第七章 三角函数（复习课件）数学人教B版必修第三册

单元复习课件 第七章三角函数 人教B版2019必修第三册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解任意角、弧度制的概念，利用单位圆和坐标定义正弦、余弦、正切等三角函数，掌握三角函数的定义及其基本性质. 3.能够利用三角函数图像和性质解决问题，并能初步理解三角函数模型的简单应用. 2. 掌握三角恒等变换的基本公式，并能灵活运用于化简、求值与证明. 单元学习目标 任意角的概念 角度制与弧度制 任意角的三角函数 三角函数的图像与性质 扇形弧长与面积 同角三角函数关系式 诱导公式 已知三角函数求角 单元知识图谱 知识点一　角的概念 (1)角的形成：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形． (2)角的分类： 按旋转方向可将角分为如下三类： ①正角：按照______________而成的角； ②负角：按照______________而成的角； ③零角：当射线_________时，我们也把它看成一个角，称为零角． 一条射线 端点 旋转 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有旋转 考点一、角的推广 考点串讲 知识点二　利用转角给出角的加减法运算的几何意义 (1)射线OA绕端点O旋转到OB所成的角，记作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始边，__________叫做∠AOB的________． (2)引入正角、负角的概念以后，角的加法运算可以转化为角的终边绕始边逆时针旋转，减法运算可以转化为角的终边绕始边顺时针旋转． 知识点三　象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，那么，角的终边在第几象限，就把这个角称为___________．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． OA OB 终边 第几象限角 考点一、角的推广 考点串讲 知识点四　终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和． {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 整数个周角 考点一、角的推广 零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合． 考点串讲 考点二、弧度制及其与角度制的换算 知识点一　角度制与弧度制的定义 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为________.角度制规定60分等于1度，60秒等于1分． (2)弧度制：长度等于________的圆弧所对的________为1弧度的角，记作________．以________为单位来度量角的制度称为弧度制． 知识点二　角的弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则|α|＝_____． 角度制 半径长 圆心角 1 rad 弧度 考点串讲 知识点三　角度与弧度的互化 2π 2π π π 考点二、弧度制及其与角度制的换算 考点串讲 知识点五　扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则   α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝____________ l＝________ 扇形的面积 S＝____________ S＝________＝________ αr lr αr2 考点二、弧度制及其与角度制的换算 考点串讲 知识点一　任意角的三角函数 在平面直角坐标系中，设α的终边上除原点外任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝>0). 三角函数 定义 定义域 名称 sin α ______ 正弦 cos α ______ ______ 余弦 tan α ____________ 正切 R R 考点三、三角函数的定义 考点串讲 知识点二　三角函数在各象限的符号 考点三、三角函数的定义 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值． 考点串讲 考点四、单位圆与三角函数线 知识点一　单位圆 (1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为________． (2)角α的________和________分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标． 知识点二　三角函数线 单位圆 余弦 正弦 考点串讲 考点五、同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝________． 商数关系：＝________(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的__________等于1，________等于角α的正切． 1 tan α 平方和 商 考点串讲 考点六、诱导公式 知识点一　诱导公式一 sin (α＋k·2π)＝____________ cos (α＋k·2π)＝____________ tan (α＋k·2π)＝____________ sinα cos α tan α 知识点二　角的旋转、对称 如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC； 则射线OB是____________，射线OC是____________，所以角α＋θ的终边与角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线________． 角α＋θ的终边 角α－θ的终边 对称 考点串讲 知识点三　诱导公式二 sin (－α)＝____________ cos (－α)＝____________ tan (－α)＝____________ －sin α cos α －tan α 知识点四　诱导公式三 sin (π－α)＝____________ cos (π－α)＝____________ tan (π－α)＝____________ sin α －cos α －tan α 考点六、诱导公式 考点串讲 知识点五　诱导公式五 α与－α的三角函数间的关系： sin (－α)＝________，cos (－α)＝________． cos α sin α 考点六、诱导公式 角 －α与角α的终边关于对称． 点关于对称的对称点坐标是 考点串讲 知识点二　诱导公式六 α与α＋的三角函数间的关系： sin (α＋)＝________，cos (α＋)＝________． 知识点三　诱导公式七 α与α＋的三角函数间的关系： sin (α＋)＝________，cos (α＋)＝________． 知识点四　诱导公式八 α与－α的三角函数间的关系： sin (－α)＝________，cos (－α)＝________． cos α －sin α －cos α sin α －cos α －sin α 考点六、诱导公式 考点串讲 知识点一　正弦函数的图象 (1)利用正弦线可以作出的图象，要想得到的图象，只需将的图象_____________________即可，此时的图象叫做正弦曲线． (2)“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点分别是(0，0)，____________，(π，0)，____________和(2π，0)． 