第8章 8.1.2 向量数量积的运算律（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·湖南长沙期末)已知向量a，b均为单位向量，且a⊥b，则·＝(　　) A.2 B．－2 C.4 D．－4 解析　因为向量a，b均为单位向量，且a⊥b，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以·＝2a2－4b2＋7a·b＝2|a|2－4|b|2＝－2，故选B. 答案　B 2．已知向量a，b是单位向量，且(2a－b)⊥b，则向量a与b的夹角是(　　) A.120° B．90° C.60° D．30° 解析　设向量a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由a，b为单位向量，得|a|＝|b|＝1，由⊥b，得·b＝2a·b－b2＝2cos θ－1＝0， 解得cos θ＝，所以θ＝60°. 答案　C 3．已知非零向量a，b满足|a|＝3|b|，cos 〈a，b〉＝，若b⊥，则实数t的值为(　　) A.4 B．－4 C. D．－ 解析　∵b⊥，∴b·＝0，即 ta·b＋b2＝0，t|a||b|cos 〈a，b〉＋|b|2＝0，3t cos 〈a，b〉＝－1，t＝－.故选D. 答案　D 4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且〈a，b〉＝135°，则|a＋b|＝(　　) A. B．2 C.10 D． 解析　因为|a|＝2，|b|＝，且〈a，b〉＝135°，则a·b＝2××cos 135°＝－2，故|a＋b|＝＝＝＝. 答案　A 5．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝ ． 解析　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝， 又|a|＝1，|b|＝3， 所以a·b＝|a|·|b| cos θ＝1×3×＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11. 答案　11 6．(2024·江苏连云港高一期中)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝3，则a－2b与a夹角的余弦值是 ． 解析　|a－2b|＝＝＝＝2， 所以cos 〈a－2b，a〉＝＝＝＝－. 答案　－ 7．(2024·天津东丽高一期中)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝ ． 解析　由题设知a·b＝0且(3a＋2b)·(λa－b)＝0， ∴3λa2－2b2＝0，又|a|＝2，|b|＝3，∴λ＝. 答案　 8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7. (1)求a与b的夹角θ； (2)是否存在实数λ，使(λa＋b)与(a－2b)共线？ (3)是否存在实数μ，使(μa＋b)与(a－2b)垂直？ 解析　(1)∵a＋b＋c＝0， ∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|. ∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2， ∴a·b＝ ＝＝＝. 又a·b＝|a|·|b|cos θ， ∴＝3×5×cos θ，∴cos θ＝，θ＝60°. (2)假若存在λ，使(λa＋b)∥(a－2b)， ∴存在实数k使得λa＋b＝k(a－2b)＝ka－2kb. ∴∴λ＝k＝－. ∴存在λ＝－，使得(λa＋b)∥(a－2b)， 即存在λ＝－，使得(λa＋b)与(a－2b)共线． (3)假若存在μ，使(μa＋b)⊥(a－2b)， ∴(μa＋b)·(a－2b)＝0. ∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0， ∴9μ－2×25－2μ×＋＝0，∴μ＝－. ∴存在μ＝－，使得(μa＋b)与(a－2b)垂直． [关键能力·综合提升] 9．已知平行四边形ABCD满足|＋|＝|－|，||＝4，||＝2，＝3，＝，则·＝(　　) A.6 B．10 C.14 D． 解析　由于|＋|＝|－|，两边平方并化简得·＝0，所以⊥， 所以·＝· ＝· ＝· ＝2＋2＝×4＋×16＝14. 答案　C 10．(多选题)已知向量a，b，c是三个非零向量，下列说法正确的有(　　) A.若＝＋，则a与b共线且反向 B.若a∥b，b∥c，则a∥c C.向量a，b，c是三个非零向量，若a·c＝b·c，则a＝b D.若＝，则a⊥b 解析　对于A选项，由＝＋可得＝， 即a2－2a·b＋b2＝＋2·＋， 即a·b＝－·， 因为a，b都是非零向量，则cos 〈a，b〉＝＝－1， 因为0≤〈a，b〉≤π，则〈a，b〉＝π，即a与b共线且反向，A正确； 对于B选项，因为a，b，c是三个非零向量，且a∥b，b∥c， 则存在非零实数λ，μ∈R，使得b＝λa，c＝μb，则c＝μb＝λμa，故c∥a，B正确； 对于C选项，向量a，b，c是三个非零向量， 若a·c＝b·c，则a·c－b·c＝·c＝0， 所以a＝b或⊥c，C错误； 对于D选项，因为＝，则＝， 所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2， 整理可得a·b＝0， 因为a，b都是非零向量，所以a⊥b，D正确． 答案　ABD 11．如图所示，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为 ． 解析　在△ABC中，令＝a，＝b，则〈a，b〉＝60°，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2×5×＝5， 因为BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则＝a＋b，＝b－a， 于是||＝ ＝＝， ||＝ ＝＝， ·＝(a＋b)·(b－2a)＝(－a·b－2a2＋b2)＝(－5－2×22＋52)＝3， 所以cos ∠MPN＝cos 〈，〉＝＝＝. 答案　 12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a，b的夹角为150°，则(2a＋b)与a的夹角为 ． 解析　因为|a|＝1，|b|＝， a与b的夹角为150°， 所以a·b＝|a||b|cos 150°＝－， 所以|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋b2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝1， 得|2a＋b|＝1，又a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝， 所以cos 〈a，2a＋b〉＝＝， 又〈a，2a＋b〉∈[0，180°]，所以〈a，2a＋b〉＝60°. 答案　60° 13．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2. (1)若四边形ABCD是矩形，求·的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角θ的余弦值． 解析　(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以·＝0， 由＝2，得＝， ＝＝－. 所以·＝(＋)·(＋) ＝· ＝2－·－2 ＝36－×81＝18. (2)由题意，＝＋＝＋ ＝＋， ＝＋＝＋＝－， 所以·＝· ＝2－·－2 ＝36－·－18 ＝18－·. 又·＝6，所以18－·＝6， 所以·＝36. 又·＝||·||cos θ ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝. 所以与夹角的余弦值为. [学科素养·探索创新] 14．(多选题)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图所示是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是(　　 ) A.－＝ B.＋＝ C.·＝· D.在上的投影向量为 解析　连接AE，AC，AD，BF，BD，CE，且CE与AD交于点H，如图所示， 对于A：－＝＋＝，显然由图可得与为相反向量，故A错误； 对于B：由图易得||＝||，直线AD平分角∠EAC，且△ACE为正三角形，根据平行四边形法则有＋＝2，与共线且同方向， 易知△EDH，△AEH均为含角的直角三角形， 故||＝||，||＝||， 即||＝3||， 所以||＝||＋||＝3||＋||＝4||， 又2||＝6||，故＝， 故＋＝，故B正确； 对于C：设正六边形ABCDEF的边长为a， 则·＝||·||cos ＝－a2， ·＝||·||cos ＝－a2， 所以·＝·，故C正确； 对于D：易知∠ABD＝，则在上的投影向量为，故D正确，故选BCD. 答案　BCD 15．已知非零向量，和满足·＝0，且＝，试判断△ABC的形状． 解析　∵，分别表示与，同向的单位向量． ∴以，为邻边的平行四边形为菱形． ∴表示向量＋的有向线段在∠A平分线上． ∴由·＝0， 知∠A的平分线垂直于BC， ∴△ABC为等腰三角形． 又＝cos C＝， ∴∠C＝，从而可知∠A＝， 所以△ABC为等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $