阶段测评(二)三角函数的性质与图象（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

阶段测评(二)　三角函数的性质与图象 (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数 f(x)＝3cos 的一条对称轴方程为(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝0 解析　令2x－＝kπ，k∈Z，即 x＝＋，k∈Z， ∴当k＝0时，有 x＝. 答案　A 2．函数 f(x)＝sin 的图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 解析　∵y＝sin ， 令 2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ－，k∈Z. 所以函数f(x)的图象的对称中心为(k∈Z). 当k＝0时，就是函数的图象的一个对称中心，故选B. 答案　B 3．(2025·重庆月考)下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线x＝对称的是(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析　对于A，函数 y＝2sin 的最小正周期为＝π， 当 x＝时，2sin ＝2，即函数图象关于直线x＝对称，A正确； 对于B，当 x＝时，2sin ＝≠±2，即函数图象不关于直线x＝对称，B错误； 对于C，当 x＝时，2sin ＝1≠±2，即函数图象不关于直线x＝对称，C错误； 对于D，函数 y＝2sin 的最小正周期为＝4π，D错误． 答案　A 4．函数 y＝sin 的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 解析　令 2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，所以对称点为(k∈Z). 当k＝1时，对称点为，故B正确； 令 2x＋＝kπ＋，k∈Z，则对称轴为 x＝＋，k∈Z， 因此直线x＝和 x＝均不是函数的对称轴． 答案　B 5．满足sin ≥的x的集合是(　　) A． B． C． D． 解析　sin ≥， 故＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 所以满足sin ≥的x的集合是. 答案　A 6．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是(　　) 解析　函数的最小正周期为T＝， ∴当|a|＞1时，T＜2π，当0＜|a|＜1时，T＞2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现选项D不符合要求，故选D. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知函数f(x)＝cos (ω>0)的最小正周期为π，则下列结论正确的是(　　) A．ω＝2 B．函数f为奇函数 C．函数f(x)在上单调递减 D．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 解析　对于A：由题意可得T＝＝π，解得ω＝2，A正确； 故f(x)＝cos ， 对于B：f＝cos ＝cos ＝sin 2x，故函数f为奇函数，B正确； 对于C：令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f(x)的递减区间为，k∈Z， 令k＝0，且x∈，则函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，C错误； 对于D：f＝cos ＝cos 0＝1为最大值，故直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，D正确．故选ABD. 答案　ABD 8．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝3cos B．f(x)在区间(3π，4π)上单调递增 C．f(x)>的解集为(k∈Z) D．f(x)的图象的对称轴方程为x＝kπ－(k∈Z) 解析　由图知A＝3，函数f(x)的最小正周期T＝4＝4π，所以ω＝＝，所以f(x)＝3cos .因为点在f(x)的图象上，所以3cos ＝3，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z).因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝3cos ，故A错误；令－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，因为(3π，4π)⊆(k∈Z)，所以B正确；令3cos >，则cos >，所以2kπ－<x－<2kπ＋(k∈Z)，解得4kπ－<x<4kπ＋π(k∈Z)，所以f(x)>的解集为(k∈Z)，故C正确；令x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)，故D错误． 答案　BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．函数y＝lg (1－tan x)的定义域是 ． 解析　使函数有意义的实数x应满足条件 1－tan x＞0⇔tan x＜. 当x∈时，－＜x＜，故所求函数的定义域为(k∈Z). 答案　(k∈Z) 10．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则A＝ ，φ＝ ． 解析　由图象得解得 又＝－＝2π，则ω＝＝， 将代入原式，解得φ＝－. 答案　4π　－ 11．已知函数f(x)＝3sin (ω＞0)和g(x)＝2cos (2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是 ． 解析　∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同， ∴f(x)与g(x)的最小正周期相等， ∵ω＞0，∴ω＝2， ∴f(x)＝3sin ，∵0≤x≤， ∴－≤2x－≤， ∴－≤sin ≤1， ∴－≤3sin ≤3， 即f(x)的取值范围为. 答案　 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)已知函数f(x)＝sin －的最小正周期为π. (1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间； (2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标． 解析　(1)因为f(x)最小正周期为π，所以π＝，解得ω＝1，即f(x)＝sin －. 令－＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)令2x＋＝＋kπ，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， 所以对称轴方程为x＝＋，k∈Z； 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z， 所以对称中心为(k∈Z). 13．(15分)函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示． (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 解析　(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3. (2)因为x∈， 所以2x＋∈. 所以当2x＋＝0， 即x＝－时，f(x)取得最大值0； 当2x＋＝－， 即x＝－时，f(x)取得最小值－3. 14．(15分)已知函数f(x)＝2sin ＋a(a为常数). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若函数f(x)的单调递增区间； (3)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值. 解析　(1)f(x)＝2sin ＋a. ∴f(x)的最小正周期T＝π. (2)当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)单调递增， 故所求区间为(k∈Z). (3)当x∈时， 2x－∈， ∴当x＝0时，f(x)取得最小值， 即2sin ＋a＝－2，∴a＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $