　因为x∈时，cos x＞0， 所以f′(x)＜－tan x·f(x)可化为f′(x)＋tan x·f(x)＜0， 设g(x)＝，x∈， 则g′(x)＝′＝＝＜0， 所以函数g(x)在上单调递减， 因为＜＜，所以g＞g＞g， 所以＞＞， 即f＞f＞2f， 对于A：因为f＞f，A选项f＞f不一定成立； 对于B：因为f＞3f，B选项f＞f不一定成立； 对于C：f＞f成立； 对于D：f＞f，D选项不成立；故选C. [答案]　C 利用f(x)与sin x，cos x构造函数的技巧 (1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x>0(或<0)，可构造函数F(x)＝f(x)·sin x. (2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x>0(或<0)，可构造函数F(x)＝. (3)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(或<0)，可构造函数F(x)＝. (4)对于f′(x)cos x－f(x)sin x>0(或<0)，可构造函数F(x)＝f(x)·cos x． $