6.3 利用导数解决实际问题（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“利用导数解决实际问题”，涵盖最优化问题类型、解题步骤及利润最大、用料最省等题型，通过课前自主学习梳理知识、基础自测巩固，课堂互动探究例题及变式，搭建从预习到应用的学习支架。 其亮点在于结合水箱用料、商品利润等实际情境构建函数模型，通过求导运算、单调性分析培养数学建模和逻辑推理素养，课堂小结强调实际意义与定义域，助力学生提升解决问题能力，教师可高效开展分层教学。

6.3　利用导数解决实际问题 第六章　导数及其应用 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 极值点 区间端点 极值点 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 学业标准 素养目标 1．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点) 2．能利用导数求出某些实际问题的最大值或最小值．(难点、易混点) 1．通过导数的实际应用的学习，培养数学建模核心素养． 2．通过利用导数解决最优化问题，提升逻辑推理、数学运算核心素养． 导学　利用导数解决实际应用问题 1．最优化问题 2．求实际问题的最值的主要步骤 (1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 y＝f(x). (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出__________． (3)比较函数在____________和在__________的取值大小，确定其最大(小)者为最大(小)值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)，那么f′(2)＝1的实际意义为当x＝2 s时，水流的瞬时速度为 1 m3/s.也就是说如果保持这一速度，每经过1 s水管中流过的水量为 1 m3.(　　) (2)生活中的实际优化问题必须利用导数解决．(　　) (3)在解决实际优化问题时，若函数在其定义域的开区间内只有一个极值点，则极值点就是最值点.(　　) (4)求解实际优化问题时，必须考虑变量的实际意义，从而确定其取值范围．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13万件　　　　　　 B．11万件 C．9万件 D．7万件 解析　y′＝－x2＋81， ∴当x＞9时，y′＜0，当x∈(0，9)时，y′＞0， ∴函数y＝－x3＋81x－234在(0，9)上递增，在(9，＋∞)上递减． 故当x＝9时，y有最大值． 答案　C 3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　) A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m 解析　设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256， 所以h＝.所用材料的面积设为S m2， 则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2， S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m). 答案　C 4．一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制作成一个无盖的小盒子，则小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大？ 解析　设小正方形的边长为x cm，则盒子的底面长为(8－2x)cm， 宽为(5－2x)cm， V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x， V′＝12x2－52x＋40＝(12x－40)(x－1)， 令V′＝0，有x＝1或x＝(舍)， 易知Vmax＝V(1)＝18. ∴小正方形边长为1 cm时，盒子容积最大． 题型一　利润最大(成本最低)问题 　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． [解析]　(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，所以a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)·＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6). 所以f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6). 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.又3<x<6， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表． x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值 单调递减 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值， 且最大值f(x)max＝2＋10×(－2)2＝42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说，利润L等于总收入减去总成本，而总收入等于(正品)产量乘以价格．由此可以得到利润L与产量的函数关系式，进而用导数求最大利润． 另外，如果依据条件所确定的函数关系中含有参数，在解决时，一定要根据情况确定分类标准，对参数进行讨论，做到不重不漏． [触类旁通] 1．中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤25，t∈N＋，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当20≤t≤25时，高铁为满载状态，载客量为1 000人；当5≤t<20时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(20－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人．记发车时间间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t). (1)求P(t)的表达式； (2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)＝P(t)－40t2＋650t－2 000(单位：元)，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？ 解析　(1)当5≤t<20时，不妨设P(t)＝1 000－k(20－t)2， P(5)＝1 000－k(20－5)2＝100， 解得k＝4， 因此P(t)＝ (2)当5≤t<20时，Q(t)＝P(t)－40t2＋650t－2 000＝－t3＋500t－2 000， 因此f(t)＝＝－t2－＋500，5≤t<20. 所以f′(t)＝－2t＋＝， 当5≤t<10时，f′(t)>0，f(t)单调递增； 当10<t<20时，f′(t)<0，f(t)单调递减， 所以f(t)max＝f(10)＝200. 当20≤t≤25时，Q(t)＝－40t2＋900t－2 000， 因此f(t)＝＝900－40，20≤t≤25. 所以f′(t)＝<0， 此时f(t)在[20，25]上单调递减，所以f(t)max＝f(20)＝0， 综上，发车时间间隔为10分钟时，单位时间的净收益最大． 题型二　用料最省、费用最低问题 　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值． [解析]　(1)由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－(舍去). 当0≤x<5时，f′(x)<0， 当5<x≤10时，f′(x)>0， 故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70. 所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答． (2)利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使 f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． [触类旁通] 2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v. (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 解析　(1)Q＝P·＝· ＝·400 ＝－v2＋6 000(0<v≤100). (2)Q′＝－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80， 当0<v<80时，Q′<0；当80<v≤100时，Q′>0， ∴当v＝80时，全程运输成本取得极小值，也是最小值， 且Qmin＝(元). ∴为使全程运输成本最少，汽车应以80千米/时的速度行驶，运输成本的最小值为元． 题型三　面积、体积的最值问题　(一题多变) 　[教材例2提升]请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角 形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ [解析]　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30. S＝4ah＝8x(30－x)，S′＝240－16x. 当S′＝0，得x＝15， 当x∈(0，15)时，S′＞0； 当x∈(15，30)时，S′＜0. 所以当x＝15时，S取得最大值． [母题变式] (变结论)在本例条件不变的情况下，广告商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 解析　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x). 由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20. 当x∈(0，20)时，V′＞0； 当x∈(20，30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为. [素养聚焦]　本题通过利用导数解决实际问题中的最值问题，提升数学建模和数学运算核心素养． 解决与面积、体积的最值有关的问题，关键是正确引入变量，将面积或体积表示为该变量的函数，结合具体问题确定其定义域，然后利用导数求其最值． [触类旁通] 3．(2024·河北邢台高二月考)如图，某长方体石膏的底面周长为8分米，高是长的两倍(底面矩形的长大于宽)，则该长方体石膏体积的最大值为(　　) A．16立方分米　　　 B．18立方分米 C．立方分米 D．立方分米 解析　设底面矩形的长为x分米，则宽为4－x分米，高为2x分米， 该长方体石膏体积V＝f(x)＝x(4－x)×2x＝8x2－2x3(2＜x＜4). ∴f′(x)＝16x－6x2＝2x(8－3x)， 当2<x<时，f′(x)>0； 当<x<4时，f′(x)<0. 故Vmax＝f＝(立方分米). 答案　C 知识落实 技法强化 在生活中，经常会遇到花费最少、用料最省、利润最大等最优化问题，解决这些问题可通过构建函数模型，利用导数来解决． 利用导数解决实际问题时的注意事项： (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在解决实际问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数式表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围． $