沿x轴平移±2π，±4π，… (，1) (，－1) 考点七、正弦函数图象与性质 考点串讲 知识点二　正弦函数的性质 (1)函数的周期性 ①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个________，使得定义域内的________x值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②最小正周期：对于一个____________函数f(x)，如果在它的__________存在一个__________，那么这个__________就叫做它的最小正周期． 非零常数T 每一个 f(x＋T)＝f(x) 周期 所有周期中 最小的正数 最小的正数 考点七、正弦函数图象与性质 考点串讲 (2)正弦函数的性质 函数 y＝sin x 定义域 (－∞，＋∞) 值域 [－1，1] 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期：________ 单调性 在_______________(k∈Z)上递增； 在________________(k∈Z)上递减 最值 x＝_____________时，y最大值＝1； x＝_____________时，y最小值＝－1 2π [2kπ－，2kπ＋] [2kπ＋，2kπ＋] 2kπ＋ (k∈Z) 2kπ－ (k∈Z) 考点七、正弦函数图象与性质 考点串讲 考点八、正弦型函数 知识点一　正弦型函数 (1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数． (2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝________，频率f＝_________，初相为________，值域为__________，________也称为振幅，|A|的大小反映了y＝A sin (ωx＋φ)的波动幅度的大小． φ |A| 考点串讲 知识点二　A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响： 左 右 (2)ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响： 缩短 伸长 考点八、正弦型函数 考点串讲 (3)A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响： 伸长 缩短 考点八、正弦型函数 考点串讲 考点八、正弦型函数 (4)用“变换法”作图： y＝sin x的图象 y＝sin (x＋φ)的图象 y＝sin (ωx＋φ)的图象 y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 左 右 A 考点串讲 知识点一　余弦函数的图象 把正弦函数的图象__________________就得到余弦函数的图象，该图象叫做余弦曲线． 向左平移个单位长度 考点九、余弦函数的图像和性质 考点串讲 知识点二　余弦函数的性质 函数 y＝cos x 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 偶函数 周期性 以________为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期 单调性 当x∈____________________时，递增； 当x∈__________________时，递减 最大值与最小值 当x＝________(k∈Z)时，最大值为____； 当x＝________(k∈Z)时，最小值为____ 2kπ [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ 1 2kπ＋π －1 考点九、余弦函数的图象和性质 考点串讲 知识点三　余弦型函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝________． 考点九、余弦函数的图像和性质 画余弦曲线的五个关键点分别是(0，1)，(，0)，(π，－1)，(π，0)，(2π，1)． 考点串讲 知识点一　正切函数的图象 (1)正切函数的图象： y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ，k∈Z)的图象如图． 考点十、正切函数的图像和性质 考点串讲 (2)正切函数的图象称为________． (3)正切函数的图象特征： 正切曲线是由通过点_______________且与________平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成． 正切曲线 (＋kπ，0)(k∈Z) y轴 考点串讲 知识点二　正切函数的性质 (1)函数y＝tan x(x∈R且x≠kπ＋，k∈Z)的图象与性质表： 解析式 y＝tan x 图象 定义域 ______________________ 值域 ______ {x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z} R 周期 ________________ 奇偶性 ________________ 单调性 在开区间____________________内都是增函数 π 奇函数 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z) 考点串讲 (2)函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________． 正切函数是奇函数，其图象关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为，正切函数的图象不是轴对称图形． 考点串讲 题型一、任意角的概念 例1　(1)已知集合，，则下面关系正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】　D 【解析】　第一象限角可表示为，；锐角可表示为；小于的角可表示为；由三者之间的关系可知，选D. 题型剖析 题型一、任意角的概念 (2)将角的终边按顺时针方向旋转所得的角的度数为________，将角的终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为________. －25° 395° 【解析】　把角的终边按顺时针方向旋转得；把角的终边按逆时针方向旋转一周后得. 题型剖析 题型一、任意角的概念 利用角的概念进行判断 判断角的概念问题的关键与技巧： ①关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． ②技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 题型剖析 变式训练1　(1)下列关于角的叙述，正确的是(　　) A．终边相同的角一定相等 B．钟表的时针旋转而成的角是负角 C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．大于90°的角都是钝角 答案：B 解析：终边相同的角不一定相等，可能相隔k·360°(k∈Z)，A错；钟表的时针是顺时针旋转，故是负角，所以B对；终边相同的角之间相差360°的整数倍，C错；200°>90°，但200°不是钝角，D错． 题型一、任意角的概念 针对训练 题型二、终边相同的角 例2　(1)写出终边落在直线上的角的集合，并把中适合不等式的元素β写出来； 【解析】　直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°到360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合： 所以S中适合的元素是： 题型剖析 (2)终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　) A． B． C． D． 