6.1.1 函数的平均变化率（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“函数的平均变化率”，通过爬山陡峭程度、高台跳水等实例设计问题链，引导学生从具体情境抽象出Δy/Δx定义，衔接平均速度等应用，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合“一题多变”“母题变式”强化数学运算，通过“以直代曲”思想培养数学抽象，如用平均速度公式解决跳水问题，规范答题与课堂小结助力知识落实，能提升学生核心素养，为教师提供系统教学资源。

6.1　导数 6.1.1　函数的平均变化率 第六章　导数及其应用 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 x2－x1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 斜率 以直代曲 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 平均变化率 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 学业标准 素养目标 1．通过实例分析，了解函数平均变化率的意义． 2．会求函数的平均变化率并渗透“以直代曲”思想．(重点、难点) 3．会求平均速度． 1．通过函数平均变化率、物体的平均速度的学习，培养数学抽象核心素养． 2．借助求函数平均变化率、物体的平均速度，提升数学运算核心素养． 导学1　函数的平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示． 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2). [提示]　对山坡AB来说，＝可以近似地刻画． 　若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ [提示]　自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy. 　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 　能用刻画山路陡峭程度的原因是什么？ [提示]　因为表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山路越陡，反之，山路越缓． ◎结论形成 1．函数的平均变化率 (1)定义 若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)， 则称Δx＝__________为自变量的改变量； 称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量； 称____________ (或__________________)为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，也可以表示成：＝＝. ＝ ＝ (2)实际意义：在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位． (3)几何意义：函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率．近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图象)在某一区间上的变换趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”． 2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义 ＝表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的________． 3．求函数的统计值时，有时要用直线段代替曲线段，这种思想叫____________． [提示]　＝＝－8.2(m/s). 导学2　平均速度与平均变化率 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 　在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？ [提示]　＝＝4.05(m/s). 　在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度是多少？ ◎结论形成 1．平均速度 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系式为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1＜t2时)或[t2，t1](t2＜t1时)这段时间内的平均速度为____________ m/s. 2．平均变化率 物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的______________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)自变量的改变量Δx不能为0.(　　) (2)因变量的改变量Δy一定大于0.(　　) (3)函数的平均变化率不能为0.(　　) (4)函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))所在直线的斜率．(　　) 解析　(1)因为规定闭区间[x1，x2]，x1≠x2，故Δx不等于0. (2)因变量的改变量Δy可以等于0，也可以小于0. (3)函数的平均变化率可以为0. (4)函数在一个区间的平均变化率等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A．0.40　　　　　　　 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析　∵x＝2，Δx＝0.1， ∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案　B 3．已知函数f(x)＝，当x＝1时，＝________． 解析　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝， ∴＝. 答案　 4．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，第二年婴儿体重的平均变化率为________ kg/月． 解析　由图形知，所求平均变化率为＝0.25(kg/月). 答案　0.25 题型一　求函数的平均变化率　(一题多变) 　[教材例1提升]计算函数f(x)＝x2在区间[1，1＋Δx](Δx>0)上的平均变化率，其中Δx的值为 (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. [解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝Δx2＋2Δx， ∴＝＝Δx＋2. (1)当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4； (2)当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3； (3)当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1； (4)当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01. [母题变式] 1．(变结论)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解析　当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 2．(变条件、变结论)将题目中函数改为“f(x)＝x＋”，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 解析　自变量x从1变到2时， 函数f(x)的平均变化率为＝＝； 自变量x从3变到5时， 函数f(x)的平均变化率为＝＝. 因为＜，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． [素养聚焦]　本题通过平均变化率的计算，培养数学运算核心素养． 求函数平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δf＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)然后利用平均变化率＝计算即可． [触类旁通] 1．(2024·辽宁朝阳高二期中)函数f(x)＝3x－2在[0，3]上的平均变化率是(　　) A．　 　 B．8　　　 C．－8　　 D．－ 解析　函数f(x)在[0，3]上的平均变化率是＝＝. 答案　A 题型二　求平均速度及位移 　已知某质点运动的位移x m是时间t s的函数，而且当t＝2时，x＝12；当t＝3时，x＝24. (1)求这个质点在时间段[2，3]内的平均速度； (2)估计t＝2.5时质点的位移． [解析]　(1)所求平均速度为＝12(m/s). (2)将x在[2，3]上的图象看成直线，则由(1)知，直线斜率为12，且直线过点(2，12).因此，x与t的关系可近似地表示为x－12＝12(t－2).令t＝2.5，得x＝18.即可以估计t＝2.5时质点的位移为18 m． (1)要计算物体在某段时间内的平均速度，只要求出时间的改变量Δt，及相应位移的改变量Δs，然后利用平均速度＝即可求出平均速度． (2)估计物体在某段时间内某一时刻的位移时，常采用“以直代曲”的思想，将该段时间上的图象看成直线，求出直线的方程，最后估计出物体在该段时间内某一时刻的位移． [触类旁通] 2．(2024·湖南湘潭高二期末)某物体运动t s后，其位移(单位：m)为y＝t2＋2t.在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为(　　) A．5 m/s B．6 m/s C．8 m/s D．10 m/s 解析　当t＝2时，位移为×22＋2×2＝6， 当t＝4时，位移为×42＋2×4＝16， 在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为＝5 m/s. 答案　A 题型三　平均变化率的应用 　(1)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为______． (2)已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1，2，3，Δx＝时平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大？ [解析]　(1)1＝＝kOA， 2＝＝kAB，3＝＝kBC， 而由图象知kOA<kAB<kBC，所以1<2<3. (2)函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为 ＝ ＝＝－2x0－Δx， 当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为－； 当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为－； 当x0＝3，Δx＝时，平均变化率的值为－， 因为－>－>－，所以函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大． [答案]　(1)1<2<3　(2)略 关于平均变化率的应用 根据平均变化率的意义，平均变化率可以衡量因变量变化的快慢，以及函数对应曲线倾斜程度的大小．平均变化率绝对值的大小对应于因变量变化的快慢、曲线倾斜程度的大小． [触类旁通] 3．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是(　　) A．v甲>v乙 B．v甲<v乙 C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定 解析　由题图知，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)>0， 所以<，所以v甲<v乙．故选B. 答案　B [缜密思维提能区]　规范答题 求函数的平均变化率 [典例]　(15分)已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ [审题指导]　(1)直接求r(V)即可； (2)依据平均变化率的定义分别求解再进行比较． [规范解答]　(1)∵V＝πr3， ∴r3＝，r＝， ∴r(V)＝.(5分) (2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为 ＝≈0.62(dm/L)，(9分) 函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为 ＝－≈0.16(dm/L).(12分) 显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．(15分) 知识落实 技法强化 (1)函数的平均变化率及几何意义． (2)平均速度与平均变化率． (1)物体在t到t＋Δt这段时间内平均速度 ＝. (2)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然． $