6.1.3 基本初等函数的导数（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“基本初等函数的导数”，通过课前案问题引导（如求函数在特定点的导数），从特殊点导数过渡到导函数定义，再系统梳理导数公式，构建从具体到抽象的学习支架，衔接导数概念与公式应用。 其亮点是以问题链驱动探究，结合一题多变（如切线方程变式）和易错案例分析，通过双曲线切线与坐标轴围成三角形面积证明等实例，提升逻辑推理与数学运算素养，帮助学生深化概念理解，也为教师提供结构化教学资源，便于实施分层教学。

6.1　导数 6.1.3　基本初等函数的导数 第六章　导数及其应用 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 每一点x都可导 一个函数 导函数 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 0 1 2x 3x2 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 0 αxα-1 ax ln a ex cos x －sin x 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 学业标准 素养目标 1．理解导函数概念，会根据导数的定义求几个常见函数的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点) 通过学习常用函数的导数和基本初等函数的导数公式及应用，提升逻辑推理、数学运算核心素养． 导学1　导函数 　对于函数f(x)＝－x2＋2，如何求f′(1)，f′(0)，f′，f′(a)(a∈R)? [提示]　f′(x0)＝ ＝ (－2x0－Δx)＝－2x0， ∴f′(1)＝－2，f′(0)＝0，f′＝1， f′(a)＝－2a. 　若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？ [提示]　f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数． ◎结论形成 1．函数f(x)可导与导函数 如果函数y＝f(x)在其定义域内的__________________，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是____________，这个函数通常称为函数y＝f(x) 的________，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝___________________． 导函数通常也简称为导数． 2．f′(x0)与f′(x)的异同 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 导学2　基本初等函数的导数 　函数y＝f(x)＝x的导数是什么？ [提示]　∵＝＝＝1， ∴y′＝ ＝1＝1，即y′＝1. 　函数y＝x的导数y′＝1的意义是什么？ [提示]　y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线的斜率都为1，如图．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动． ◎结论形成 1．几个常见函数的导数 C′＝____，x′＝____，(x2)′＝______，(x3)′＝______，′＝________，()′＝________． － 2．常用函数的求导公式，其中C，α，a均为常数，a>0且a≠1. C′＝____，(xα)′＝________，(ax)′＝________，(ex)′＝_____，(logax)′＝________，(ln x)′＝______，(sin x)′＝________，(cos x)′＝__________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝2，则y′＝.(　　) (2)y＝，则y′＝－.(　　) (3)y＝2x，则y′＝2x ln 2.(　　) (4)y＝log2x，则y′＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．′＝(　　) A．　　　　　　　 B．1 C．0 D． 解析　因常数的导数等于0，故选C. 答案　C 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)＝(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． 解析　∵f′(x)＝10x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10. 答案　C 4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________． 解析　f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案　1 题型一　利用导数公式计算导数 　[教材例1提升]求下列函数的导数． (1)y＝3x； (2)y＝log3 x； (3)y＝2cos2－1； (4)y＝. [解析]　(1)y′＝3x ln 3；(2)y′＝； (3)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝－sin x； (4)y′＝()′＝(x)′＝x＝. (1)如果函数解析式符合基本初等函数，则用求导公式直接求导． (2)如果不能直接用公式，可以把题中所给函数式进行调整后再选择合适的求导公式． [触类旁通] 1．求下列函数的导数． (1)y＝logx； (2)y＝； (3)y＝. 解析　(1)y′＝(logx)′＝＝－. (2)y′＝()′＝(x)′＝x. (3)y′＝′＝ ln ＝－ ln 2. 题型二　利用导数公式求曲线的切线方程　(一题多变) 　已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． [解析]　因为y′＝，所以当x＝e时，y′＝， 即切线斜率为，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. [母题变式] 1．(变结论)若本例条件不变，求曲线过O(0，0)的切线． 解析　因为O(0，0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k＝，又因为k＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，所以切线方程为x－ey＝0. 2．(变条件、变结论)若方程ln x＝mx恰有一个根，求m的取值范围． 解析　问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图象有且仅有一个公共点．由图象易知m≤0满足条件．另外就是y＝mx是y＝ln x的切线时满足条件．因为y＝mx图象过(0，0)，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝，又因为m＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，m＝，即m的取值范围为(－∞，0]∪. 已知一点求切线方程 [触类旁通] 2．(1)函数y＝x3在点(2，8)处的切线方程为(　　) A．y＝12x－16　　　　 B．y＝12x＋16 C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16 (2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为________. 解析　(1)因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，故切线的斜率为12， 切线方程为y＝12x－16. (2)设切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝. 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0， 其斜率为1.所以＝1，即x0＝1，所以切点为(1，0). 所以1－0＋c＝0，所以c＝－1. 答案　(1)A　(2)－1 题型三　导数公式的综合应用 　求证：在双曲线y＝上任意一点处的切线与x轴、y轴围成的三角形的面积为常数． [证明]　设P(x0，y0)为y＝上任意一点， 则y0＝(x0≠0). 又y′＝′＝－， ∴双曲线在P处的切线斜率k＝y′|x＝x0＝－， 切线方程为y－＝－(x－x0). 令x＝0，则y＝；令y＝0，则x＝2x0. 所以切线与x轴、y轴的交点分别为(2x0，0)，.因此，所求三角形的面积为S＝|2x0|·＝2(常数). ∴在双曲线y＝上任意一点处的切线与x轴、y轴围成的三角形的面积为常数． [素养聚焦]　本题通过导数公式的综合应用，培养逻辑推理、数学运算核心素养． 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．此外，导数不仅在数学中有着广泛的应用，在物理、化学等自然与社会科学中同样拥有广泛的应用． [触类旁通] 3．已知点P为抛物线y＝x2上任意一点，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，求点P的坐标及点P到直线l的距离． 解析　由图形的直观性可知，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，过点P的切线与直线l是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切线的斜率也等于－1. 设P(x0，y0)，则k＝＝2x0＝－1，∴x0＝－，P.由点到直线的距离公式知点P到l的距离为d＝＝. [缜密思维提能区]　易错案例 求切点坐标 [典例]　过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为______． [错解]　设切点P(x0，y0)，则＝， 则＝＝，则y0＝x0， 所以切点P的坐标为(x0，x0). [正解]　y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝， 则切线方程为y－＝ (x－x0)， 由于原点在切线上， 则－＝ (－x0)⇒x0＝1，y0＝＝e， 即切点为(1，e). [答案]　(1，e) [纠错心得]　要注意区分已知点是否为切点，遇到需要设切点的情况，要牢记导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上． 知识落实 技法强化 (1)导函数的概念． (2)基本初等函数的导数公式． (1)对于复杂函数的导数，往往先化简，再求导． (2)解决有关切线问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值． $