【答案】　D 【解析】　终边在坐标轴上的角为角或的整数倍角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为． 题型二、终边相同的角 题型剖析 在到范围内找与给定角终边相同的角的方法： ①一般地，可以将所给的角化成的形式(其中，k∈Z)，其中的就是所求的角． ②如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加的方式；当所给角是正角时，采用连续减的方式，直到所得结果达到要求为止． 题型二、终边相同的角 题型剖析 变式训练2　(1)下面与－850°12′终边相同的角是(　　) A．230°12′ B．229°48′ C．129°48′ D．130°12′ 答案：B 解析：与终边相同的角可表示为，当时，. 题型二、终边相同的角 针对训练 (2)终边在x轴上的角的集合是(　　) A．{α│α=k·180°，k∈Z} B．{α│α=90°+k·360°，k∈Z} C．{α│α=－90°+k·360°，k∈Z} D．{α│α=k·360°+180°，k∈Z} 答案：A 解析：终边在x轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}， 终边在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}， 所以，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，故选A. 题型二、终边相同的角 针对训练 题型三、象限角与区域角的表示 例3　(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　) A． B． C． D． 【答案】　C 【解析】　在内落在阴影部分角的范围为大于而小于，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为 题型剖析 (2)已知为第二象限角，则，分别是第几象限角？ 【解析】　是第二象限角， 是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角． 同理. 当k为偶数时，不妨令，则，此时，为第一象限角； 当k为奇数时，令，则，此时，为第三象限角． 为第一或第三象限角． 题型三、象限角与区域角的表示 题型剖析 1．表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合．(k∈Z)． 2．解决所在象限的问题，要先确定α的范围，进一步确定出或的范围，再根据k与n的关系进行讨论． 题型三、象限角与区域角的表示 题型剖析 变式训练3　(1)写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合； 解析：在内落在阴影部分角的集合为大于小于，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为． 题型三、象限角与区域角的表示 针对训练 (2)已知α为第二象限角，试判断是第几象限角？ 解析：∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z， ∴30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z. 当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此时为第一象限角； 当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此时为第二象限角； 当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角． ∴为第一、第二或第四象限角． 题型三、象限角与区域角的表示 针对训练 例4　若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 【答案】　C 【解析】　因为α是第一象限角， 所以0°＋n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)， 所以－n·360°<90°－α<90°－n·360°(n∈Z)， 90°＋n·360°<90°＋α<180°＋n·360°(n∈Z)， 270°－n·360°<360°－α<360°－n·360°(n∈Z)， 180°＋n·360°<180°＋α<270°＋n·360°(n∈Z)， 90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限， 360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限． 题型四、角的对称问题 题型剖析 角的终边的对称问题 若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有以下的关系 (1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是 . (2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是 . (3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是 . (4)关于直线y ＝x对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x对称，则角α与β的关系是 . 题型四、角的对称问题 题型剖析 变式训练4　(1)若α是第四象限角，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：B 解析：由题知，α∈(－90°＋360°·k，360°·k)，k∈Z， 则90°－α∈(90°－360°·k，180°－360°·k)在第二象限， 故选B. 题型四、角的对称问题 针对训练 (2)若α是第四象限角，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：因为α是第四象限角，则角α应满足： k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z， 所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°， 则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z， 当k＝0时，180°<180°－α<270°， 故180°－α为第三象限角． 题型四、角的对称问题 针对训练 例5　下列命题中，假命题是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】　D 【解析】　根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C三项均为真命题． 题型五、弧度制的概念及应用 题型剖析 弧度制与角度制的区别与联系 区别 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位 ②定义不同 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值 题型五、弧度制的概念及应用 题型剖析 变式训练5　(1)下列各说法中，错误的是(　　) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案：D 解析：由弧度的定义知，弧长等于半径的圆弧所对的圆心角即为一弧度的角，易知ABC正确．D中长度等于半径的弧所对的圆心角的大小为1弧度，故D错误． 题型五、弧度制的概念及应用 针对训练 (2)已知，则角θ所在的象限为(　　) A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第三或第四象限 D．第二或第四象限 答案：A 解析：因为(－1)k＝ 所以应分k＝2n(n∈Z)和k＝2n＋1(n∈Z)两种情况讨论．当k＝2n(n∈Z)时，θ＝2nπ＋，角θ在第一象限； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，θ＝2nπ＋，角θ在第二象限． 题型五、弧度制的概念及应用 针对训练 例6　设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角． 题型六、角度制与弧度制的转换 【解析】　(1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z，0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限． α1＝－570°＝－＝－4π＋，α2＝750°＝＝4π＋. ∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)， 由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°， ∴k＝－2或k＝－1， ∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°. 题型剖析 角度制与弧度制的转换中的注意点 (1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得：度数×＝弧度数，弧度数×()°＝度数． (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记． (3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法． (4)判断角α终边所在的象限时，若α∉[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限． 题型六、角度制与弧度制的转换 题型剖析 变式训练6　用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合． 解析：因为30°＝ rad，210°＝ rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|kπ＋<θ<kπ＋，k∈Z}． 题型六、角度制与弧度制的转换 针对训练 例7　(1)若角α的终边经过点P(－1，－)，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－ 【答案】　A 【解析】　∵角α的终边经过点P(－1，－)， ∴cos α＝－＝－. 故选A. 题型七、任意角三角函数的定义及应用 题型剖析 (2)若α＝－，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________； 【解析】　因为角－的终边与单位圆交于点P(，－)， 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. － － 题型七、任意角三角函数的定义及应用 题型剖析 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值； ②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论． 题型七、任意角三角函数的定义及应用 题型剖析 变式训练7　(1)已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，求sin α＋cos α的值； (2)已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 解析：(1)根据三角函数的定义，，， ∴sin α＝－，cos α＝，从而sin α＋cos α＝－. (2)由题意知，由三角函数定义得. 又因为cos θ＝x，所以＝x. 因为x≠0，所以x＝±1.当x＝1时，P(1，3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. 题型七、任意角三角函数的定义及应用 针对训练 例3　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝＋. 【解析】　(1)要使函数有意义，需tan x≠0， 所以x≠kπ＋，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，所以x≠，k∈Z. 于是函数的定义域是{x|x∈R且x≠，k∈Z}． (2)要使函数有意义，需 得解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 所以函数的定义域是． 题型八、三角函数的定义域 题型剖析 求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围，注意求解结果应用区间或集合表示． 题型八、三角函数的定义域 题型剖析 变式训练8　(1)求函数y＝＋的定义域； 解析：由题意知由y＝16－x2的图象解得16－x2≥0的解集为[－4，4]. sin x≥0的解集为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z. 结合数轴知函数定义域为[－4，－π]   (2)当α为第二象限角时，－的值是(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 答案：C 解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 所以＝＝2. 题型八、三角函数的定义域 针对训练 题型九、利用单位圆探讨三角函数单调性 例9.设a＝cos ，b＝sin ，c＝tan ，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．b<a<c 【答案】　B 【解析】　作出角的三角函数线如下图所示： 由图象知：cos <sin <tan ，又sin ＝sin ，∴a<b<c.故选B. 题型剖析 (1)通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来探讨三角函数不等式的步骤： ①作出取等号的角的终边； ②利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； ③将图中的范围用不等式表示出来． (2)求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域． 题型九、利用单位圆探讨三角函数单调性 题型剖析 变式训练9.已知0≤x≤2π，且sin x<cos x，则x的取值范围是(　　) A． B．(，)∪(，) C．(π，2π) D． 答案：D 解析：画出单位圆以及0≤x≤2π，sin x＝MP，cos x＝OM， ∵0≤x≤2π，且sin x<cos x， 从图中可知x的取值范围是[0，，2π].故选D. 题型九、利用单位圆探讨三角函数单调性 针对训练 例10　(1)已知sin α＋cos α＝－，0<α<π. ①求sin αcos α的值； ②求sin α－cos α的值． 题型十、应用同角三角函数关系化简求值 【解析】　(1)①由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝， sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，sinαcos α＝－. ②因为0<α<π，sin αcos α<0， 所以sin α>0，cos α<0⇒sin α－cos α>0. sin α－cos α＝ ＝＝. 题型剖析 (2)已知tan α＝2，求下列各式的值． ①； ②； ③2sin2α－sin αcos α＋cos2α. (2)因为tan α＝2， 所以①＝＝－. ②＝＝＝. ③2sin2α－sinαcos α＋cos2α ＝ ＝＝＝. 题型十、应用同角三角函数关系化简求值 题型剖析 1．已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口． 2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 题型十、应用同角三角函数关系化简求值 题型剖析 变式训练10　(1)若sin α＋3cos α＝0，则的值为________； 解析：因为sin α＋3cos α＝0， 所以tan α＝－3，因此原式＝＝＝－. － (2)已知sin αcos α＝－，且0<α<π，求tan α的值． 题型十、应用同角三角函数关系化简求值 解析：sin αcos α＝－， 针对训练 题型十一、三角恒等式的证明 例11　求证：＝. 【证明】　左边＝ ＝＝ ＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 题型剖析 (1)证明恒等式常用的思路是：①从一边证到另一边，一般由繁到简；②左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；③比较法(作差，作比法)． (2)常用的技巧有：①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式)． (3)解决此类问题要有整体代换思想． 题型十一、三角恒等式的证明 题型剖析 变式训练11　求证：=. 证明：右边＝= ==左边， ∴原等式成立． 题型十一、三角恒等式的证明 针对训练 题型十二、诱导公式化简求值 例12　(1)化简：； 【解析】　原式＝ ＝＝ ＝＝－1. (2)计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________； 【解析】　原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos (π－)＋cos (π－)＋cos (π－) ＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0. 0 题型剖析 (3)已知tan (π＋α)＝m，求值：. 【解析】　因为tan (π＋α)＝m，所以tan α＝m， 原式＝ ＝＝－ ＝－tan α＝－m. 题型十二、诱导公式化简求值 题型剖析 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“弦化切”法，即表达式中的弦函数通常化为切函数． (3)注意“1”的变式应用：如sin2α＋cos2α＝1＝tan. 题型十二、诱导公式化简求值 题型剖析 变式训练12　(1). (2)已知cos (π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算： ①sin (2π－α)； ②(n∈Z)． 解析：(1)原式＝＝＝ ＝ (2)①由cos (π＋α)＝－可得cos α＝，而sin (2π－α)＝－sin α，因为α是第四象限角，所以sin α＝－，故sin (2π－α)＝. ②原式＝＝－＝－4. 题型十二、诱导公式化简求值 针对训练 例12　(1)已知cos (π＋α)＝－，求cos (＋α)的值； 【解析】　∵cos (π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝， ∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角， 则cos (＋α)＝－sin α＝－＝－＝－. ②若α为第四象限角， 则cos(＋α)＝－sin α＝＝＝. 题型十二、诱导公式化简求值 (2)已知sin (－α)＝，则cos (＋α)的值为________； 【解析】　cos (＋α)＝cos [－(－α)] ＝sin (－α)＝. 题型剖析 (1)已知一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论． (2)常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等． (3)常见的互补关系有：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 题型十二、诱导公式化简求值 题型剖析 变式训练12　(1)已知sin α＝，α∈(0，)，那么cos (π－α)等于(　　) A．－　　　 B．－ C． D． 答案：B 解析：因为cos (π－α)＝－cos α； 又因为sin2α＋cos2α＝1且α∈(0，)，所以cosα＝＝，所以cos(π－α)＝－，故选B. 题型十二、诱导公式化简求值 针对训练 (2)若α∈(0，)，sin (＋α)＝，则cos (＋α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：因为sin (＋α)＝cos α＝，α∈(0，)， 所以sin α＝＝， 所以cos(＋α)＝sin α＝. 题型十二、诱导公式化简求值 针对训练 例13　(1)比较下列各组数的大小． ①sin 194°和cos 160°； ②sin 和cos ； ③sin (sin )和sin (cos )． 题型十三、正弦函数的单调性及应用 【解析】　①sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°. 从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. ②∵cos ＝sin ()，又<<π<<， y＝sin x在[]上是减函数，∴sin >sin ()＝cos ，即sin >cos . ③∵cos ＝sin ，∴0<cos <sin <1<. 而y＝sin x在(0，)内递增，∴sin (cos )<sin (sin )． 题型剖析 (2)函数y＝－2sin x－1的单调减区间是______________________. 【解析】　函数y＝－2sin x－1的单调减区间即正弦函数y＝sin x的单调增区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)． [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 题型十三、正弦函数的单调性及应用 题型剖析 (1)求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性． (2)比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较． 题型十三、正弦函数的单调性及应用 题型剖析 变式训练13　(1)下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<sin 168°<cos 77° B．sin 168°<sin 11°<cos 77° C．sin 11°<cos 77°<sin 168° D．sin 168°<cos 77°<sin 11° 答案：A 解析：因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 77°＝cos (90°－13°)＝sin 13°， 由正弦函数的单调性得sin 11°<sin 12°<sin 13°， 即sin 11°<sin 168°<cos 77°. 题型十三、正弦函数的单调性及应用 针对训练 (2)若代数式有意义，则锐角θ的取值范围是(　　) A．(0，] B．(0，] C．[) D．[) 答案：C 解析：由题意可得4sin2θ－1≥0， 所以sinθ≥或sin θ≤－， 因为0<θ<， 所以0<sin θ<1，所以≤sin θ<1， 所以θ的取值范围为[)． 题型十三、正弦函数的单调性及应用 针对训练 题型十四、正弦函数的值域和最值 例14　(1)函数y＝a sin x＋1的最大值是3，则它的最小值是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．与a有关 【答案】　C 【解析】　设sin x＝t∈[－1，1]，当a＝0时，不满足条件． 当a>0时，y＝at＋1，当t＝1时，y有最大值3，即a＋1＝3，则a＝2，则当t＝－1时，y有最小值－1； 当a<0时， ， 当t＝－1时，y有最大值3，即－a＋1＝3， 则a＝－2，则当t＝1时，y有最小值－1. 综上，y＝a sin x＋1的最小值是－1. 题型剖析 (2)求函数y＝3＋2sin (2x－)的值域； (3)求函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域． 【解析】　(2)∵－1≤sin (2x－)≤1， ∴1≤y≤5，∴值域为[1，5]. (3)y＝1－2sin2x＋sinx， 令sin x＝t，则－1≤t≤1， y＝－2t2＋t＋1＝－2(t－)2＋. 由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤， 即函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域为[－2，]. 题型十四、正弦函数的值域和最值 题型剖析 (1)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性． (2)将复合函数转化成一个函数，要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定． 题型十四、正弦函数的值域和最值 题型剖析 变式训练14　(1)若函数y＝a－b sin x的最大值为，最小值为－. ①求a，b的值； ②求函数y＝－a sin x取得最大值时x的值； ③请写出函数y＝－a sin x的图象的对称轴． (2)求y＝2sin (2x＋)(－≤x≤)的最大值和最小值． (3)已知函数f(x)＝2cos2x－1＋4sinx，求f(x)的最大值． 题型十四、正弦函数的值域和最值 针对训练 解析：(1)①因为－1≤sin x≤1， 所以当b>0时，有解得 当b<0时，有解得 ②由①知a＝，所以函数y＝－a sin x＝－sin x， 所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝－a sin x取得最大值． ③函数y＝－a sin x＝－sin x，所以其图象的对称轴方程为x＝＋kπ(k∈Z)． (2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋，∴0≤sin (2x＋)≤1.∴当sin (2x＋)＝1时，ymax＝2； 当sin (2x＋)＝0时，ymin＝0. (3)函数f(x)＝2cos2x－1＋4sinx＝2(1－sin2x)－1＋4sinx＝－2(sin x－1)2＋3. 当sin x＝1时，f(x)有最大值3. 题型十四、正弦函数的值域和最值 针对训练 　 例15　如图所示的是函数y＝A sin (ωx＋φ)(|φ|<)的图象，确定其一个函数解析式． 【解析】　由图象，知A＝3，T＝π， 又图象过点A(－，0)， ∴所求图象由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位得到， ∴y＝3sin 2(x＋)，即y＝3sin (2x＋)． 题型十五、求解析式 题型剖析 确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． (2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 题型十五、求解析式 题型剖析 变式训练15　已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的部分函数图象如图所示，求此函数的解析式． 解析：由图象可知A＝2，＝＝1， ∴T＝2， ∴T＝＝2，∴ω＝π， ∴y＝2sin (πx＋φ)． 代入(，2)得2sin (＋φ)＝2， ∴sin (＋φ)＝1，∵|φ|＜， ∴φ＝，∴y＝2sin (πx＋)． 题型十五、求解析式 针对训练 题型十六、函数对称性 例16　已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)． (1)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)为偶函数，求φ的值； (2)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标． 【解析】　(1)∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋，又φ∈(0，π)，∴φ＝. (2)∵f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，∴f(0)＝f()，即sin φ＝sin (＋φ)＝cos φ， ∴tan φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z)． 又φ∈(0，π)，∴φ＝，∴f(x)＝sin (2x＋)． 由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝(k∈Z)， 由2x＋＝kπ，得x＝(k∈Z)，∴f(x)的对称轴方程为x＝(k∈Z)， 对称中心为(，0)(k∈Z)． 题型剖析 (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等考查． (2)有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的运用问题，要特别注意整体代换思想的运用． 题型十六、函数对称性 题型剖析 变式训练16　(1)函数f(x)＝3sin (2x－)的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号) ①图象C关于直线x＝对称； ②图象C关于点(，0)对称； ③函数f(x)在区间(－)内是增函数； ④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. ②③ 解析：f()＝3sin (2×)＝3sin (－)＝－. f()＝3sin ()＝0，故①错，②正确． 令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故③正确． 函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝3sin 2(x－)＝3sin (2x－π)的图象，故④错． 题型十六、函数对称性 针对训练 (2)把函数y＝sin (x＋)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则φ的最小值为________． 解析：将函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得y＝sin (x＋＋φ)的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ，k∈Z，当φ取最小值时，得＋φ＝2π，φ＝. 题型十六、函数对称性 针对训练 例17　(1)函数f(x)＝5cos (3x＋)的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 【解析】　f(x)＝5cos (3x＋)， 由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ(k∈Z)， 得≤x≤(k∈Z)， 所以[－]是f(x)的一个单调递减区间． 【答案】　B 题型十七、求余弦型函数的单调区间 题型剖析 (2)设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则(　　) A．a>c>b B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a 【解析】　sin ＝sin (8π－)＝－sin ＝sin ＝cos ，cos ＝cos (2π－)＝cos (－)＝cos ，因为y＝cos x在(0，)上是减函数， 所以cos >cos >cos ，即a>c>b. 【答案】　A 题型十七、求余弦型函数的单调区间 (3)函数y＝cos (－2x)的单调递增区间是______________________. 【解析】　函数y＝cos (－2x)＝cos (2x－)， 令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝cos (2x－)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. [－＋kπ，＋kπ]，k∈Z 题型剖析 1．余弦型函数单调区间的求法 (1)如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正． (2)将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围． (3)若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间． 2．关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间内，利用单调性比较大小． 题型十七、求余弦型函数的单调区间 题型剖析 变式训练17　(1)将cos (－1)，cos (－2)，cos (－3)按大小顺序排列为_______________________．(用“<”连接) 解析：y＝cos x在区间(－π，0)为增函数， 因为－π<－3<－2<－1<0， 所以cos (－3)<cos (－2)<cos (－1)． cos (－3)<cos (－2)<cos (－1) 题型十七、求余弦型函数的单调区间 针对训练 (2)函数f(x)＝cos (3x＋)的最小正周期为________；若x∈，则f(x)的单调递增区间为____________. [] 解析：函数f(x)＝cos (3x＋)的最小正周期为； 令2kπ＋π≤3x＋≤2kπ＋2π，k∈Z， 求得≤x≤，k∈Z， 可得函数的增区间为[]，k∈Z. 结合x∈[0，]，可得增区间为[]. 题型十七、求余弦型函数的单调区间 针对训练 题型十八、余弦函数的最值问题 例3　(1)已知函数y1＝a－b cos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4a sin 3bx的最大值． 【解析】　∵函数y1的最大值是，最小值是－， 当b>0时，由题意得∴ 当b<0时，由题意得∴ 因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x. 函数的最大值均为2. 题型剖析 (2)求函数f(x)＝cos x，x∈上的值域． 【解析】　由余弦函数的性质可知，f(x)＝cos 22x在[－，0]上递增，在[0，]上递减， 又因为f(－)＝，f(0)＝1，f()＝， 所以函数的最大值为1，最小值为， 故值域为[，1]. 题型十八、余弦函数的最值问题 题型剖析 (1)对于求形如y＝a cos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围． (2)求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解． 题型十八、余弦函数的最值问题 题型剖析 变式训练18　函数y＝sin2x＋cosx(－≤x≤)的值域为________． 解析：设cos x＝t，因为－≤x≤， 则t∈[，1]，所以y＝1－cos2x＋cosx＝－(t－)2＋，t∈[，1]，即y在区间上递减，即y在区间上递减， 故当t＝，即x＝±时，ymax＝； 当t＝1，即x＝0时，ymin＝1. 所以函数的值域为[1，]. [1，] 题型十八、余弦函数的最值问题 针对训练 例19　已知函数y＝2cos (2x＋)． (1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程； (2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值． 题型十九、余弦函数的对称性 【解析】　(1)令2x＋＝kπ，k∈Z， 解得x＝(k∈Z)．令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝. ∴函数y＝2cos (2x＋)的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)， 则f(x)＝2cos [2(x－φ)＋]＝2cos (2x＋－2φ)． ∵y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，∴f(0)＝2cos (－2φ)＝0.∴－2φ＝kπ＋，k∈Z. 解得φ＝(k∈Z)．令k＝0，得φ＝. ∴φ的最小正值是. 题型剖析 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论： (1)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cos (ωx＋φ))的图象关于x＝x0对称⇔f(x0)＝A或－A. (2)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cos (ωx＋φ))的图象关于点(x0，0)中心对称⇔f(x0)＝0. 题型十九、余弦函数的对称性 题型剖析 变式训练19　把函数y＝cos (x＋)的图象向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值． 解析：由题意平移后的函数为y＝cos (x＋－φ)，它是偶函数，因此，当x＝0时，cos (－φ)取得最大值1或最小值－1，故－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即－φ＝kπ(k∈Z)． ∴φ＝－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值. 题型十九、余弦函数的对称性 针对训练 例20　(1)函数y＝4tan (3x＋)的周期为________． 【解析】　由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝. 题型二十、正切函数的奇偶性、周期性 (2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性． 【解析】　定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}， 关于原点对称， ∵f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)， ∴函数是奇函数． 题型剖析 (1)函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法： ①定义法． ②公式法：对于函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝. ③观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． (2)判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系． 题型二十、正切函数的奇偶性、周期性 题型剖析 变式训练20　(1)求f(x)＝tan (2x＋)的周期； (2)判断y＝cos x＋tan x的奇偶性． 解析：(1)∵tan (2x＋＋π)＝tan (2x＋)， 即tan [2(x＋)＋]＝tan (2x＋)， ∴f(x)＝tan (2x＋)的周期是. (2)定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称， ∵f(－x)＝cos (－x)＋tan (－x)＝cos x－tan x， ∴函数是非奇非偶函数． 题型二十、正切函数的奇偶性、周期性 针对训练 题型二十一、正切函数单调性 例21　(1)求函数y＝tan (－x＋)的单调区间； (2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 【解析】　(1)y＝tan (－x＋)＝－tan (x－)， 由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，得2kπ－<x<2kπ＋，(k∈Z)， ∴函数y＝tan (－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)，无增区间． (2)∵tan 2＝tan (2－π)，tan 3＝tan (3－π)， 又∵<2<π，∴－<2－π<0，∵<3<π，∴－<3－π<0， 显然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在(－)内是增函数， ∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1. 题型剖析 求y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ<kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内． 题型二十一、正切函数单调性 题型剖析 跟踪训练3　(1)求函数y＝tan (2x－)的单调区间； (2)比较tan (－)与tan (－)的大小． 解析：(1)∵y＝tan x的单调增区间为(kπ－，kπ＋)(k∈Z)， ∴kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，<x<(k∈Z)， ∴函数y＝tan (2x－)的单调递增区间为()(k∈Z)． (2)由于tan (－)＝tan (－4π＋)＝tan ＝－tan ， tan (－)＝－tan (2π＋)＝－tan ， 又0<<<，而y＝tan x在(0，)上单调递增， 所以tan <tan ，－tan >－tan ， 即tan (－)>tan (－)． 题型二十一、正切函数单调性 针对训练 题型二十二、已知三角函数求值 例22　已知sin x＝. (1)当x∈[－]时，求x的取值集合； (2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合； (4)求不等式sin x<－的解集． 【解析】　(1)∵y＝sin x在[－]上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴{}是所求集合． (2)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin (π－)＝， ∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝，∴x的取值集合为{}． (3)当x∈R时，x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，或x＝2kπ＋，k∈Z}． (4)因为sin x＝－，如图所示，由正弦函数的图象，知 在[－2π，0]内，sin (－)＝sin (－)＝－，所以x＝－＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z， 所以－＋2kπ<x<－＋2kπ，k∈Z.所以不等式的解集为{x|－＋2kπ<x<－＋2kπ，k∈Z}． 题型剖析 (1)给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用． (2)对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}． (3)cos x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}． (4)已知角的正切值求角，可先求出(－)内的角α，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角． (5)tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋α，k∈Z}． 题型二十二、已知三角函数求值 题型剖析 变式训练22 (1)已知cos x＝－， ①当x∈[0，π]时，求x的值； ②当x∈R时，求x的取值集合． 　 (1)①∵cos x＝－且x∈[0，π]，∴x＝. ②当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解． ∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角． 所以，由余弦函数的周期性知， 当x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)时， cos x＝－，即所求x值的集合是{x|x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)}． 题型二十二、已知三角函数求值 针对训练 (2)由cos (2x－)＝>0，知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为， 如图所示， 可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′. 又因为cos ＝cos (－)＝， 所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z. 所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z. (3)如图所示， 在[－π，π]上，＝－或＝时，cos ()＝－， 所以＝－＋2kπ或＝＋2kπ， k∈Z时，cos ()＝－. 令－＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为{x|－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z}． 题型二十二、已知三角函数求值 针对训练 ✅ 知识构建：三角函数 弧度制→三角函数→三角函数诱导公式→三角函数图像和性质 ✅ 思想方法： 数形结合与单位圆模型、化归与转化、建模和周期 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $