第7章 三角函数 章末达标检测（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若角α的终边和单位圆的交点坐标为，则cos α＝(　　) A.－ B．－ C. D． 解析　根据三角函数定义结合交点坐标为，可得cos α＝＝. 答案　C 2．函数 f(x)＝tan ＋tan 是(　　) A.奇函数 B．偶函数 C.既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 解析　函数f(x)的定义域为，关于原点对称．又 f＝tan ＋tan ＝－tan －tan ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 答案　A 3．为了得到函数 y＝cos 的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 解析　将函数 y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数 y＝cos x的图象． 答案　A 4．已知函数f(x)＝lg x－sin x，则f(x)在(0，＋∞)上的零点有(　　) A.2个 B．3个 C.4个 D．无数个 解析　求函数 f(x)＝lg x－sin x在上的零点个数，即求函数y＝lg x的图象与函数 y＝sin x的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数 y＝lg x的图象与函数 y＝sin x的图象在上的交点的个数为3. 答案　B 5．(2025·北京延庆高一期中)设a＝sin 1，b＝cos 1，c＝tan 1，则(　　) A.c＜b＜a B．c＜a＜b C.b＜a＜c D．a＜c＜b 解析　因为＜1＜，所以tan 1＞1＞sin 1＞＞cos 1，即b＜a＜c. 答案　C 6．(2025·山东威海高一月考)下列函数中，最小正周期为π，在上单调递增的是(　　) A.y＝cos B.y＝cos x C.y＝sin (2x－π) D.y＝cos 解析　对于A项，y＝cos ＝sin 2x的周期为π， 当x∈时，取z＝2x∈，因y＝sin z在上单调递减，故A项错误； 对于B项，y＝cos x的周期是T＝＝4π，故B项错误； 对于C项，y＝sin (2x－π)＝－sin 2x，其周期为π， 由选项A知，该函数在上单调递增，故C项正确； 对于D项，y＝cos ＝－sin x的周期为2π，故D项错误． 答案　C 7．(2024·安徽铜陵高一期中)若函数y＝cos (ω＞0)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为(　　) A.5 B．3 C.2 D．1 解析　将函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为 y＝cos ＝cos . 因为平移后的图象与原图象重合，所以有＝2kπ(k∈Z)，即ω＝3k(k∈Z)，又ω＞0，所以ω的最小值为3. 答案　B 8．(2024·辽宁本溪高一期中)已知函数f(x)＝2cos (4x＋φ)－1(0＜φ＜2π)在上单调递增，则φ的值为(　　) A. B． C. D．π 解析　f(x)在上单调递增，又f(x)的最小正周期T＝， 则f(x)在x＝0处取得最小值，在x＝处取得最大值，所以4×0＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝π＋2kπ，k∈Z， 又0＜φ＜2π，所以φ＝π. 答案　D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D.函数f(x)的奇函数 解析　由题意，可得f(x)＝－cos x，故根据余弦函数的图象可知D是错误的． 答案　ABC 10．已知函数f(x)＝sin x＋，下列说法正确的是(　　) A.f(x)的定义域是R B.f(x)的图象关于原点对称 C.f＝－ D.当x>0时，f(x)的最小值为2 解析　对于A，由函数f(x)＝sin x＋，其定义域为{x|x≠kπ}(k∈Z)，故A错误；对于B，f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f＝sin ＋＝－，故C正确； 对于D，当x∈(π，2π)时，sin x<0，则f(x)<0，故D错误． 答案　BC 11．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点中心对称，则(　　) A.f(x)在区间单调递减 B.f(x)在区间有两个极值点 C.直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D.直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 解析　由题意得f＝sin ＝0， 所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝， 故f(x)＝sin . 选项A：x∈时2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f(x)是单调递减的； 选项B：x∈时2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f(x)只有1个极值点，由2x＋＝可解得极值点； 选项C：x＝时2x＋＝3π，f(x)＝sin 3π＝0，直线x＝不是对称轴； 选项D：f′(x)＝2cos ， 所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2cos ＝－1， 切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x. 答案　AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知cos (45°＋α)＝，则cos (135°－α)＝ ． 解析　cos (135°－α)＝cos [180°－(45°＋α)] ＝－cos (45°＋α)＝－. 答案　－ 13．记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为 ． 解析　f(T)＝f(0)＝cos φ＝，且0<φ<π，故φ＝，f＝cos ＝0⇒ ω＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝3＋9k(k∈Z)， 又ω>0，故ω的最小值为3. 答案　3 14．有下列说法： ①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π； ②终边在y轴上的角的集合是； ③在同一直角坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点； ④把函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图象； ⑤函数y＝sin 在[0，π]上是减函数． 其中，正确的说法是 (填序号). 解析　对于①，y＝－cos 2x的最小正周期T＝＝π，故①对；对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；对于③，作出y＝sin x与y＝x的图象，可知两个函数只有(0，0)一个交点，故③错；对于④，y＝3sin 的图象向右平移个单位长度后，得y＝3sin ＝3sin 2x，故④对；对于⑤，y＝sin ＝－cos x在[0，π]上为增函数，故⑤错． 答案　①④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝2sin . (1)若点P(1，)是角α终边上一点，求f＋tan α的值； (2)若x∈，求函数g(x)＝－cos2x＋f＋3的最小值． 解析　(1)若点P(1，)在角α的终边上， 则sinα＝，tan α＝， ∴f＋tan α＝2sin α＋tan α ＝＋＝2. (2)由已知得g(x)＝sin2x－2sinx＋2＝(sin x－1)2＋1， ∵x∈，∴sin x∈， ∴当sin x＝1，即x＝时，g(x)有最小值， 最小值为1. 16．(15分)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋C在同一个周期中的最高点的坐标为(2，2)，最低点的坐标为(8，－4).求： (1)函数的解析式； (2)单调递增区间、对称中心坐标和对称轴的方程． 解析　(1)由题意得 A＝3，C＝－1. ∵＝8－2＝6，∴T＝12，∴ω＝＝， ∴y＝3sin －1. 又∵函数图象过点(2，2)，∴3sin －1＝2，sin ＝1，＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋，k∈Z.又|φ|＜，故φ＝. 函数的解析式为y＝3sin －1. (2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，求得12k－4≤x≤12k＋2，k∈Z，故函数的增区间为[12k－4，12k＋2](k∈Z). 令x＋＝kπ，k∈Z，求得x＝6k－1，故函数图象的对称中心为(6k－1，－1)(k∈Z). 令x＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝6k＋2，故函数图象的对称轴为x＝6k＋2，k∈Z. 17．(15分)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中－π＜φ＜0，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，求f(x)的单调递增区间． 解析　∵f＞f(π)， ∴sin (π＋φ)＞sin φ，得sin φ＜0. 又f(x)≤对x∈R恒成立， 故f＝±1，即sin ＝±1， ∴＋φ＝＋kπ，k∈Z， ∴φ＝＋kπ，k∈Z. 又sin φ＜0，φ∈(－π，0)， ∴φ＝－，故f(x)＝sin . 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 故f(x)的单调递增区间是(k∈Z). 18．(17分)已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的图象两相邻对称轴之间的距离是. (1)求f(x)的最小正周期T以及f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)在区间上的取值范围． 解析　(1)由题设，易知周期T＝π＝，所以ω＝2，则f(x)＝2sin ，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)由x∈，则2x＋∈， 所以f(x)在区间上的取值范围为(0，2]. 19．(17分)已知函数f(x)＝1＋2sin . (1)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值； (2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (3)若不等式f(x)－m＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)因为≤x≤， 所以≤2x－≤π. 当2x－＝， 即x＝π时，f(x)max＝3. 当2x－＝， 即x＝时，f(x)min＝2. (2)最小正周期T＝＝π. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得 －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以单调递增区间为(k∈Z). (3)由题设条件可知 f(x)＜m＋2对x∈恒成立， 又当x∈时，f(x)max＝3， 所以m＋2＞3，所以m＞1. 故m的取值范围是(1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $