第8章 8.2.1 两角和与差的余弦（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·江苏连云港高一期中)cos 225°cos 45°－sin 225°sin 45°的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D． 解析　cos 225°cos 45°－sin 225°sin 45°＝cos (225°＋45°)＝cos 270°＝0. 答案　B 2．已知α为锐角，cos α＝，则cos ＝(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　∵α为锐角，cos α＝，则sin α＝＝， ∴cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝，故选B. 答案　B 3．不满足sin αsin β＝－cos αcos β的一组α，β值的是(　　) A．α＝，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 解析　因为sin αsin β＝－cos αcos β， 所以cos ＝， 对于A，cos ＝cos ＝，符合题意； 对于B，cos ＝cos ＝，符合题意； 对于C，cos ＝cos ＝cos ＝×－×＝，不符合题意； 对于D，cos ＝cos ＝，符合题意；故选C. 答案　C 4．已知α，β∈，sin α＝，cos β＝，则α－β＝(　　) A．－ B． C． D．－或 解析　∵α，β∈，sin α＝，cos β＝， ∴cos α＝＝＝，sinβ＝＝＝， ∴cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 又 ∵sin α<sin β，∴α<β，∴－<α－β<0， ∴α－β＝－. 答案　A 5．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos 等于 ． 解析　由题意可得sin α＝，cos α＝， cos ＝cos cos α＋sin sin α ＝×＋×＝. 答案　 6．cos 105°＋sin 195°＝ ． 解析　cos 105°＋sin 195° ＝cos 105°＋sin(105°＋90°) ＝cos 105°＋cos 105°＝2cos(135°－30°) ＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°) ＝2＝. 答案　 7．化简：sin αsin ＋cos αcos ＝ ． 解析　sin αsin ＋cos αcos ＝cos ＝cos ＝. 答案　 8．若x∈，且sin x＝，求2cos ＋2cos x的值． 解析　因为x∈，sin x＝， 所以cos x＝－. 所以2cos ＋2cos x ＝2＋2cos x ＝2＋2cos x ＝sin x＋cos x＝－＝. [关键能力·综合提升] 9．已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝－，则cos αcos β的值为(　　) A．0 B． C．0或 D．0或± 解析　由已知得cos αcos β－sin αsin β＝，① cos αcos β＋sin αsin β＝－.② ①＋②，得cos αcos β＝0. 答案　A 10．已知cos ＝－，则cos x＋cos 等于(　　) A．－ B． C．－1 D．1 解析　因为cos ＝－， 所以cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x ＝ ＝cos ＝－1.故选C. 答案　C 11．1874年欧拉第一次提出将角置于圆内，以有向线段与半径的比值定义三角函数．如图所示，在单位圆中，定义角α的正弦为有向线段MP，角α的余弦为有向线段OM.若在单位圆内，角α和角β均以Ox轴为始边，两角的终边关于y轴对称，且对应正弦的值均为，则cos (α－β)＝ ． 解析　由题意，得sin α＝sin β＝， cos α＝－＝－，cosβ＝， 故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝－. 答案　－ 12．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ ． 解析　∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝， ∴cos α＝，sin β＝， ∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝. 答案　 13．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos (α－β)＝，求cos β的值． 解析　因为α∈，sin α＝＜， 所以0＜α＜. 又α－β∈，cos (α－β)＝＜， 所以－＜α－β＜－. 所以cos α＝＝＝， sin (α－β)＝－ ＝－＝－， 所以cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝×＋×＝. [学科素养·探索创新] 14．若cos α＝，sin (α＋β)＝，0<α<，0<β<，则角β的值为(　　 ) A． B． C． D． 解析　∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π， 由cos α＝，sin (α＋β)＝， 得sin α＝，cos (α＋β)＝±， 若cos (α＋β)＝， 则sin β＝sin [(α＋β)－α] ＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝×－×<0，与sin β>0矛盾，故舍去， 若cos (α＋β)＝－， 则cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝－×＋×＝， 又β∈，∴β＝. 答案　A 15．已知函数f(x)＝2cos (其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos (α－β)的值． 解析　(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π， 所以10π＝，所以ω＝. (2)因为f＝－， 所以2cos ＝2cos ＝－， 所以sin α＝， 又因为f＝， 所以2cos ＝2cos β＝， 所以cos β＝， 因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝， cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $