第七章 三角函数 章末题型大总结（4大核心题型+精讲精练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第七章 三角函数 章末题型大总结 题型01三角函数的定义 解题锦囊 1．已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 【典例1】（24-25高一下·福建莆田·开学考试）若角的终边过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 【变式1】（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知角的终边上有一点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】由已知可得，，则， 又，所以，则 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【分析】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 【变式3】（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义求得即可判断. 【详解】由题意得， 由三角函数的定义可得，. 若，则，，； 若，则，，； 故选：D. 【变式4】（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】由三角函数的定义计算可得； 【详解】由三角函数定义可得，解得， 所以的值为或. 故选：D. 【变式5】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为，若，求的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，最后利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标. 【详解】因为点在单位圆上且，所以，得． 即，且由三角函数定义知，．由，得： ，故． 故答案为：. 题型02同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用 解题锦囊 1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 【典例2】（24-25高一上·广西百色·期末）已知角的终边过点，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义求得，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以 . 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式结合齐次式问题分析求解即可. 【详解】因为，解得. 故选：B. 【变式2】（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】因为， 则 . 故选：B. 【变式3】（多选）（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由，平方可得，进而可得，求解可得，逐项分析判断即可. 【详解】对A：因为，则， 所以， 又因为，则，，所以，故A正确； 对D：可得，且， 所以，故D错误； 对B：联立，可得，，故B正确； 对C：可得，故C正确. 故选：ABC. 【变式4】（多选）（24-25高一上·广东梅州·期末）下列等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据诱导公式化简可判断ABC的真假；根据同角三角函数的商数关系结合诱导公式可判断D的真假. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD 【变式5】（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，下列式子中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故， 故A成立； 对于B，，故B成立； 对于C，，而， 故，故C不成立； 对于D，，故D成立， 故选：ABD. 【变式6】（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若是第三象限角，且，则 D．若角的终边过点，则 【答案】ABD 【分析】由已知结合诱导公式对已知函数进行化简，然后结合同角基本关系，诱导公式检验各选项即可判断. 【详解】，A正确； 若，则，即，B正确； 若是第三象限角，且，则， 所以， 所以，C错误； 若角的终边过点，则， ，D正确. 故选： 题型03三角函数的图像及变换 解题锦囊 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质． 【典例3】（24-25高一上·福建漳州·期末）某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据表格中的数据，列出关于的方程组，解方程组得出函数的解析式，根据三角函数图象的变换规则即可得出结果. 【详解】由表中的数据可得， ，解得， 所以， 将图象向左平移单位后， 得到的图象. 故选：A 【变式1】（2025·广东汕头·一模）要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】根据函数平移性质判定即可. 【详解】向右平移个单位， 将函数的图像得到函数的图象 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·江苏镇江·期末）若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象变换以求得正确答案. 【详解】函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到， 再将图象向右平移个长度单位得到. 故选：A 【变式3】（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）函数的图象如图所示，其中 ，， 为了得到的图象，可以将的图象 （    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可. 【详解】由函数图象可知：，函数过、两点， 设的最小正周期为，因为，所以有，而，因此， 即，因为， 所以，即，所以，因为， 所以，即，因此， 而， 所以将的图象向左平移个单位长度得到的图象. 故选：C 【变式4】（24-25高三下·江西·阶段练习）为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据三角函数的性质得，，求解. 【详解】因为， 所以，，， 即得，，， 故得，， 当时，的最小值是. 故选：B 【变式5】（多选）（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．将图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 【答案】AB 【分析】由图象确定函数解析式判断ABC，由图象变换判断D． 【详解】由图可知，由，得，则，A，B正确． 因为，所以，得，又，所以，C错误． 由题意得，D错误． 故选：AB 题型04三角函数的性质 解题锦囊 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决. 【典例4】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期末）某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（   ） A． B．该简谐运动的频率为，初相为 C．直线是的一个对称轴 D．点是曲线的一个对称中心 【答案】ACD 【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合，即可求解；选项C和D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由图知，由图像知，又， 所以，又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到， 所以， 对于选项A：设，由， 得到， 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为，所以频率为，由知初相为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由，即，故直线是的一个对称轴，故选项C正确； 对于选项D：因为， 由，即， 故点是曲线的一个对称中心，故选项D正确； 故选：ACD 【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】D 【分析】利用周期公式计算可得A错误，由正切函数定义域可判断B错误，根据对称中心方程可得C错误，再由正切函数单调性计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得，所以函数最小正周期为，即A错误； 对于B，由正切函数定义域可得，解得； 可得的定义域为，即B错误； 对于C，利用对称中心方程可得，解得, 因此函数图象所有对称中心为，，可知C错误； 对于D，根据正切函数单调性可得， 解得， 所以函数的单调递增区间为，可得D正确. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体代换法求正弦型函数的增区间. 【详解】令， 解得， 所以函数的增区间是. 故选：C. 【变式3】（24-25高一下·云南德宏·开学考试）若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的图象求得其解析式，再判断即可. 【详解】由题意得，， 即， 把点代入方程可得， 所以，，即，， 因为，所以， ， 因为， 经检验，其他选项都不满足，所以函数的一条对称轴方程为， 故选：A． 【变式4】（多选）.（24-25高一下·云南大理·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．图象的一个对称中心为 C．的单调递增区间是 D．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数的图象 【答案】ABC 【分析】利用正弦函数的周期公式判断A；求出对称中心判断B；求出单调递增区间判断C；利用三角函数图象的变换规则判断D. 【详解】对于A：因为，所以周期，故A正确； 对于B：令，得， 时可得该函数图象的一个对称中心为，故B正确； 对于C：由，解得，的单调递增区间为，故C正确； 对于D：把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到，故D错误， 故选：ABC． 【变式5】（多选）（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】求出函数的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可判断A选项；由结合的取值范围可求出的值，可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为， 则该函数的最小正周期为，则，A对； 对于B选项，因为，可得， 所以，，则， 因为，故，B错； 对于C选项，由AB选项可知， 当时，， 所以，函数在上单调递增，C对； 对于D选项，因为，所以，函数的图象关于点对称，D对. 故选：ACD. .【变式6】（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)求函数的对称轴方程和对称中心； (3)当时，求的值域． 【答案】(1) (2)对称轴方程：，；对称中心：， (3) 【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可； （2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心可求得结果； （3）先由，求出，然后转化为正弦函数的值域问题求解即可． 【详解】（1）由， 所以函数的单调增区间是． （2）根据，可得对称轴为，； 根据，解得，， 因为函数为， 所以对称中心为，； （3）由，可得， 从而，所以． 所以的值域为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 三角函数 章末题型大总结 题型01三角函数的定义 解题锦囊 1．已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 【典例1】（24-25高一下·福建莆田·开学考试）若角的终边过点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知角的终边上有一点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【变式3】（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 【变式5】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为，若，求的坐标为 ． 题型02同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用 解题锦囊 1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 【典例2】（24-25高一上·广西百色·期末）已知角的终边过点，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）（24-25高一上·广东梅州·期末）下列等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式5】（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，下列式子中正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式6】（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若是第三象限角，且，则 D．若角的终边过点，则 题型03三角函数的图像及变换 解题锦囊 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质． 【典例3】（24-25高一上·福建漳州·期末）某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式1】（2025·广东汕头·一模）要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【变式2】（24-25高一上·江苏镇江·期末）若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）函数的图象如图所示，其中 ，， 为了得到的图象，可以将的图象 （    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式4】（24-25高三下·江西·阶段练习）为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（多选）（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．将图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 题型04三角函数的性质 解题锦囊 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决. 【典例4】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期末）某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（   ） A． B．该简谐运动的频率为，初相为 C．直线是的一个对称轴 D．点是曲线的一个对称中心 【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·云南德宏·开学考试）若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（　　）. A． B． C． D． 【变式4】（多选）.（24-25高一下·云南大理·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．图象的一个对称中心为 C．的单调递增区间是 D．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数的图象 【变式5】（多选）（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 .【变式6】（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)求函数的对称轴方程和对称中心； (3)当时，求的值域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$