5.3.1 第2课时 等比数列的性质（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列性质，涵盖通项公式推广、等距项乘积性质等核心知识点，通过课前案自主学习回顾定义与基本公式，课堂案互动探究性质应用，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于用红色字体突出核心公式助学生用数学眼光抽象关键关系，结合对数运算的例题解析培养数学思维推理能力，课后案附答案及失分警示强化数学语言严谨性。三段式栏目设计让学生循序渐进掌握知识，教师可直接利用预设环节提升教学效率。

5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第五章　数 列 第2课时　等比数列的性质 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 等比中项 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 a1qn-1 am·qn－m as·at＝ap·aq apaq 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 栏目导航 第五章　数 列 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第五章　数 列 1 谢谢观看 栏目导航 第五章　数 列 1 学业标准 素养目标 1．理解等比中项的概念，会求两个数的等比中项． 2．掌握等比数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点) 3．能灵活运用等比数列的性质解决问题．(难点) 1．借助等比中项的学习，提升数学抽象核心素养． 2．通过等比数列性质的探究与应用，培养逻辑推理、数学运算核心素养． [提示]　a＝an－1·an＋1. 导学1　等比中项 　若三个数a，b，c成等比数列，那么它们之间的关系应如何表示？ [提示]　＝，即b2＝ac. 　等比数列中的任意连续三项之间什么关系？ ◎结论形成 等比中项 1．定义 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的____________． 2．表示 G＝±. 导学2　等比数列的性质 　类比等差数列通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？ [提示]　在等比数列中，由通项公式an＝a1qn-1， 得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N＋). 　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n＞2)是否成立？ [提示]　均成立． ◎结论形成 1．等比数列的第二通项公式 等比数列的通项公式为：an＝__________(q≠0)，推广形式为an＝__________ (n，m∈N＋，q≠0). 2．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，且s，t，p，q为正整数， (1)如果s＋t＝p＋q，则有____________． (2)如果2s＝p＋q，则a＝________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等比数列{an}中a2·a6＝a.(　　) (2)若G是a与b的等比中项，则G＝.(　　) (3)若a，G，b满足G2＝ab，则a，G，b一定是等比数列.(　　) (4)在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为±9.(　　) 解析　(1)a2·a6＝a. (2)G＝±. (3)如0，0，0满足02＝0×0，但不是等比数列． (4)因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9. 所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9. 因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)2＋与2－的等比中项为(　　) A．－1　　 B．1　　 C．2　　 D．－2 解析　设a为2＋，2－的等比中项， 所以a2＝(2＋)(2－)＝1，所以a＝±1. 答案　AB 3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．4 解析　由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝5. 答案　A 4．在等比数列{an}中，an＞0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9＝_______． 答案　3 题型一　等比中项及其应用 　[教材例7提升]等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． [解析]　设该等比数列的公比为q，首项为a1， 因为a2－a5＝42，所以q≠1， 由已知，得 所以 因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 所以由②除以①，得q(1－q)＝. 所以q＝.所以a1＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项， 则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×＝9. 所以a5，a7的等比中项是±3. 由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝ab⇒G＝±.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0). [触类旁通] 1．(1)(2025·山东淄博高二期中)等比数列{an}中，a4＝48，a8＝3，则a4与a8的等比中项为(　　) A．12　　　　　　　 B．－12 C．±12 D．30 (2)“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　(1)记a4与a8的等比中项为G，则G2＝a4a8＝48×3＝144，所以G＝±12. (2)若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但是a，b，c不成等比数列，所以充分性不成立． 若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，故必要性成立， 因此“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件， 故选B. 题型二　等比数列性质的应用　(一题多解) 　(1)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10. (2)已知数列{an}为等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值． [解析]　(1)∵3＋8＝4＋7， ∴由a4a7＝－512，知a3a8＝－512. 解方程组且q为整数， 得或(舍去)，q＝＝－2. ∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512. (2)方法一　设此等比数列的公比为q， 由条件得a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝25， 即aq4(q2＋1)2＝25，又an>0，故q>0， ∴a1q2(q2＋1)＝5， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5. 方法二　∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， 由等比数列性质，得a＋2a3a5＋a＝25， 即(a3＋a5)2＝25，又an>0， ∴a3＋a5＝5. 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若s＋t＝p＋q，则as·at＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度. [触类旁通] 2．(1)(2024·江苏南京高二期末)已知{an}是单调递增的等比数列，且a4＋a5＝27，a3a6＝162，则公比q的值是(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 (2)在等比数列{an}中，公比q<0，a1a3a5＝－64，a4＝a3＋6a2，则a8＝(　　) A．128 B．－128 C．64 D．－64 解析　(1)由{an}是单调递增的等比数列且 a4＋a5＝27，a4a5＝a3a6＝162， 所以a4，a5是x2－27x＋162＝0的两个实数根，且a4<a5， 得a4＝9，a5＝18，故q＝＝2. (2)由题得a1a3a5＝a＝－64，所以a3＝－4. 又因为a4＝a3＋6a2，所以－4q＝－4＋6×， 所以q2－q－6＝0， 解得q＝－2或q＝3(舍去)，则an＝－4×(－2)n-3， 所以a8＝－4×(－2)5＝128. 题型三　灵活设项求解等比数列　(一题多变) 　有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，求这四个数． [解析]　设这四个数为，a，aq，b， 由题意·a·aq＝a3＝216，解得a＝6， 则这四个数为，6，6q，b， 由题意，得解得或 故这四个数为9，6，4，2或12，6，3，0. [母题变式] 1．(变条件)若将本例的条件改为“前三个数的积为－8，后三个数的积为－80”，其他条件不变，试求这四个数． 解析　由题意设此四个数分别为，b，bq，a， 则有解得或 所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. 2．(变条件、变结论)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 解析　设三个数依次为，a，aq，因为·a·aq＝512，所以a＝8. 因为＋(aq－2)＝2a，所以2q2－5q＋2＝0， 所以q＝2或q＝，所以这三个数为4，8，16或16，8，4. [素养聚焦]　本题主要考查等比数列的概念及其性质的应用，突出考查逻辑推理、数学运算核心素养． 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三数成等比数列，一般可设为，a，aq. (2)四数成等比数列，一般可设为，，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3，但前一种设法的公比为q2(只适合数列的各项同正或同负). (3)五数成等比数列，一般可设为，，a，aq，aq2. [触类旁通] 3．三个互不相等的数构成等差数列，如果适当排列这三个数，又可构成等比数列，这三个数的和为6，求这三个数． 解析　由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，d≠0，则a－d＋a＋a＋d＝6，即a＝2，这三个数可表示为2－d，2，2＋d. ①若2－d为2和2＋d的等比中项， 则(2－d)2＝2(2＋d)， 解得d＝6或d＝0(舍去)，此时这三个数为－4，2，8. ②若2＋d为2－d和2的等比中项，则(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6或d＝0(舍去)，此时这三个数为8，2，－4. ③若2为2－d和2＋d的等比中项，则22＝(2＋d)(2－d)，解得d＝0(舍去). 综上，这三个数为－4，2，8或8，2，－4. [缜密思维提能区]　规范答题 等比数列综合题 [典例]　(13分)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠0)，且bn＝an＋1－an. (1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由； (2)求数列{bn}的通项公式． [审题指导]　→→ [规范解答]　 (1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q， ∴an＝a1qn-1＝qn-1(q≠0)，(2分) 若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0， ∴{bn}是各项均为0的常数列，不是等比数列．(4分) 若q≠1，由于＝＝＝＝q， ∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．(9分) (2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0； 当q≠1时，bn＝b1qn-1＝(q－1)·qn-1， ∴bn＝(q－1)qn-1(n∈N＋).(13分) 知识落实 技法强化 (1)等比中项的定义． (2)等比数列项的性质． (1)y是x与z的等比中项⇒y2＝xz，反之未必成立． (2)运用等比数列项的性质的关键是发现各项的序号之间满足的关系． $