第8章 8.1.1 向量数量积的概念（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(　　) A.a＝b B．a＝－b C.a2＝b2 D．a·b＝1 解析　两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A，B不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不一定成立，所以选项D不正确；因为a，b是两个单位向量，故a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，则选项C正确． 答案　C 2．已知向量a，b为单位向量，且a与b的夹角为30°，则向量a在向量b上的投影向量为(　　) A.a B．a C.b D．b 解析　向量a在向量b上的投影向量为·＝·b＝b＝b，故选D. 答案　D 3．在△ABC中，若 ·<0，则此三角形为(　　) A.钝角三角形 B．直角三角形 C.锐角三角形 D．等腰三角形 解析　∵·＝||·||cos A<0， ∴cos A<0，∴∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形． 答案　A 4．如图，已知A，B是圆C上两点，若||＝4，则·＝(　　) A.2 B．4 C.6 D．8 解析　在圆C中，取AB的中点D，连接CD，如图，则有CD⊥AB，而||＝4， 所以·＝||||cos ∠CAD＝||·||＝||2＝8. 答案　D 5．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上投影的数量为 ． 解析　设a与b的夹角为θ， 因为a·b＝|a||b|cos θ＝12， 又|b|＝5，所以|a|cos θ＝， 即a在b上投影的数量为. 答案　 6．若非零向量a·b＝－|a||b|，则〈a，b〉等于 ． 解析　cos 〈a，b〉＝－1， ∴〈a，b〉＝π. 答案　π 7．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影的数量为 ． 解析　a在b方向上的投影的数量为|a|·cos 〈a，b〉＝4×cos 30°＝2. 答案　2 8．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·；(2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 解析　∵||＝5，||＝4，||＝3. ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. ∴cos A＝＝，cos B＝＝. (1)·＝－· ＝－5×4×＝－16. (2)||·cos 〈，〉＝ ＝＝. (3)||·cos 〈，〉＝ ＝＝＝－4. [关键能力·综合提升] 9．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　) A.直角梯形 B．菱形 C.矩形 D．正方形 解析　∵在四边形ABCD中，＝， ∴BC∥AD且BC＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形，又·＝0， ∴AB⊥BC，∴四边形ABCD为矩形． 答案　C 10．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的有(　　) A.e1在e2上的投影为cos θ B.e1·e2＝1 C.e＝e D.(e1＋e2)⊥(e1－e2) 解析　e1在e2上的投影是一个向量，故A不正确． e1·e2＝|e1||e2|·cos 〈e1，e2〉＝cos θ，故B不正确． e＝|e1|2＝1，e＝|e2|2＝1，故C正确． 如图所示，设＝e1，＝e2， 作平行四边形ABCD，则平行四边形ABCD为菱形． 则＝e1＋e2，＝e1－e2. ∵⊥，∴(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故D正确． 答案　CD 11．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是 ． 解析　解法一　· ＝||·||·cos (180°－∠B) ＝－||·||·cos ∠B ＝－||·||· ＝－||2＝－1. 解法二　||＝1，即为单位向量， ·＝－·＝－||||cos ∠ABC， 而||·cos ∠ABC＝||， 所以·＝－||2＝－1. 答案　－1 12．在边长为3的等边三角形ABC中，点D在BC上，且＝2，则·＝ ，·＝ ． 解析　∵＝2，∴点D为BC上靠近点B的三等分点，如图所示． ∴||＝||＝2，||＝||＝1，又〈，〉＝〈，〉＝60°， 〈，〉＝〈，〉＝120°，∴·＝||||cos 60°＝3×2×＝3. ·＝||||cos 120°＝3×1×＝－. 答案　3　－ 13．已知在△ABC中，＝c，＝a，＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ. (1)试用m，n，θ表示S△ABC； (2)若c·b＜0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，求c与b的夹角． 解析　(1)S△ABC＝||h＝||·||sin ∠BAC＝mn sin θ. (2)依题意＝×3×5sin 〈b，c〉， ∴sin 〈b，c〉＝，又c·b＜0，且c，b不共线， 知〈b，c〉为钝角，∴〈b，c〉＝150°. [学科素养·探索创新] 14．已知|a|＝2，|b|＝12，a·b＝－12，则b在a上的投影为(　　 ) A.－3 B．3 C.－3a D．3a 解析　cos 〈a，b〉＝＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝， 如图所示，＝a，＝b，过B作BB′⊥OA，垂足为B′，则b在a上的投影为， ∵|b|＝12， ∴||＝12×cos ＝6，又|a|＝2， ∴＝－3a. 答案　C 15．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点． (1)求在上投影的数量； (2)求在上投影的数量． 解析　如图，连接AD. 因为D为BC的中点， 所以AD⊥BC. 又因为AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝. 由图可知与的夹角为∠ABC的补角， 所以向量与的夹角为150°. 因此(1)在上的投影的数量为 ||cos 150°＝2×cos 150°＝－. (2)在上的投影的数量为 ||cos 150°＝cos 150°＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $