精品解析：江苏省启东中学2024～2025学年高三下学期数学周练2(3.8)

高三数学周练二(数学) 考查内容：集合与逻辑（第1题，涉及集合的交集与补集运算） 复数（第2题，涉及复数的运算与共轭） 函数与导数（重点：函数性质、极值、对称性、切线、函数图像与零点） （如第3、7、10、13、19题，涉及函数奇偶性、极值计算、导数几何意义、新定义函数与强数列问题） 三角函数与解三角形（重点：三角恒等变换、解三角形）（如第4、15题，涉及三角等式化简与解三角形） 平面向量（第5题，涉及向量的投影向量计算） 数列与数学归纳法（重点：数列递推、数列排序、新定义数列） （如第6、19题，涉及数列排序与“强数列”新定义问题） 解析几何（重点：圆、双曲线、直线与曲线的位置关系、对称性、定点问题） （如第8、11、18题，涉及圆的弦长、新定义曲线、双曲线方程与定点证明） 立体几何（重点：线面平行、二面角、几何体切割与体积） （如第14、16题，涉及线面平行证明、二面角计算、正方体切割问题） 概率与统计（重点：回归分析、残差图、概率计算、条件概率） （如第9、17题，涉及线性回归模型判断、概率计算） 排列组合（第12题，涉及重复元素的排列问题） 新定义与创新题（重点：新定义曲线、强数列） （如第11、19题，体现数学建模与逻辑推理能力） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的单调性可得集合，再由集合间的包含关系可得. 【详解】， 因为，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C 2. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出准线的方程，进而可求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果. 【详解】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为， 故选：A. 3. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】将甲乙和一个空位捆绑放置，再考虑余下辆车的停放方法后可得不同停放方法的总数. 【详解】先停放甲乙，共有停放方法，余下辆车，共有， 则共有种停法. 故选：B. 4. 设等差数列的前n项和为若则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解． 【详解】等差数列的公差为， 因为 所以 解得 故选：B. 5. 在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，，， 故选：C． 6. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积． 【详解】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 7. 定义在上的奇函数在上单调递增，且则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得在区间上，在区间上，在区间上，在区间上，可得或，求解即可. 【详解】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则， 又由在上单调递增，且， 则在上为增函数，且， 则在区间上，在区间上， 在区间上，在区间上， 不等式或， 所以或， 所以或， 所以或， 解得：或或 即不等式的解集为 故选：D. 8. 已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在椭圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程. 【详解】设,则的直线方程为，， 整理得, 由解得，，定点 ，则为中点， ，即． 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 决定系数越小，模型的拟合效果越好 B. 若随机变量服从两点分布，，则 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 一组数（）的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大 【答案】BC 【解析】 【分析】利用决定系数的性质判断A，利用两点分布的方差公式判断B，利用正态分布的对称性判断C，举反例判断D即可. 【详解】由决定系数性质得，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A错误， 若随机变量服从两点分布，， 则，故B正确， 若随机变量服从正态分布，， 由正态分布性质得，故C正确， 我们令，，此时平均数， 方差为，插入一个数， 此时平均数为，方差为， 方差显然变小了，即再插入一个数，则这个数的方差不可能变大，故D错误. 故选：BC 10. 已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数的最值，根据最值的取值范围，可得答案. 【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增， 令，求导可得在上恒成立， 则在上单调递增，所以， 易知，使得，则，即， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 所以，由，则， 当，即时，，故A错误，B可能正确； 当，即时，令，求导可得， 则函数在上单调递减. 由，,则存在，使得， 所以当时，此时符号不定，故CD可能正确. 故选：BCD. 11. 1638年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.则下列判断正确的是（ ） A. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 B. 笛卡尔叶形线关于直线对称 C. 当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 D. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，即可判断A，代入曲线成立判断B，当时，令，得出顶点坐标判断C，应用图象得出D. 【详解】对于A，在中，令，则，令，则， 即笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故A正确； 对于B，在中，将点代入可得：， 显然方程不变，即笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，笛卡尔叶形线方程：. 令，解得或，故顶点坐标，故C错误； 对于D，由图象知离原点距离最大，于是的最大值为18，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为__________用数字作答 【答案】7 【解析】 【分析】先由展开式中只有第5项的二项式系数最大，可得展开式共9项，从而可得以，再由二项展开式的通项公式得到. 【详解】解：因为只有第五项的二项式系数最大，所以 故的展开式通项为 令解得 所以展开式中x的系数为. 故答案为：7. 13. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有种取法，结合古典概型可得答案. 【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法， 其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法， 假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以． 故答案为：. 14. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据是偶函数得出的一个等式关系，再对其求导得到的一个等式关系，然后结合推出的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②-①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 在中，令，可得. 又因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 （1）完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； （2）本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 ，90． （2）①；②12【解析】 【分析】（1）根据表格中已有数据进行分析，完善列联表，并计算出卡方，得到不等式，结合为30的整数倍，故的最小值为90； （2）①设出事件，得到20名同学中1人晋级的概率，得到，利用二项分布期望公式求出答案； ②得到，根据，求出取最大值时的取值为12． 【小问1详解】 列联表如下： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 先提出统计假设为：性别与满意度没有关系， 根据上表可知，， 因为性别与满意度有关系，所以，解得， 由题意可知，为30的整数倍，故的最小值为90； 【小问2详解】 ①设（，，）分别表示3道题目答对事件， 令该年级的20名同学中1人晋级的事件为， 则 ， 由题意可知，，则； ②，，，，，，， 最大，则 解得，， 所以， 即取最大值时的取值为12． 