6.2.1 导数与函数的单调性（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“导数与函数的单调性”，通过具体函数实例设计问题链，引导学生观察导数正负与函数增减的关系，从特殊到一般形成判断法则，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，融入数学抽象、逻辑推理、数学运算素养，通过一题多变、易错案例强化理解，题型分层递进，助力学生构建知识体系，教师可高效实施教学，提升学生思维与运算能力。

6.2　利用导数研究函数的性质 6.2.1　导数与函数的单调性 第六章　导数及其应用 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 f′(x)＞0 呈上升状态 f′(x)＜0 呈下降状态 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 快 慢 快 慢 陡峭 平缓 陡峭 平缓 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 学业标准 素养目标 1．理解导数与函数的单调性的关系． (易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点) 3．会用导数求函数的单调区间． (重点、难点) 1．通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象核心素养． 2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算核心素养． 导学　函数的单调性与导数的关系 已知函数f(x)＝sin x，其导函数f′(x)＝cos x. 　判断函数f(x)在上的单调性，其导函数f′(x)的正负如何？ [提示]　f(x)在上单调递增，其导函数f′(x)＞0. [提示]　当f′(x)＞0时，f(x)为增函数，当f′(x)＜0时，f(x)为减函数． 　判断f(x)在上的单调性，其导函数f′(x)的正负如何？ [提示]　f(x)在上单调递减，f′(x)＜0. 　试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系． ◎结论形成 1．利用导数判断函数单调性的法则 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 图象 导数 导数为正，且绝对值越来越大 导数为正，且绝对值越来越小 导数为负，且绝对值越来越大 导数为负，且绝对值越来越小 函数值 函数值变化越来越______　　 函数值变化越来越______　　 函数值变化越来越______　　 函数值变化越来越______ 图象特点 越来越________　　 越来越________　　 越来越________　　 越来越________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为′＝－＜0恒成立，所以函数y＝在(－∞，＋∞)上单调递减．(　　) (2)因为′＝1＋＞0，所以函数y＝x－在(－∞，＋∞)上单调递增．(　　) (3)在区间(a，b)内，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的主要条件．(　　) (4)函数f(x)在(a，b)内变化得越快，其导数就越大.(　　) 解析　(1)因为函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，由′＝－＜0恒成立，所以函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数． (2)因为函数y＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，由′＝1＋＞0恒成立，所以函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数． (3)若f(x)在(a，b)内f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)内单调递增；反之不成立，例如f(x)＝x3在(－1，1)内单调递增，而f′(0)＝0. (4)函数f(x)在(a，b)内变化得越快，|f′(x)|越大． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(3)>0　　 　 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 解析　由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0. 答案　B 3．函数y＝x3－3x的单调减区间是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析　y′＝3x2－3，由y′＝3x2－3＜0得－1＜x＜1， ∴函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1，1). 答案　C 4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是______． 解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0， 解得x＞2. 答案　(2，＋∞) 题型一　函数单调性与导函数的关系　(一题多变) 　(1)(多选)函数y＝f(x)的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是[－1，5] B．函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4] C．函数y＝f(x)在定义域内是增函数 D．函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0 (2)函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)＜0的解集为________． [解析]　(1)由图象可知，函数的定义域为[－1，5]， 值域为(－∞，0]∪[2，4]，故A，B正确，函数f(x)在定义域内不是增函数，故C、D错误． (2)函数y＝f(x)在区间和区间(2，3)上单调递减，所以在区间和区间(2，3)上，y＝f′(x)＜0， 所以f′(x)＜0的解集为∪(2，3). [答案]　(1)AB　(2)∪(2，3) [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)中的条件不变，试求不等式f′(x)＞0的解集． 解析　根据题目中的图象，函数y＝f(x)在区间和区间(1，2)上为增函数，所以在区间和区间(1，2)上，y＝f′(x)＞0，所以f′(x)＞0的解集为∪(1，2). 2．(变结论)若本例(2)中的条件不变，试求不等式xf′(x)＞0 的解集． 解析　根据题目中的图象，函数y＝f(x)， 当x∈时，函数为减函数，则f′(x)＜0； 当x∈(1，2)时，函数为增函数，则f′(x)＞0. 综上可知，xf′(x)＞0的解集为∪(1，2). [素养聚焦]　通过函数的单调性与导数之间关系的考查，培养数学抽象、逻辑推理核心素养． (1)利用导数判断函数的单调性只需判断导数在该区间内的正负即可． (2)通过图象研究函数单调性的方法 ①观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； ②观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． [触类旁通] 1．(2024·吉林四平高二期中)已知函数f(x)在定义域内可导，f(x)的大致图象如图所示，则其导函数f′(x)的大致图象可能为(　　) 解析　观察图象知，当x<0时，f(x)先单调递减，再单调递增，则f′(x)先为负数，再为正数，当x>0时，f(x)先单调递增，再单调递减，最后单调递增，所以f′(x)先为正数，再为负数，最后为正数，故只有B选项符合． 答案　B 题型二　利用导数求函数的单调区间 　[教材例2提升]求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－2x2＋x； (2)f(x)＝3x2－2ln x； (3)f(x)＝x2＋a ln x(a∈R，a≠0). [解析]　(1)函数的定义域为R. ∵f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1. 令f′(x)>0，解得x<或x>1. 因此f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞). 令f′(x)<0，解得<x<1. 因此f(x)的单调递减区间是. (2)函数的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝6x－＝. 令f′(x)>0，即>0，解得－<x<0或x>.又x>0，∴x>. 令f′(x)<0，即<0，解得x<－或0<x<，又x>0， ∴0<x<. ∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (3)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋. ①当a>0时，f′(x)＝x＋>0恒成立，这时函数只有单调递增区间，为(0，＋∞)； ②当a<0时，由f′(x)＝x＋>0，得x>；由f′(x)＝x＋<0，得0<x<，∴当a<0时，函数的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，). 综上，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，). (1)利用导数求函数单调区间的步骤 ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f′(x)； ③由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围(当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数)； ④结合定义域写出单调区间． (2)求含参函数y＝f(x)的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f′(x)>0，f′(x)<0. [触类旁通] 2．(2025·天津河东月考)设函数f(x)＝ae2x－ex，a∈R，求函数f(x)的单调区间． 解析　因为f(x)＝ae2x－ex，则f′(x)＝2ae2x－ex＝ex(2aex－1)， 当a≤0时，则f′(x)＝ex(2aex－1)＜0， 即函数f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)，没有单调递增区间； 当a＞0时，由f′(x)＜0可得x＜－ln (2a)，由f′(x)＞0可得x＞－ln (2a). 此时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－ln (2a))，单调递增区间为(－ln (2a)，＋∞). 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间； 当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－ln (2a))，单调递增区间为(－ln (2a)，＋∞). 题型三　由函数的单调性求参数的取值范围　(一题多解) 　已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0，1)，a＞0，若f(x)在(0，1)上是增函数，求a的取值范围． [解析]　方法一　f′(x)＝2a－3x2，令f′(x)＞0，即2a－3x2＞0， 得0＜x＜ (∵a＞0，0＜x＜1)， 所以f(x)的增区间是， 又因为f(x)在(0，1)上是增函数， 所以(0，1)⊆，所以 ≥1， 即a≥，所以a的取值范围是. 方法二　f′(x)＝2a－3x2， 因为f(x)在(0，1)上是增函数， 所以f′(x)≥0在(0，1)上恒成立， 所以2a－3x2≥0，即a≥x2. 又x∈(0，1)，所以x2∈，故a≥. 所以a的取值范围为. 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数的范围 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立． [触类旁通] 3．(1)(2025·河南南阳月考)已知函数f(x)＝ln x－ax2在(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．[2，＋∞)　　　　 B．(2，＋∞) C． D． (2)(2025·福建厦门期中)已知函数f(x)＝x ln x－ax(a∈R)在[1，e]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(－∞，1] D．(－∞，1) 解析　(1)由f(x)＝ln x－ax2，则f′(x)＝－2ax，因为函数f(x)＝ln x－ax2在(1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)＝－2ax≤0对于x∈(1，＋∞)恒成立，即≤2a对于x∈(1，＋∞)恒成立， 而＜1，则2a≥1，即a≥，则实数a的取值范围为. (2)由题意可知：f′(x)＝1＋ln x－a＞0，即1＋ln x＞a在[1，e]上有解， 又因为g(x)＝1＋ln x在[1，e]上单调递增，则g(x)≤g(e)＝2， 则a＜2，所以实数a的取值范围是(－∞，2). 答案　(1)D　(2)B [缜密思维提能区]　易错案例 求函数的单调区间 [典例]　求函数y＝2x－ln x的单调递增区间． [错解]　y′＝2－， 令y′＞0，即2－＞0.解得x＜0或x＞. ∴函数y＝2x－ln x的单调增区间为(－∞，0)和. [正解]　函数y＝2x－ln x的定义域为(0，＋∞). y′＝2－，令y′＞0， 即2－＞0，解得x＞， ∴函数y＝2x－ln x的单调增区间为. [纠错心得]　解这类问题应首先关注函数的定义域，此函数y＝2x－ln x的定义域为(0，＋∞).本解答没考虑定义域而出现了(－∞，0)这一区间，导致错误． 知识落实 技法强化 (1)利用导数判断函数单调性的法则． (2)函数的图象的变化趋势与导数值大小的关系． 利用导数求函数的单调区间特别注意以下两点： (1)定义域优先原则； (2)在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是可导函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x＝0时，f′(x)＝0. $