16. 在四棱锥中，底面是等腰梯形，，面底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）平面底面， 平面平面， 平面平面 又因为平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面再利用线面垂直的性质可得结论. （2）以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面是等腰梯形，， ， ， ， 由 （1）平面 以为原点，以分别为轴，建立如图所示的坐标系． ， 设平面的一个法向量， ， 令可得， 而平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为 ． 17. 已知的三边所对的角分别为． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）由正弦定理得 ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到，最后结合和角公式和同角三角函数关系式计算即可； （2）由（1），直接将用和表示，转变成关于的函数，借助函数单调性求范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，令， 由于在上单调递增， 则原函数也是在上单调递增. ，即的取值范围为． 18. 已知 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的极值点个数； （3）若存在证明： 【答案】（1） （2）有且仅有一个 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求得求得切点可求切线方程； （2）求导可得在上单调递增，不存在极值点，当时，求导，令，进而可得求得的单调性，确定极值点的个数； （3）令可得令求导可证进而得通过构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时 因为所以切线的斜率为又因为切点为 所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 当时则 当时 故在上单调递增，不存在极值点； 当时令 则总成立， 故函数在上单调递增，且 所以存在唯一使得 所以当时单调递减；当时单调递增； 故在上存在唯一极小值点， 综上，当时，函数的极值点有且仅有一个. 【小问3详解】 令 由知  整理得 不妨令则故在上单调递增， 当时，有即 那么 因此即转化为 接下来证明等价于证明 即所以不妨令 建构新函数 则在上单调递减，  所以 故即得证， 由不等式的传递性知即即 所以得证 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题的证明，常常通过构造函数，通过导数判断函数的单调性或求得函数的最值证明不等式. 19. 已知P为圆上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM并延长至点Q，使得点Q的轨迹记为曲线 （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点，连结AT，BT证明：直线l过定点； （3）若过右焦点的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且当时，求直线l在y轴上的截距的取值范围. 【答案】（1） （2） 设直线 联立方程组消去y得 所以 又 所以 = 化简得即 解得或 当时，直线l过定点与点T重合，舍去， 当时，直线l过定点 （3） 【解析】 【分析】（1）设则由已知可得代入圆的方程可轨迹C方程； （2）设直线与C联立方程组，利用根与系数的关系，结合可求得或可求定点坐标； （3）设直线联立直线与曲线方程，利用根与系数的关系可求得①②，结合已知计算可求直线l在y轴上的截距的取值范围. 【小问1详解】 设则 由题意知又所以 得所以 因为得故曲线C的方程为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线 联立方程组 消去x得 所以①②， 由得③， 由①③可得 代入②化简得 即 由得 即解得 即 从而直线l在y轴上的截距为 【点睛】方法点睛，直线与圆锥曲线交点问题，一般采用联立方程组，借助韦达定理得到点的坐标和所设参数的关系，再由条件建立相应的等式或不等式，即可求出范围或者参数之间的关系，从而解决求范围问题或者定点定值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学周练二(数学) 考查内容：集合与逻辑（第1题，涉及集合的交集与补集运算） 复数（第2题，涉及复数的运算与共轭） 函数与导数（重点：函数性质、极值、对称性、切线、函数图像与零点） （如第3、7、10、13、19题，涉及函数奇偶性、极值计算、导数几何意义、新定义函数与强数列问题） 三角函数与解三角形（重点：三角恒等变换、解三角形）（如第4、15题，涉及三角等式化简与解三角形） 平面向量（第5题，涉及向量的投影向量计算） 数列与数学归纳法（重点：数列递推、数列排序、新定义数列） （如第6、19题，涉及数列排序与“强数列”新定义问题） 解析几何（重点：圆、双曲线、直线与曲线的位置关系、对称性、定点问题） （如第8、11、18题，涉及圆的弦长、新定义曲线、双曲线方程与定点证明） 立体几何（重点：线面平行、二面角、几何体切割与体积） （如第14、16题，涉及线面平行证明、二面角计算、正方体切割问题） 概率与统计（重点：回归分析、残差图、概率计算、条件概率） （如第9、17题，涉及线性回归模型判断、概率计算） 排列组合（第12题，涉及重复元素的排列问题） 新定义与创新题（重点：新定义曲线、强数列） （如第11、19题，体现数学建模与逻辑推理能力） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 3. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 10 4. 设等差数列的前n项和为若则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的奇函数在上单调递增，且则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在椭圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 决定系数越小，模型的拟合效果越好 B. 若随机变量服从两点分布，，则 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 一组数（）的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大 10. 已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 1638年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.则下列判断正确的是（ ） A. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 B. 笛卡尔叶形线关于直线对称 C. 当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 D. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为__________用数字作答 13. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 14. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则______． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 （1）完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； （2）本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 在四棱锥中，底面是等腰梯形，，面底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知的三边所对的角分别为． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 18. 已知 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的极值点个数； （3）若存在证明： 19. 已知P为圆上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM并延长至点Q，使得点Q的轨迹记为曲线 （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点，连结AT，BT证明：直线l过定点； （3）若过右焦点的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且当时，求直线l在y轴上的截距的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $